一般化された誕生日の問題

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今夜、婚約者は私の誕生日を祝うために夕食に連れて行ってくれました。外出中、50人でいっぱいのレストランで5人のゲスト（私を含む）にハッピーバースデーが歌われるのを聞きました。これは私に不思議に思いました-元の誕生日の問題（人の部屋にいる2人がN同じ誕生日を共有する確率を見つける）は非常に単純で簡単です。しかし、少なくともk人のうちN、同じ誕生日を共有する確率を計算するのはどうでしょうか？

ご参考までに、合計50人のうち少なくとも5人が同じ誕生日を共有する確率は、約1/10000です。

チャレンジ

2つの整数Nとが与えられた場合k、ここでN >= k > 0、少なくともkグループのN人々が同じ誕生日を共有する確率を出力します。物事を単純にするために、365の誕生日が常に存在し、すべての日が平等であると仮定します。

以下のためにk = 2、これはオリジナルの誕生日の問題に帰着し、確率である1 - P(365, N)/(365)**N（ここP(n,k)でn個の要素から形成されたk長順列の数）。の値が大きい場合k、このWolfram MathWorldの記事は役に立つかもしれません。

ルール

  • 出力は決定的であり、選択した言語に対して可能な限り正確でなければなりません。これは、モンテカルロ推定またはポアソン近似がないことを意味します。
  • Nそしてk、あなたの選択した言語で表現可能な最大の整数を超えないようにします。選択した言語に整数の厳密な最大値がない場合（メモリの制約を除く）、Nおよびkは任意に大きくなる可能性があります。
  • 浮動小数点の不正確さに起因する精度エラーは無視される場合があります-ソリューションは完全に正確な無限精度のフロートを想定する必要があります。

テストケース

フォーマット： k, N -> exact fraction (float approximation)

2, 4 -> 795341/48627125 (0.016355912466550306)
2, 10 -> 2689423743942044098153/22996713557917153515625 (0.11694817771107766)
2, 23 -> 38093904702297390785243708291056390518886454060947061/75091883268515350125426207425223147563269805908203125 (0.5072972343239854)
3, 3 -> 1/133225 (7.5060987051979735e-06)
3, 15 -> 99202120236895898424238531990273/29796146005797507000413918212890625 (0.0033293607910766013)
3, 23 -> 4770369978858741874704938828021312421544898229270601/375459416342576750627131037126115737816349029541015625 (0.01270542106874784)
3, 88 -> 121972658600365952270507870814168157581992420315979376776734831989281511796047744560525362056937843069780281314799508374037334481686749665057776557164805212647907376598926392555810192414444095707428833039241/238663638085694198987526661236008945231785263891283516149752738222327030518604865144748956653519802030443538582564040039437134064787503711547079611163210009542953054552383296282869196147657930850982666015625 (0.5110651106247305)
4, 5 -> 1821/17748900625 (1.0259790386313012e-07)
4, 25 -> 2485259613640935164402771922618780423376797142403469821/10004116148447957520459906484225353834116619892120361328125 (0.0002484237064787077)
5, 50 -> 786993779912104445948839077141385547220875807924661029087862889286553262259306606691973696493529913926889614561937/7306010813549515310358093277059651246342214174497508156711617142094873581852472030624097938198246993124485015869140625 (0.00010771867165219201)
10, 11 -> 801/8393800448639761033203125 (9.542757239717371e-23)
10, 20 -> 7563066516919731020375145315161/4825745614492126958810682272575693836212158203125 (1.5672327389589693e-18)
10, 100 -> 122483733913713880468912433840827432571103991156207938550769934255186675421169322116627610793923974214844245486313555179552213623490113886544747626665059355613885669915058701717890707367972476863138223808168550175885417452745887418265215709/1018100624231385241853189999481940942382873878399046008966742039665259133127558338726075853312698838815389196105495212915667272376736512436519973194623721779480597820765897548554160854805712082157001360774761962446621765820964355953037738800048828125 (1.2030611807765361e-10)
10, 200 -> 46037609834855282194444796809612644889409465037669687935667461523743071657580101605348193810323944369492022110911489191609021322290505098856358912879677731966113966723477854912238177976801306968267513131490721538703324306724303400725590188016199359187262098021797557231190080930654308244474302621083905460764730976861073112110503993354926967673128790398832479866320227003479651999296010679699346931041199162583292649095888379961533947862695990956213767291953359129132526574405705744727693754517/378333041587022747413582050553902956219347236460887942751654696440740074897712544982385679244606727641966213694207954095750881417642309033313110718881314425431789802709136766451022222829015561216923212248085160525409958950556460005591372098706995468877542448525403291516015085653857006548005361106043070914396018461580475651719152455730181412523297836008507156692430467118523245584181582255037664477857149762078637248959905010608686740872875726844702607085395469621591502118462813086807727813720703125 (1.21685406174776e-07)
code-golf  combinatorics  probability-theory 
— メゴ
ソース
9
お誕生日おめでとう（遅刻）！
— ルイスメンドー
少数のテストケースをいくつか追加しますか？
— ルイスメンドー
@LuisMendo数時間眠った後、さらに追加します:)
— Mego
6
人々がレストランで食べる確率はおそらく誕生日かどうかとは無関係ではないため、50人のうち5人の誕生日の確率は誕生日問題のロジックが示唆するよりも高い可能性が高いことに注意してください。
— グレンO
@GlenO良い点！
— ルイスメンドー

回答:

3

ゼリー、17 16 バイト

ĠZL
365ṗÇ€<¬µS÷L

非常に非効率的です。オンラインでお試しください！（ただし、Nは3未満にしてください）

使い方

365ṗÇ€<¬µS÷L  Main link. Left argument: N. Right argument: K

365ṗ          Cartesian product; generate all lists of length N that consist of
              elements of [1, ..., 365].
    ǀ        Map the helper link over all generated lists. It returns the highest
              amount of people that share a single birthday.
      <       Compare each result with K.
       ¬      Negate.
        µS÷L  Take the mean by dividing the sum by the length.


ĠZL           Helper link. Argument: A (list of integers)

Ġ             Group the indices have identical values in A.
 Z            Zip; transpose rows with columns.
  L           Take the length of the result, thus counting columns.
— デニス
ソース
1
「Nを3未満に保つ」...それは過度に制限されていませんか？
— ニール
2
@Neilこのソリューションはすべての入力に有効ですが、メモリと時間の制約により、N> 3の場合、オンラインインタープリターは入力を実行できません。
— メゴ
@Mego私はk > 1、持っていない場合はあまり意味がないので、与えたk <= N場合、それを維持したい場合N < 3、それは値の多くの選択肢を残さず、あなたが試すことができるNとk考えていました。
— ニール
4

MATL、16バイト

365:Z^!tXM=s>~Ym

最初の入力はN、2番目はkです。

オンラインでお試しください！

これは、DennisのJelly answerのような列挙ベースのアプローチであるため、メモリの制限により、入力数は小さく保つ必要があります。

365:   % Vector [1 2 ... 365]
Z^     % Take N implicitly. Cartesian power. Gives a 2D array with each
       % "combination" on a row
!      % Transpose
t      % Duplicate
XM     % Mode (most frequent element) of each column
=      % Test for equality, element-wise with broadcast. For each column, gives
       % true for elements equal to that column's mode, false for the rest
s      % Sum of each column. Gives a row vector
>~     % Take k implicitly. True for elements equal or greater than k
Ym     % Mean of each column. Implicitly display
— ルイス・メンドー
ソース
2
デニスを追い抜いた、良い仕事。
— m654
4
@ m654彼が目を覚ますときを見てみましょう:-D
— ルイスメンドー
2
さて、私は目が覚めましたが、私が管理した最高のものはネクタイでした。ゼリーは本当に平均原子を必要としています
— デニス
@デニス私も同じことを考えていました。多分モードすぎ原子？
— ルイスメンドー
0

J、41 36バイト

(+/%#)@(<:365&(#~>./@(#/.~)@#:i.@^))

他の方法に似た簡単なアプローチ。n> 3でメモリの問題が発生します。

使用法

kLHSとnRHS の価値を取ります。

   f =: (+/%#)@(<:365&(#~>./@(#/.~)@#:i.@^))
   0 f 0
0
   0 f 1
1
   1 f 1
1
   0 f 2
1
   1 f 2
1
   2 f 2
0.00273973
   0 f 3
1
   1 f 3
1
   2 f 3
0.00820417
   3 f 3
7.5061e_6

私のPCでは、i7-4770kとタイマーforeignを使用して、n = 3の6!:2計算には約25秒かかります。

   timer =: 6!:2
   timer '2 f 3'
24.7893
   timer '3 f 3'
24.896

説明

(+/%#)@(<:365&(#~>./@(#/.~)@#:i.@^)) Input: k on LHS, n on RHS
          365&                       The number 365
               #~                    Create n copies of 365
                                 ^   Calculate 365^n
                              i.@    The range [0, 1, ..., 365^n-1]
                            #:       Convert each value in the range to base-n and pad
                                     with zeroes to the right so that each has n digits
                     (#/.~)@         Find the size of each set of identical values
                 >./@                Find the max size of each
        <:                           Test each if greater than or equal to k
(+/%#)@                              Apply to the previous result
 +/                                  Find the sum of the values
    #                                Count the number of values
   %                                 Divide the sum by the count and return
— マイル
ソース
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