数学の分野とは、特定の公理（Wikipediaで説明。以下も参照）を満たすように、加算および乗算演算が定義された一連の数値です。

有限体はp ^n個の要素を持つことができます。ここでpは、素数でありn、自然数です。この課題では、p = 2とを使用してn = 8、256個の要素を持つフィールドを作成しましょう。

フィールドの要素は、0およびを含む範囲内の連続した整数でなければなりません1。

• -128 ... 127
• 0 ... 255
• または他のそのような範囲

フィールドの公理を満たすように、抽象「加算」および抽象「乗算」のために、2つの関数（またはそれがより簡単な場合はプログラム）を定義します。a(x,y)m(x,y)

• 一貫性：同じ引数で呼び出されたときに同じ結果a(x,y)をm(x,y)生成します
• 閉鎖性：aおよびの結果はm、関連する範囲の整数です
• 連想は：いずれかのためにx、yおよびz範囲内、a(a(x,y),z)に等しいですa(x,a(y,z))。同じm
• 可換性：任意用x及びy範囲内には、a(x,y)に等しいですa(y,x)。同じm
• 分配性：いずれかのためにx、yおよびz範囲内、m(x,a(y,z))に等しいです。a(m(x,y),m(x,z))
• 中立要素：x範囲内のいずれかに対して、にa(0,x)等しくx、にm(1,x)等しいx
• 否定は：いずれかのx範囲内で、そのような存在するyことa(x,y)です0
• 逆：いずれかのx≠0範囲内で、そのような存在するyことm(x,y)です1

名前aとmは単なる例です。他の名前または名前のない関数を使用できます。あなたの答えのスコアはのためのバイトの長さの和であるaとm。

組み込み関数を使用する場合は、その関数が生成する結果を言葉で説明してください（たとえば、乗算表を提供する）。

Hoon、22バイト

[dif pro]:(ga 8 283 3)

Hoonに++gaは、AES実装で使用するガロア体を作成する関数が既にあります。これは、2つのプログラムを使用する代わりに、2つの関数のタプルを返します。

ドメインで動作します [0...255]

テストスイート：

=+  f=(ga 8 283 3)
=+  n=(gulf 0 255)

=+  a=dif:f
=+  m=pro:f

=+  %+  turn  n
    |=  x/@
    ?>  =((a 0 x) x)
    ?>  =((m 1 x) x)
    ~&  outer+x

    %+  turn  n
      |=  y/@
      ?>  =((a x y) (a y x))
      ?>  &((lte 0 (a x y)) (lte (a x y) 255))
      ?>  &((lte 0 (m x y)) (lte (m x y) 255))

      %+  turn  n
        |=  z/@
        ?>  =((a (a x y) z) (a x (a y z)))
        ?>  =((m x (a y z)) (a (m x y) (m x z)))
        ~
"ok"

乗算表の投稿は膨大になるため、ランダムなテストケースを以下に示します。

20x148=229
61x189=143
111x239=181
163x36=29
193x40=1

Python 2、11 + 45 = 56バイト

追加（11バイト）：

int.__xor__

乗算（45バイト）：

m=lambda x,y:y and m(x*2^x/128*283,y/2)^y%2*x

範囲内の入力番号を取得します[0 ... 255]。加算はビット単位のXORで、乗算は、ロシア農民とのGF2の係数を持つ多項式の乗算です。

そしてチェック用：

a=int.__xor__
m=lambda x,y:y and m(x*2^x/128*283,y/2)^y%2*x

for x in range(256):
    assert a(0,x) == a(x,0) == x
    assert m(1,x) == m(x,1) == x

    assert any(a(x,y) == 0 for y in range(256))

    if x != 0:
        assert any(m(x,y) == 1 for y in range(256))

    for y in range(256):
        assert 0 <= a(x,y) < 256
        assert 0 <= m(x,y) < 256
        assert a(x,y) == a(y,x)
        assert m(x,y) == m(y,x)

        for z in range(256):
            assert a(a(x,y),z) == a(x,a(y,z))
            assert m(m(x,y),z) == m(x,m(y,z))
            assert m(x,a(y,z)) == a(m(x,y), m(x,z))

JavaScript（ES6）、10 + 49 = 59バイト

a=(x,y)=>x^y
m=(x,y,p=0)=>x?m(x>>1,2*y^283*(y>>7),p^y*(x&1)):p

ドメインは0〜255です。ソース。

Intel x86-64 + AVX-512 + GFNI、11バイト

add:
    C5 F0 57 C0     # vxorps     xmm0, xmm1, xmm0
    C3              # ret
mul:
    C4 E2 79 CF C1  # vgf2p8mulb xmm0, xmm0, xmm1
    C3              # ret

GF2P8MULBIce Lake CPUで新しい命令を使用します。

この命令は、有限フィールドGF（2 ⁸）の要素を乗算し、最初のソースオペランドのバイト（フィールド要素）と2番目のソースオペランドの対応するバイトを操作します。体GF（2 ⁸）は、多項式x ⁸ + x ⁴ + x ³ + x + 1の多項式で表現されます。

IA-32マシンコード、22バイト

「乗算」、18バイト：

33 c0 92 d1 e9 73 02 33 d0 d0 e0 73 02 34 1b 41
e2 f1

「追加」、4バイト：

92 33 c1 c3

これにより、ルールが少し拡張されます。「乗算」コードには関数終了コードがありません。すぐにメモリにある「追加」コードに依存しているため、「フォールスルー」することができます。コードサイズを1バイト減らすために行いました。

ソースコード（mlMS Visual Studioでアセンブル可能）：

    TITLE   x

PUBLIC @m@8
PUBLIC @a@8

_TEXT   SEGMENT USE32
@m@8    PROC
    xor eax, eax;
    xchg eax, edx;
myloop:
    shr ecx, 1
    jnc sk1
    xor edx, eax
sk1:
    shl al, 1
    jnc sk2
    xor al, 1bh
sk2:
    inc ecx
    loop myloop
@m@8 endp

@a@8 proc
    xchg eax, edx;
    xor eax, ecx
    ret
@a@8    ENDP
_text ENDS
END

アルゴリズムはx^8 + x^4 + x^3 + x + 1、16進数で表される通常の多項式を含む標準アルゴリズムです1b。「乗算」コードは、結果をに蓄積しedxます。完了すると、それはeax（戻り値を保持する従来のレジスタ）に移動する追加コードにフォールスルーします。その時点でクリアされるため、xorwith ecxはノーオペレーションecxです。

特有の機能の1つはループです。ゼロをチェックする代わりに

cmp ecx, 0
jne myloop

専用のloop命令を使用します。ただし、この命令はループの「カウンター」を減らしてから0と比較しloopます。これを補うために、コードは命令を使用する前にループの「カウンター」を増やします。

Mathematica 155バイト

f[y_]:=Total[x^Reverse@Range[0,Log[2,y]]*RealDigits[y,2][[1]]];o[q_,c_,d_]:=FromDigits[Reverse@Mod[CoefficientList[PolynomialMod[q[f@c,f@d],f@283],x],2],2]

実装

(*
  in: o[Times, 202, 83]    out: 1
  in: o[Plus, 202, 83]     out: 153
*)

追加チェック：

(*
  in: BitXor[202, 83]      out: 153
*)

もっと：

(*
  in: o[Times, #, #2] & @@@ {{20, 148}, {61, 189}, {111, 239}, {163, 36}, {193, 40}}
  out: {229, 143, 181, 29, 1}
*)

NBの{283, 285, 299, 301, 313, 319, 333, 351, 355, 357, 361, 369, 375, 379, 391, 395, 397, 415, 419, 425, 433, 445, 451, 463, 471, 477, 487, 499, 501, 505}代わりにを使用できる必要があり283ます。

Brainfuck、28文字

幸いなことに、標準のBrainfuckは256を法としてすべてを行います。

追加：[->+<]、入力がテープの最初の2つの位置にあると想定し、出力を位置0に配置します。

乗算：[->[->+>+<<]>[-<+>]<<]は、入力がテープの最初の2つの位置にあると想定し、出力を位置3に配置します。