再配置の不等式

10

バックグラウンド

転位不平等は数字を並べ替えるに基づいて不平等です。同じ長さの数値の2つのリストがある場合、x 0、x 1、x 2 ... x n-1および同じ長さのy 0、y 1、y 2 ... y n-1で、ここでIリストの数値を並べ替えることができます。合計を最大化するには、x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n-1 y n-1で2つのリストを並べ替えます減少しない順序。

読むWikipediaのこちらの記事を。

仕事

STDINから入力を受け取るプログラム、または数値（同じ長さ）の2つの配列（または関連するコンテナー）を受け入れる関数を作成します。

2つの配列（aとb）を受け入れる関数を作成すると仮定すると、最大化するために2番目の配列（b）の数値を再配置する方法の数がわかります。

a[0]*b[0]+a[1]*b[1]+a[2]*b[2]+...+a[n-1]*b[n-1]

この場合には、配列b [1であれば0、2 1、2 2、3 3、3 4、（明確にするための指標）

[1 0、2 1、2 2、3 3、3 4 ]

[1 0、2 1、2 2、3 4、3 3 ]、（スワップ2つの3'S）

[1 0、2 2、2 1、3 3、3 4（2つの2つのスワップ）

[1 0、2 2、2 1、3 4、3 3 ]（スワップ2つの3の二つ2のスワップ）

異なる配置と見なされます。元の配列自体も、合計を最大化する場合、可能な再配置としてカウントされます。

STDIN入力の場合、配列よりも前に配列の長さが提供されている（使用できるように説明してください）か、配列が別の行に提供されている（これも説明してください）と想定できます。

以下は4つの可能な入力です（便宜上）。

5 1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 (length before arrays)

1 1 2 2 2 1 2 2 3 3 (the 2 arrays, concatenated)

1 1 2 2 2
1 2 2 3 3 (the 2 arrays on different lines)

5
1 1 2 2 2
1 2 2 3 3 (length before arrays and the 2 arrays on different lines)

出力の場合、回答を返す（関数を作成する場合）か、回答をSTDOUTに出力できます。より便利であれば、回答mod 10 9 +7（0から10 9 +6まで）を出力することを選択できます。

テストケース（および説明）：

[1 1 2 2 2] [1 2 2 3 3] => 24

最初の2つのエントリは1と2でなければなりません。最後の3つのエントリは2、3、3です。最初の2つのエントリと最後の2つのエントリの間に2を配置する方法は2つあります。最初の2つのエントリの中で、それらを再配置するには2つの方法があります。最後の2つのエントリのうち、それらを再配置する方法は6つあります。

[1 2 3 4 5] [6 7 8 9 10] => 1

1つの方法しかありません。これは、配列で指定された配置です。

[1 1 ... 1 1] [1 1 ... 1 1] (10000 numbers) => 10000! or 531950728

2番目の配列の可能なすべての順列が有効です。

デニスのテストケース：Pastebin => 583159312（mod 1000000007）

得点：

これはコードゴルフなので、最も短い答えが勝ちます。

同点の場合、提出の時間までに同点が解除され、先の提出が優先されます。

メモを取る：

コンテナは並べ替えられていない場合があります。

コンテナの整数はゼロまたは負の値です。

プログラムは、適度なサイズの配列（長さが約10000）に対して十分な速度（最大で1時間）で実行する必要があります。

数学スタック交換に関するこの質問に触発されました。

code-golf  math  combinatorics  permutations 
— Element118
ソース
2
コードが正しく動作し、十分に高速であることを確認できるように、配列ごとに10000要素のテストケースを提供してください。
— Dennis、
1
2番目のアレイ[1_0、2_2、2_1、3_4、3_3]を交換するために指定する例では、2つの2を交換して2つの3を交換します
— Willem
[. . .]
— plz
関数を送信する場合、2つの別々の引数を取る必要がありますか、それとも配列の配列を取ることができますか？
— Dennis
まあ、配列の配列は問題ないようで、課題にあまり影響しません。テストケースに取り組みます。
— Element118 2015年

回答:

4

CJam、30 26バイト

q~](/:$_za+{e`0f=:m!:*}//*

CJamインタープリターでオンラインで試してください。

このテストケースは1秒未満で完了します。

$ time cjam <(echo 'q~](/:$_za+{e`0f=:m!:*}%)\:*\/N') < test-large.in | md5sum
5801bbf8ed0f4e43284f7ec2206fd3ff  -

real    0m0.308s
user    0m0.667s
sys     0m0.044s

オンラインインタープリターで実行するのにかかる時間は10秒未満です。

アルゴリズム

結果はAの順序に依存しないため、ソートされていると見なすことができます。これは、最大のドット積を達成するためにBもソートする必要があることを意味します。

ここで、r 1、…r nがソートされたAのランの長さである場合、∏r kがあります。Aの要素のさまざまな再配置で、まだ昇順になります。

同様に、s 1、…s nがソートされたBのランの長さである場合、, s kがあります。Bの要素のさまざまな再配置で、昇順になります。

ただし、これはすべてのペアリングを複数回カウントします。ソートされたAとソートされたBの対応する要素のペアを取り、t 1、…t nを結果の配列のランの長さとして定義すると、Ift k！前述の乗数です。

したがって、望ましい結果は（∏r k！）×（∏s k！）÷（∏t k！）です。

コード

 q~                          Read and evaluate all input.
   ]                         Wrap the resulting integers in an array.
    (                        Shift out the first (length).
     /                       Split the remainder into chunks of that length.
      :$                     Sort each chunk.
        _z                   Push a copy and transpose rows with columns.
                             This pushes the array of corresponding pairs.
          a+                 Wrap in array and concatenate (append).
            {          }/    For A, B, and zip(A,B):
             e`                Perform run-length encoding.
               0f=             Select the runs.
                  :m!          Apply factorial to each.
                     :*        Reduce by multiplication.
                         /   Divide the second result by the third.
                          *  Multiply the quotient with the first result.
— デニス
ソース
6

Pyth、29 28バイト

M/*FPJm*F.!MhMrd8aFCB,SGSHeJ

Pyth Compilerでオンラインで試してください。

アルゴリズム

結果はAの順序に依存しないため、ソートされていると見なすことができます。これは、最大のドット積を達成するためにBもソートする必要があることを意味します。

ここで、r 1、…r nがソートされたAのランの長さである場合、∏r kがあります。Aの要素のさまざまな再配置で、まだ昇順になります。

同様に、s 1、…s nがソートされたBのランの長さである場合、, s kがあります。Bの要素のさまざまな再配置で、昇順になります。

ただし、これはすべてのペアリングを複数回カウントします。ソートされたAとソートされたBの対応する要素のペアを取り、t 1、…t nを結果の配列のランの長さとして定義すると、Ift k！前述の乗数です。

したがって、望ましい結果は（∏r k！）×（∏s k！）÷（∏t k！）です。

コード

M/*FPJm*F.!MhMrd8aFCB,SGSHeJ

M                             Define g(G,H):
                      SGSH      Sort G and H.
                     ,          For the pair of the results.
                   CB           Bifurcated zip (C).
                                This returns [[SG, SH], zip([SG, SH])].
                 aF             Reduce by appending.
                                This returns [SG, SH, zip([SG, SH])].
      m                         Map; for each d in the resulting array:
              rd8                 Perform run-length encoding on d.
            hM                    Mapped "head". This returns the lengths.
         .!M                      Mapped factorial.
       *F                         Reduce by multiplication.
     J                          Save the result in J.
    P                           Discard the last element.
  *F                            Reduce by multiplication.
 /                  
                          eJ    Divide the product by the last element of J.
                                Return the result of the division.

検証

私は長さ6の疑似ランダムに100個のテストケースを生成しました。これは上記のコードとこのブルートフォースアプローチで解決しました。

Ml.Ms*VGZ.pH

M             Define g(G,H) (or n(G,H) on second use):
         .pH    Compute all permutations of H.
  .M            Filter .pH on the maximal value of the following;
                 for each Z in .pH:
     *VGZ         Compute the vectorized product of G and Z.
    s             Add the products.
                  This computes the dot product of G and Z.
 l              Return the length of the resulting array.

これらは結果でした：

$ cat test.in
6,9,4,6,8,4,5,6,5,0,8,2
0,7,7,6,1,6,1,7,3,3,8,0
3,6,0,0,6,3,8,2,8,3,1,1
2,3,0,4,0,6,3,4,5,8,2,4
9,1,1,2,2,8,8,1,7,4,9,8
8,3,1,1,9,0,2,8,3,4,9,5
2,0,0,7,7,8,9,2,0,6,7,7
0,7,4,2,2,8,6,5,0,5,4,9
2,7,7,5,5,6,8,8,0,5,6,3
1,7,2,7,7,9,9,2,9,2,9,8
7,2,8,9,9,0,7,4,6,2,5,3
0,1,9,2,9,2,9,5,7,4,5,6
8,4,2,8,8,8,9,2,5,4,6,7
5,2,8,1,9,7,4,4,3,3,0,0
9,3,6,2,5,5,2,4,6,8,9,3
4,2,0,6,2,3,5,3,6,3,1,4
4,8,5,2,5,0,5,1,2,5,9,5
6,8,4,4,9,5,9,5,4,2,8,7
8,9,8,1,2,2,9,0,5,6,4,9
4,7,6,8,0,3,7,7,3,9,8,6
7,5,5,6,3,9,3,8,8,4,8,0
3,8,1,8,5,6,6,7,2,8,5,3
0,9,8,0,8,3,0,3,5,9,5,6
4,2,7,7,5,8,4,2,6,4,9,4
3,5,0,8,2,5,8,7,3,4,5,5
7,7,7,0,8,0,9,8,1,4,8,6
3,9,7,7,4,9,2,5,9,7,9,4
4,5,5,5,0,7,3,4,0,1,8,2
7,4,4,2,5,1,7,4,7,1,9,1
0,6,2,5,4,5,1,8,0,8,9,9
3,8,5,3,2,1,1,2,2,2,8,4
6,1,9,1,8,7,5,6,9,2,8,8
6,2,6,6,6,0,2,7,8,6,8,2
0,7,1,4,5,5,3,4,4,0,0,2
6,0,1,5,5,4,8,5,5,2,1,6
2,6,3,0,7,4,3,6,0,5,4,9
1,4,8,0,5,1,3,2,9,2,6,5
2,7,9,9,5,0,1,5,6,8,4,6
4,0,1,3,4,3,6,9,1,2,7,1
6,5,4,7,8,8,6,2,3,4,1,2
0,3,6,3,4,0,1,4,5,5,5,7
5,4,7,0,1,3,3,0,2,1,0,8
8,6,6,1,6,6,2,2,8,3,2,2
7,1,3,9,7,4,6,6,3,1,5,8
4,8,3,3,9,1,3,4,1,3,0,6
1,4,0,7,4,9,8,4,2,1,0,3
0,4,1,6,4,4,4,7,5,1,4,2
0,0,4,4,9,6,7,2,7,7,5,4
9,0,5,5,0,8,8,9,5,9,5,5
5,7,0,4,2,7,6,1,1,1,9,1
3,1,7,5,0,3,1,4,0,9,0,3
4,4,5,7,9,5,0,3,7,4,7,5
7,9,7,3,0,8,4,0,0,3,1,0
2,4,4,3,1,2,5,2,9,0,8,5
4,8,7,3,0,0,9,3,7,3,0,6
8,9,1,0,7,7,6,0,3,1,8,9
8,3,1,7,3,3,6,1,1,7,6,5
6,5,6,3,3,0,0,5,5,0,6,7
2,4,3,9,7,6,7,6,5,6,2,0
4,8,5,1,8,4,4,3,4,5,2,5
7,5,0,4,6,9,5,0,5,7,5,5
4,8,9,5,5,2,3,1,9,7,7,4
1,5,3,0,3,7,3,8,5,5,3,3
7,7,2,6,1,6,6,1,3,5,4,9
9,7,6,0,1,4,0,4,4,1,4,0
3,5,1,4,4,0,7,1,8,9,9,1
1,9,8,7,4,9,5,2,2,1,2,9
8,1,2,2,7,7,6,8,2,3,9,7
3,5,2,1,3,5,2,2,4,7,0,7
9,6,8,8,3,5,2,9,8,7,4,7
8,8,4,5,5,1,5,6,5,1,3,3
2,6,3,5,0,5,0,3,4,4,0,5
2,2,7,6,3,7,1,4,0,3,8,3
4,8,4,2,6,8,5,6,2,5,0,1
7,2,4,3,8,4,4,6,5,3,9,4
4,6,1,0,6,0,2,6,7,4,9,5
6,3,3,4,6,1,0,8,6,1,7,5
8,3,4,2,8,3,0,1,8,9,1,5
9,6,1,9,1,1,8,8,8,9,1,4
3,6,1,6,1,4,5,1,0,1,9,1
6,4,3,9,3,0,5,0,5,3,2,4
5,2,4,6,1,2,6,0,1,8,4,0
3,5,7,6,3,6,4,5,2,8,1,5
6,3,6,8,4,2,7,1,5,3,0,6
9,1,5,9,9,1,1,4,5,7,3,0
1,6,7,3,5,8,6,5,5,2,6,0
2,8,8,6,5,5,2,3,8,1,9,8
0,4,5,3,7,6,2,5,4,3,2,5
5,1,2,3,0,3,4,9,4,9,4,9
5,8,2,2,0,2,4,1,1,7,0,3
0,6,0,0,3,6,3,6,2,2,2,9
2,4,8,1,9,4,0,8,8,0,4,7
3,9,1,0,5,6,8,8,2,5,2,6
5,3,8,9,1,6,5,9,7,7,6,1
8,6,9,6,1,1,6,7,7,3,2,2
7,2,1,9,8,8,5,3,6,3,3,6
9,9,4,8,7,9,8,6,6,0,3,1
8,3,0,9,1,7,4,8,0,1,6,2
8,2,6,2,4,0,2,8,9,6,3,7
1,0,8,5,3,2,3,7,1,7,8,2
$ while read; do
> pyth -c 'M/*FPJm*F.!MhMrd8aFCB,SGSHeJMl.Ms*VGZ.pHAc2Q,gGHnGH' <<< "$REPLY"
> done < test.in
[4, 4]
[4, 4]
[8, 8]
[4, 4]
[8, 8]
[2, 2]
[4, 4]
[4, 4]
[4, 4]
[36, 36]
[2, 2]
[8, 8]
[24, 24]
[8, 8]
[2, 2]
[2, 2]
[6, 6]
[2, 2]
[8, 8]
[2, 2]
[12, 12]
[2, 2]
[8, 8]
[12, 12]
[4, 4]
[12, 12]
[4, 4]
[6, 6]
[8, 8]
[8, 8]
[6, 6]
[4, 4]
[48, 48]
[8, 8]
[4, 4]
[1, 1]
[4, 4]
[4, 4]
[8, 8]
[4, 4]
[12, 12]
[2, 2]
[96, 96]
[2, 2]
[4, 4]
[2, 2]
[6, 6]
[24, 24]
[24, 24]
[48, 48]
[4, 4]
[8, 8]
[12, 12]
[8, 8]
[4, 4]
[2, 2]
[24, 24]
[16, 16]
[2, 2]
[8, 8]
[24, 24]
[4, 4]
[24, 24]
[4, 4]
[12, 12]
[8, 8]
[12, 12]
[4, 4]
[8, 8]
[4, 4]
[16, 16]
[4, 4]
[8, 8]
[8, 8]
[4, 4]
[4, 4]
[4, 4]
[4, 4]
[72, 72]
[24, 24]
[4, 4]
[4, 4]
[4, 4]
[2, 2]
[12, 12]
[4, 4]
[8, 8]
[4, 4]
[36, 36]
[6, 6]
[12, 12]
[8, 8]
[4, 4]
[2, 2]
[8, 8]
[24, 24]
[6, 6]
[1, 1]
[2, 2]
[2, 2]

送信が速度要件を満たしていることを確認するために、このテストケースで実行しました。

$ time pyth -c 'M/*FPJm*F.!MhMrd8aFCB,SGSHeJAc2QgGH' < test-large.in | md5sum
5801bbf8ed0f4e43284f7ec2206fd3ff  -

real    0m0.233s
user    0m0.215s
sys     0m0.019s
— デニス
ソース
2

Matlab、230バイト

編集：Dennisのテストケースに一致するように多くの点が修正され、nnz値のためにnnzがnumelに置き換えられました。

f=1;t=-1;q=1;a=sort(input(''));b=sort(input(''));for i=unique(a)c=b(find(a==i));r=numel(c(c==t));f=f*factorial(numel(c))*sum(arrayfun(@(u)nchoosek(max(q,r),u),0:min(q,r)));z=c(end);y=numel(c(c==z));q=(t==z)*(q+r)+(t~=z)*y;t=z;end,f

実行

[2 2 1 2 1]
[3 2 3 2 1]

f =

    24

デニスのテストケース：

   A = importdata('f:\a.csv'); for i=1:100,a=sort(A(i,1:6));b=sort(A(i,7:12));
   f=1;t=-1;q=1;for i=unique(a)c=b(find(a==i));r=numel(c(c==t));f=f*factorial(numel(c))*sum(arrayfun(@(u)nchoosek(max(q,r),u),0:min(q,r)));z=c(end);y=numel(c(c==z));q=(t==z)*(q+r)+(t~=z)*y;t=z;end;
   disp(f);end

出力：

 4

 4

 8

 4

 8

 2

 4

 4

 4

36

 2

 8

24

 8

 2

 2

 6

 2

 8

 2

12

 2

 8

12

 4

12

 4

 6

 8

 8

 6

 4

48

 8

 4

 1

 4

 4

 8

 4

12

 2

96

 2

 4

 2

 6

24

24

48

 4

 8

12

 8

 4

 2

24

16

 2

 8

24

 4

24

 4

12

 8

12

 4

 8

 4

16

 4

 8

 8

 4

 4

 4

 4

72

24

 4

 4

 4

 2

12

 4

 8

 4

36

 6

12

 8

 4

 2

 8

24

 6

 1

 2

 2
— Abr001am
ソース
まあ、それは問題を解決するので、入力はあまり重要ではありません。
— Element118 2015年
1

C ++、503バイト

（楽しみのために、ゴルフではない言語）

#import<iostream>
#import<algorithm>
#define U 12345
#define l long long
using namespace std;int N,X=1,Y=1,Z=1,x[U],y[U],i=1;l p=1,M=1000000007,f[U];l e(l x,int y){return y?y%2?(x*e(x,y-1))%M:e((x*x)%M,y/2):1;}main(){for(f[0]=1;i<U;i++)f[i]=(f[i-1]*i)%M;cin>>N;for(i=0;i<N;i++)cin>>x[i];for(i=0;i<N;i++)cin>>y[i];sort(x,x+N);sort(y,y+N);for(i=1;i<N;i++)x[i]^x[i-1]?p=p*f[X]%M,X=1:X++,y[i]^y[i-1]?p=p*f[Y]%M,Y=1:Y++,x[i]^x[i-1]|y[i]^y[i-1]?p=p*e(f[Z],M-2)%M,Z=1:Z++;cout<<p*f[X]%M*f[Y]%M*e(f[Z],M-2)%M;}

ゴルフされていないバージョン：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int N; // number of integers
int x[1000010]; // the 2 arrays of integers
int y[1000010];
long long product = 1;
long long factorial[1000010]; // storing factorials mod 1000000007
long long factorialInv[1000010]; // storing the inverse mod 1000000007
long long pow(long long x, int y) {
    if (y == 0) return 1;
    if (y == 1) return x;
    if (y%2 == 1) return (x*pow(x, y-1))%MOD;
    return pow((x*x)%MOD, y/2);
}
int main(void) {
    //freopen("in.txt", "r", stdin); // used for faster testing
    //precomputation
    factorial[0] = factorial[1] = 1;
    for (int i=2;i<=1000000;i++) {
        factorial[i] = (factorial[i-1]*i)%MOD;
        factorialInv[i] = pow(factorial[i], MOD-2);
    }
    // input
    scanf("%d", &N);
    for (int i=0;i<N;i++) {
        scanf("%d", &x[i]);
    }
    for (int i=0;i<N;i++) {
        scanf("%d", &y[i]);
    }
    // sort the 2 arrays
    sort(x, x+N);
    sort(y, y+N);
    int sameX = 1;
    int sameY = 1;
    int sameXY = 1;
    for (int i=1;i<N;i++) {
        if (x[i]==x[i-1]) {
            sameX++;
        } else {
            product *= factorial[sameX];
            product %= MOD;
            sameX = 1;
        }
        if (y[i]==y[i-1]) {
            sameY++;
        } else {
            product *= factorial[sameY];
            product %= MOD;
            sameY = 1;
        }
        if (x[i]==x[i-1] && y[i]==y[i-1]) {
            sameXY++;
        } else {
            product *= factorialInv[sameXY];
            product %= MOD;
            sameXY = 1;
        }
    }
    product *= factorial[sameX];
    product %= MOD;
    product *= factorial[sameY];
    product %= MOD;
    product *= factorialInv[sameXY];
    product %= MOD;
    printf("%lld\n", product);
    return 0;
}
— Element118
ソース
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