C、0.026119秒（2016年3月12日）
#include <math.h>
#include <stdint.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <time.h>
#define cache_size 16384
#define Phi_prec_max (47 * a)
#define bit(k) (1ULL << ((k) & 63))
#define word(k) sieve[(k) >> 6]
#define sbit(k) ((word(k >> 1) >> (k >> 1)) & 1)
#define ones(k) (~0ULL >> (64 - (k)))
#define m2(k) ((k + 1) / 2)
#define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
#define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define ns(t) (1000000000 * t.tv_sec + t.tv_nsec)
#define popcnt __builtin_popcountll
#define mask_build(i, p, o, m) mask |= m << i, i += o, i -= p * (i >= p)
#define Phi_prec_bytes ((m2(Phi_prec_max) + 1) * sizeof(int16_t))
#define Phi_prec(i, j) Phi_prec_pointer[(j) * (m2(Phi_prec_max) + 1) + (i)]
#define Phi_6_next ((i / 1155) * 480 + Phi_5[i % 1155] - Phi_5[(i + 6) / 13])
#define Phi_6_upd_1() t = Phi_6_next, i += 1, *(l++) = t
#define Phi_6_upd_2() t = Phi_6_next, i += 2, *(l++) = t, *(l++) = t
#define Phi_6_upd_3() t = Phi_6_next, i += 3, *(l++) = t, *(l++) = t, *(l++) = t
typedef unsigned __int128 uint128_t;
struct timespec then, now;
uint64_t a, primes[4648] = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 }, *primes_fastdiv;
uint16_t *Phi_6, *Phi_prec_pointer;
inline uint64_t Phi_6_mod(uint64_t y)
{
if (y < 30030)
return Phi_6[m2(y)];
else
return (y / 30030) * 5760 + Phi_6[m2(y % 30030)];
}
inline uint64_t fastdiv(uint64_t dividend, uint64_t fast_divisor)
{
return ((uint128_t) dividend * fast_divisor) >> 64;
}
uint64_t Phi(uint64_t y, uint64_t c)
{
uint64_t *d = primes_fastdiv, i = 0, r = Phi_6_mod(y), t = y / 17;
r -= Phi_6_mod(t), t = y / 19;
while (i < c && t > Phi_prec_max) r -= Phi(t, i++), t = fastdiv(y, *(d++));
while (i < c && t) r -= Phi_prec(m2(t), i++), t = fastdiv(y, *(d++));
return r;
}
uint64_t Phi_small(uint64_t y, uint64_t c)
{
if (!c--) return y;
return Phi_small(y, c) - Phi_small(y / primes[c], c);
}
uint64_t pi_small(uint64_t y)
{
uint64_t i, r = 0;
for (i = 0; i < 8; i++) r += (primes[i] <= y);
for (i = 21; i <= y; i += 2)
r += i % 3 && i % 5 && i % 7 && i % 11 && i % 13 && i % 17 && i % 19;
return r;
}
int output(int result)
{
clock_gettime(CLOCK_REALTIME, &now);
printf("pi(x) = %9d real time:%9ld ns\n", result , ns(now) - ns(then));
return 0;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
uint64_t b, i, j, k, limit, mask, P2, *p, start, t = 8, x = atoi(argv[1]);
uint64_t root2 = sqrt(x), root3 = pow(x, 1./3), top = x / root3 + 1;
uint64_t halftop = m2(top), *sieve, sieve_length = (halftop + 63) / 64;
uint64_t i3 = 1, i5 = 2, i7 = 3, i11 = 5, i13 = 6, i17 = 8, i19 = 9;
uint16_t Phi_3[] = { 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8 };
uint16_t *l, *m, Phi_4[106], Phi_5[1156];
clock_gettime(CLOCK_REALTIME, &then);
sieve = malloc(sieve_length * sizeof(int64_t));
if (x < 529) return output(pi_small(x));
for (i = 0; i < sieve_length; i++)
{
mask = 0;
mask_build( i3, 3, 2, 0x9249249249249249ULL);
mask_build( i5, 5, 1, 0x1084210842108421ULL);
mask_build( i7, 7, 6, 0x8102040810204081ULL);
mask_build(i11, 11, 2, 0x0080100200400801ULL);
mask_build(i13, 13, 1, 0x0010008004002001ULL);
mask_build(i17, 17, 4, 0x0008000400020001ULL);
mask_build(i19, 19, 12, 0x0200004000080001ULL);
sieve[i] = ~mask;
}
limit = min(halftop, 8 * cache_size);
for (i = 21; i < root3; i += 2)
if (sbit(i))
for (primes[t++] = i, j = i * i / 2; j < limit; j += i)
word(j) &= ~bit(j);
a = t;
for (i = root3 | 1; i < root2 + 1; i += 2)
if (sbit(i)) primes[t++] = i;
b = t;
while (limit < halftop)
{
start = 2 * limit + 1, limit = min(halftop, limit + 8 * cache_size);
for (p = &primes[8]; p < &primes[a]; p++)
for (j = max(start / *p | 1, *p) * *p / 2; j < limit; j += *p)
word(j) &= ~bit(j);
}
P2 = (a - b) * (a + b - 1) / 2;
for (i = m2(root2); b --> a; P2 += t, i = limit)
{
limit = m2(x / primes[b]), j = limit & ~63;
if (i < j)
{
t += popcnt((word(i)) >> (i & 63)), i = (i | 63) + 1;
while (i < j) t += popcnt(word(i)), i += 64;
if (i < limit) t += popcnt(word(i) & ones(limit - i));
}
else if (i < limit) t += popcnt((word(i) >> (i & 63)) & ones(limit - i));
}
if (a < 7) return output(Phi_small(x, a) + a - 1 - P2);
a -= 7, Phi_6 = malloc(a * Phi_prec_bytes + 15016 * sizeof(int16_t));
Phi_prec_pointer = &Phi_6[15016];
for (i = 0; i <= 105; i++)
Phi_4[i] = (i / 15) * 8 + Phi_3[i % 15] - Phi_3[(i + 3) / 7];
for (i = 0; i <= 1155; i++)
Phi_5[i] = (i / 105) * 48 + Phi_4[i % 105] - Phi_4[(i + 5) / 11];
for (i = 1, l = Phi_6, *l++ = 0; i <= 15015; )
{
Phi_6_upd_3(); Phi_6_upd_2(); Phi_6_upd_1(); Phi_6_upd_2();
Phi_6_upd_1(); Phi_6_upd_2(); Phi_6_upd_3(); Phi_6_upd_1();
}
for (i = 0; i <= m2(Phi_prec_max); i++)
Phi_prec(i, 0) = Phi_6[i] - Phi_6[(i + 8) / 17];
for (j = 1, p = &primes[7]; j < a; j++, p++)
{
i = 1, memcpy(&Phi_prec(0, j), &Phi_prec(0, j - 1), Phi_prec_bytes);
l = &Phi_prec(*p / 2 + 1, j), m = &Phi_prec(m2(Phi_prec_max), j) - *p;
while (l <= m)
for (k = 0, t = Phi_prec(i++, j - 1); k < *p; k++) *(l++) -= t;
t = Phi_prec(i++, j - 1);
while (l <= m + *p) *(l++) -= t;
}
primes_fastdiv = malloc(a * sizeof(int64_t));
for (i = 0, p = &primes[8]; i < a; i++, p++)
{
t = 96 - __builtin_clzll(*p);
primes_fastdiv[i] = (bit(t) / *p + 1) << (64 - t);
}
return output(Phi(x, a) + a + 6 - P2);
}
これは、Meissel-Lehmerメソッドを使用します。
タイミング
私のマシンでは、組み合わせたテストケースで約5.7ミリ秒を取得しています。これは、1867 MHzのDDR3 RAMを搭載し、openSUSE 13.2を実行しているIntel Core i7-3770上にあります。
$ ./timepi '-march=native -O3' pi 1000
pi(x) = 93875448 real time: 2774958 ns
pi(x) = 66990613 real time: 2158491 ns
pi(x) = 62366021 real time: 2023441 ns
pi(x) = 34286170 real time: 1233158 ns
pi(x) = 5751639 real time: 384284 ns
pi(x) = 2465109 real time: 239783 ns
pi(x) = 1557132 real time: 196248 ns
pi(x) = 4339 real time: 60597 ns
0.00572879 s
分散が大きくなりすぎたため、プログラム内から非公式の実行時間のタイミングを使用しています。これは、組み合わされた実行時間の平均を計算したスクリプトです。
#!/bin/bash
all() { for j in ${a[@]}; do ./$1 $j; done; }
gcc -Wall $1 -lm -o $2 $2.c
a=(1907000000 1337000000 1240000000 660000000 99820000 40550000 24850000 41500)
all $2
r=$(seq 1 $3)
for i in $r; do all $2; done > times
awk -v it=$3 '{ sum += $6 } END { print "\n" sum / (1e9 * it) " s" }' times
rm times
公式回
今回は、スコアケースを1000回行うためのものです。
real 0m28.006s
user 0m15.703s
sys 0m14.319s
使い方
式
ましょう正の整数です。x
各正の整数が下記の条件のうちの正確に1つ。n≤x
n=1
素数で割り切れる Pにおける [ 1 、3 √np。[1,x−−√3]
n=pqpq(x−−√3,x2−−√3)
nn>x−−√3
π(y)pp≤yπ(x)−π(x−−√3)
Pk(y,c)m≤ykcP2(x,π(x−−√3))
ϕ(y,c)k≤ycx−ϕ(x,π(x−−√3))
x
1+x−ϕ(x,π(x−−√3))+P2(x,π(x−−√3))+π(x)−π(x−−√3)=x
したがって、
π(x)=ϕ(x,π(x−−√3))+π(x−−√3)−1−P2(x,π(x−−√3))
p≤qp≤x−−√pqx−−√3<p≤q≤xpπ(xp)−π(p)+1qpP2(x,π(x−−√3))=∑π(x√3)<k≤π(x√)(π(xpk)−π(pk)+1)pkkth
n≤ycn=pkfpknk≤cfk−1
ϕ(y,c)=y−∑1≤k≤cϕ(ypk,k−1)c=0ϕ(y,0)=y
π(x)π(x2−−√3)
アルゴリズム
を計算する必要がありますπ(xp)px−−√3x2−−√3
[1,x−−√]π(x−−√3)π(x−−√)xpkk(π(x−−√3),π(x−−√)]
∑π(x√3)<k≤π(x√)(−π(pk)+1)π(x√3)−π(x√))(π(x√3)+π(x√)−12P2(x,π(x−−√3))
ϕ2cϕ(y,c)
ϕ(0,c)=0cϕ(y,c)=y−∑1≤k≤c,pk≤yϕ(ypk,k−1)2⋅109
yc′ϕϕ(y,c)=ϕ(y,c′)−∑c′<k≤c,pk≤yϕ(ypk,k−1)ϕ(y,c′)c′y
mc=∏1≤k≤cpkϕ(mc,c)=φ(mc)[1,mc]p1,⋯,pcmcgcd(z+mc,mc)=gcd(z,mc)ϕ(y,c)=ϕ(⌊ymc⌋mc,c)+ϕ(y
φ(mc)=∏1≤k≤cφ(pk)=∏1≤k≤c(pk−1)ϕ(y,c)yy[0,mc)
c′=c−1ϕ(y,c)=ϕ(y,c−1)−ϕ(ypc,c−1)ϕ(y,c)c
ϕ(y,c)cy
実装
前のセクションでは、コードの大部分について説明しました。残っている重要な詳細の1つは、関数の除算のPhi実行方法です。
ϕπ(x−−√3)fastdivypydp≈264pypdpy264264dpy
dpyp