この画像を見てください。具体的には、端の穴の配置方法。

^{（画像ソース）}

この画像のパイプが六角形のパターンでどのように詰められているかに注目してください。2Dでは、六方格子が円の最も密なパッキングであることが知られています。この課題では、円のパッキングの周囲の最小化に焦点を当てます。境界線を視覚化する便利な方法の1つは、輪のコレクションの周りに輪ゴムを置くことを想像することです。

タスク

n入力として正の整数を指定するnと、できるだけ密にパックされた円のコレクションが表示されます。

規則と説明

• 円の直径は1ユニットであると仮定します。
• 最小化される変数は、グループ内の円の中心の凸包であると定義されている周囲の長さです。この画像を見てください：

直線の3つの円の周囲は4（凸包は2x0の長方形で、2は2回カウントされます）、120度の角度で配置された円の周囲は約3.85、三角形の周囲はわずか3ユニットです。円の中心ではなく、円の端だけを見ているため、実際の境界線となる追加のpi単位を無視していることに注意してください。

• 任意のに対して複数のソリューションが存在する可能性があります（ほぼ確実に存在します）n。これらのいずれかを自由裁量で出力できます。向きは関係ありません。
• 円は六角格子上になければなりません。
• 円の直径は少なくとも10ピクセルである必要があり、塗りつぶしてもしなくてもかまいません。
• プログラムまたは関数のいずれかを作成できます。
• 入力は、STDINを介して、関数の引数として、または最も近いものとして取得できます。
• 出力は表示されるか、ファイルに出力されます。

例

以下に、1から10までのnの有効および無効な出力の例を示します（有効な例は、最初の5つのみです）。有効な例は左側にあります。右側のすべての例は、対応する有効な例よりも大きな境界線を持っています。

この課題の作成を支援してくれたsteveverrillに感謝します。ハッピーパッキング！

Mathematica 295950 バイト

注：このまだゴルフのバージョンは、私の以前の試みに関してスティーブメリルによって提起された問題に対処します。

これは最初のバージョンよりも改善されていますが、六角形ではなく円形の全体的な形状を求める最も密なハンドル構成は見つかりません。

完全な内部六角形（n> = 6の場合）を構築することで解決策を見つけ、残りの円で外部シェルを完成させるためにすべての構成を調べます。

興味深いことに、Steve Merrillがコメントで指摘したように、n+1円の解は、n個の円に別の円が追加された解で構成されるとは限りません。30個の円の指定されたソリューションを、31個の円の指定されたソリューションと比較します。（注：30個の円に対して独自のソリューションがあります。）

m[pts_]:={Show[ConvexHullMesh[pts],Graphics[{Point/@pts,Circle[#,1/2]&/@ pts}], 
ImageSize->Tiny,PlotLabel->qRow[{Length[pts],"  circles"}]],
RegionMeasure[RegionBoundary[ConvexHullMesh[pts]]]};
nPoints = ((#+1)^3-#^3)&;pointsAtLevelJ[0] = {{0,0}};
pointsAtLevelJ[j_]:=RotateLeft@DeleteDuplicates@Flatten[Subdivide[#1, #2, j] &@@@
Partition[Append[(w=Table[j{Cos[k Pi/3],Sin[k Pi/3]},{k,0,5}]), 
w[[1]]], 2, 1], 1];nPointsAtLevelJ[j_] := Length[pointsAtLevelJ[j]]
getNPoints[n_] := Module[{level = 0, pts = {}},While[nPoints[level]<=n, 
pts=Join[pointsAtLevelJ[level],pts];level++];Join[Take[pointsAtLevelJ[level],n-Length[pts]],
pts]];ns={1,7,19,37,61,91};getLevel[n_]:=Position[Union@Append[ns,n],n][[1, 1]]-1;
getBaseN[n_] := ns[[getLevel[n]]];pack[1]=Graphics[{Point[{0,0}], Circle[{0, 0}, 1/2]}, 
ImageSize->Tiny];pack[n_]:=Quiet@Module[{base = getNPoints[getBaseN[n]], 
outerRing = pointsAtLevelJ[getLevel[n]], ss},ss=Subsets[outerRing,{n-getBaseN[n]}];
SortBy[m[Join[base,#]]&/@ss,Last][[1]]]

一部のチェックでは、nの単一の値（対称性を含む）で10万件を超えるケースを比較しました。合計34のテストケースを実行するのに約5分かかりました。言うまでもなく、n'sこのブルートフォースアプローチが大きくなると、すぐに実用的ではなくなります。より効率的なアプローチが存在することは確かです。

各パッキングの右側の数字は、それぞれの青い凸包の周囲です。以下はの出力です3 < n < 35。赤い円は、通常の六角形の周りに追加されたものです。