チャレンジ

「Pの実行が最終的に終了する」という命題がPeano算術に依存しないように、入力を行わずにプログラムPを作成します。

正式な規則

（上記の説明はあまりにも非公式だと思う数理論理学者である場合。）

一つは、原則として、できる変換するいくつかのユニバーサルチューリングマシン Uに（例えば、お気に入りのプログラミング言語を）ペアノ算術変数の上式HALT P HALT（、pは）命題「コードUがプログラムに終了を（ゲーデルエンコードさによって）p」。課題は、PALT 演算でHALT（p）も¬HALT（p）も証明できないようなpを見つけることです。

プログラムは、無制限のメモリとそれにアクセスするのに十分な整数/ポインタを備えた理想的なマシン上で実行されると仮定できます。

例

そのようなプログラムが存在することを確認するための1つの例は、0 = 1のペアノ算術証明を徹底的に検索するプログラムです。ペアノ算術は、ペアノ算術が矛盾する場合にのみこのプログラムが停止することを証明します。Peano算術は一貫性がありますが、独自の一貫性を証明できないため、このプログラムが停止するかどうかを判断できません。

ただし、プログラムの基礎となるPeano算術とは独立した他の多くの命題があります。

動機

この課題は、非終端がZFCに依存しない7,918ステートのチューリングマシンを示す、Yedidia and Aaronson（2016）による新しい論文に触発されました。あなたはその引用に興味があるかもしれません[22]。もちろん、この課題のために、実際のチューリングマシンの代わりに選択したプログラミング言語を使用することもできます。

Haskell、838バイト

「何かをしたい場合は…」

import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0

説明

このプログラムは、0 = 1のPeano算術証明を直接検索します。PAは一貫しているため、このプログラムは終了しません。しかし、PAはそれ自体の一貫性を証明できないため、このプログラムの非終了はPAから独立しています。

T 式と命題のタイプです。

• A P命題∀表すX [ P（Xを）]。
• (V 1 :$ P) :$ Qは命題P → Qを表します。
• V 2 :$ P命題¬表しPを。
• (V 3 :$ x) :$ y命題x = yを表します。
• (V 4 :$ x) :$ y自然なx + yを表します。
• (V 5 :$ x) :$ y天然表すX ⋅ yは。
• V 6 :$ x自然なS（x）= x + 1を表します。
• V 7 自然な0を繰り返します。

i個の自由変数がある環境では、式、命題、および証明を2×2整数行列[1、0; a、b ]、次のとおり：

• M（I、∀ X [ P（X）]）= [1、0。1、4]⋅M（I、λ X [P（X）]）
• M（I、λ X [ F（X））= M（I + 1、F（X））M（J、X）= [1、0。5 + i、4 + j ]すべてのj > i
• M（i、P → Q）= [1、0; 2、4]⋅M（i、P）⋅M（i、Q）
• M（I、¬ P）= [1、0。3、4]⋅M（i、P）
• M（i、x = y）= [1、0; 4、4]⋅M（i、x）⋅M（i、y）
• M（i、x + y）= [1、0; 1、4 + i ]⋅M（i、x）⋅M（i、y）
• M（I、X ⋅ Y）= [1、0。2、4 + i ]⋅M（i、x）⋅M（i、y）
• M（i、S x）= [1、0; 3、4 + i ]⋅M（i、x）
• M（i、0）= [1、0; 4、4 + i ]
• M（I、（Γ、P）⊢ P）= [1、0。1、4]
• M（I、Γ ⊢ P）= [1、0。2、4]⋅M（I、Q）⋅M（I、Γ ⊢ Q）⋅M（I、Γ ⊢ Q → P）
• M（I、Γ ⊢ P（X））= [1、0。3、4]⋅M（I、λ X [P（X）]）⋅M（I、X）⋅[1,0; 1、2]⋅M（I、Γ ⊢∀ X P（X））
• M（I、Γ ⊢ P（X））= [1、0。3、4]⋅M（I、λ X [P（X）]）⋅M（I、X）⋅[1,0; 2,2]⋅M（I、Y）⋅M（I、Γ ⊢ Y = X）⋅M（I、Γ ⊢ P（Y））
• M（I、Γ ⊢∀ X、P（X））= [1、0。8,8]⋅M（I、λ X [ Γ ⊢ P（X）]）
• M（I、Γ ⊢∀ X、P（X））= [1、0。12、8]⋅M（I、Γ ⊢ P（0））⋅M（I、λ X [（Γ、P（X））⊢ P（S（X））]）
• M（I、Γ ⊢ P → Q）= [1、0。8,8]⋅M（I、（Γ、P）⊢ Q）
• M（I、Γ ⊢ P → Q）= [1、0。12、8]⋅M（I、（Γ、¬ Q）⊢¬ P）

残りの公理は数値的にエンコードされ、初期環境Γに含まれます。

• M（0、∀ X [ X = X ]）= [1、0。497、400]
• M（0、∀ X [¬（S（X）= 0）]）= [1、0。8269、8000]
• M（0、∀ X ∀ Y [S（X）= S（Y）→ X = Y ]）= [1、0。56106533、47775744]
• M（0、∀ X [ X + 0 = X ]）= [1、0。12033、10000]
• M（0、∀ Y [ X + S（Y）= S（X + Y）]）= [1、0。123263749、107495424]
• M（0、∀ X [ X ⋅0 = 0]）= [1、0。10049、10000]
• M（0、∀ X ∀ Y [ X ⋅S（Y）= X ⋅ Y + X ]）= [1、0。661072709、644972544]

行列[1、0; 、Bは ]のみ左下の所与確認することができ、A（またはそれに他の値合同モジュロB）。他の値は、証明の構成を可能にするためにあります。

たとえば、次は加算が可換であることの証明です。

• M（0、Γ ⊢∀ X ∀ Y [ X + Y = Y + X]）= [1、0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644、14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

次のようにプログラムで確認できます。

*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]

証明が無効な場合は、代わりに空のリストを取得します。