Randall Munroeの本「xkcd、volume 0」では、ページ番号にやや奇数のシステムを使用しています。最初のいくつかのページ番号は

1, 2, 10, 11, 12, 20, 100, 101, 102, 110, 111, 112, 120, 200, 1000, 1001, ...

これは、3進法に少し似ていますが、彼が20まっすぐに100、から120、200そしてにスキップすることに注意し200てください1000。このシーケンスを定義する1つの方法は、それがせいぜい1を含むすべての3進数を列挙して2、1その後でないと言うこと2です。これはOEISのエントリA169683にあります。この番号体系は、スキューバイナリと呼ばれます。

あなたの仕事はN、この番号体系で与えられた正の整数の表現を見つけることです。

プログラムまたは関数を作成し、STDIN（または最も近い代替）、コマンドライン引数または関数引数を介して入力を取得し、STDOUT（または最も近い代替）、関数の戻り値または関数（out）パラメーターを介して結果を出力できます。

出力は、文字列、スキューバイナリ表現に等しい10進表現の数値、または（整数または文字/文字列としての）数字のリストです。先行ゼロを返してはなりません。

これはコードゴルフなので、最短の回答（バイト単位）が勝ちです。

おもしろい事実：この番号体系には、実際にはいくつかのメリットがあります。数字をインクリメントするとき、常に最大で2つの隣接する数字を変更します-数字全体に変更を伝える必要はありません。O（1）の増分を許可する正しい表現を使用します。

テストケース

1 => 1
2 => 2
3 => 10
6 => 20
7 => 100
50 => 11011
100 => 110020
200 => 1100110
1000 => 111110120
10000 => 1001110001012
100000 => 1100001101010020
1000000 => 1111010000100100100
1048576 => 10000000000000000001

1000000000000000000 => 11011110000010110110101100111010011101100100000000000001102

最後のテストケース（および同様の大きさの他の入力なので、ハードコーディングについては考えないでください）を1秒未満で解決できる最短回答に報奨金を与えます。

リーダーボード

これは、通常のリーダーボードと言語ごとの勝者の概要の両方を生成するスタックスニペットです。

回答が表示されるようにするには、次のマークダウンテンプレートを使用して、見出しから回答を開始してください。

# Language Name, N bytes

N提出物のサイズはどこですか。スコアを改善する場合、古いスコアを打つことで見出しに残すことができます。例えば：

# Ruby, <s>104</s> <s>101</s> 96 bytes

<script>site = 'meta.codegolf'; postID = 5314; isAnswer = true; QUESTION_ID = 51517</script><script src='https://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/2.1.1/jquery.min.js'></script><script>jQuery(function(){var u='https://api.stackexchange.com/2.2/';if(isAnswer)u+='answers/'+postID+'?order=asc&sort=creation&site='+site+'&filter=!GeEyUcJFJeRCD';else u+='questions/'+postID+'?order=asc&sort=creation&site='+site+'&filter=!GeEyUcJFJO6t)';jQuery.get(u,function(b){function d(s){return jQuery('<textarea>').html(s).text()};function r(l){return new RegExp('<pre class="snippet-code-'+l+'\\b[^>]*><code>([\\s\\S]*?)</code></pre>')};b=b.items[0].body;var j=r('js').exec(b),c=r('css').exec(b),h=r('html').exec(b);if(c!==null)jQuery('head').append(jQuery('<style>').text(d(c[1])));if (h!==null)jQuery('body').append(d(h[1]));if(j!==null)jQuery('body').append(jQuery('<script>').text(d(j[1])))})})</script>

Pyth、17バイト

Ljb3ye.f!-P-yZ01Q

これはやや途方もなく遅いです- O(output^log_2(3))。入力の長さは指数関数的ですが、ページ上のいくつかの回答のように、二重指数関数的ではありません。@Dennisの回答から取ったいくつかのアイデアはこちら。

デモンストレーション。

これは、使用可能.f機能を「n個の一致が発見されるまでループ」Pythのを、。

CJam、24 23 22 21 19バイト

ri_)2b,,W%{2\#(md}/

これはO（log n）アプローチです。nは入力で、最後のテストケースを即座に完了します。数字1の値によるモジュラー除算を使用して、nをスキューバイナリに直接変換します。

このコードは、JavaインタープリターでSTDERRに送られるエラーで終了します。これはMetaのコンセンサスに従って許可されています。

CJamインタープリターでこのコードを試しても、出力の最終行以外はすべて無視してください。

を先頭に追加2>することにより、2バイトのコストでエラーを排除できますW%。

1バイトのゴルフをしてくれた@MartinBüttnerに感謝します。

バックグラウンド

スキューバイナリ表現a _k ... a ₀は、整数n =（2 ^{k + 1} -1）a _k + ... +（2 ¹ -1）a _{0に対応し}ます。

以来、両方の（2 ^K -1）+ ... +（2 ¹ -1）= 2 ^{のk + 1} - （K + 2）及び（2 ^K -1）+ ... + 2（2 ^J -1）= 2 ^{k + 1-}（2 ^{j +} 1-2 ^j + k + 1）は2 ^{k + 1} -1未満であり、a _kからa _0の値は2 ^{k + 1} -1による連続的なモジュラー除算によって回復できます。、2 ^k -1など

最初に、2 ^{k + 1} -1の値を見つける必要があります。以来、nが最大である2（2 ^{K + 1} -1）、整数N + 1は、より厳密に小さくなければならない2 ^{K + 2}。

したがって、n + 1の 2進対数の整数部分を取得すると、k + 1が生成されます。

最後に、我々は整数ことを観察N + 1た⌊log ₂ ⌋（N + 1）をベース2の桁。

使い方

ri    e# Read an integer N from STDIN.
2b,   e# Push the number of binary digits of N + 1, i.e, K + 2 = log(N + 1) + 1.
,W%   e# Push the range [K+1 ... 0].
{     e# For each J in the range:
  2\# e#   J -> 2**J
  (   e#     -> 2**J - 1
  md  e#   Perform modular division of the integer on the stack (initially N)
      e#   by 2**J - 1: N, 2**J - 1 -> N/(2**J - 1), N%(2**J - 1)
}/    e#

最後の2回の反復では、1と0によるモジュラー除算を実行します。最初は、スタックに不要な0をプッシュします。スタックから0 0 md不要な0をポップする最後の実行試行は、何かをプッシュする代わりにすぐに終了し、スタックをSTDOUTにダンプします。

Python 2、67バイト

def f(n):x=len(bin(n+1))-3;y=2**x-1;return n and n/y*10**~-x+f(n%y)

与えられたテストケースで動作するようです。これが正しければ、これは約O(place values set in output)になりますので、最後のケースを簡単に実行できます。

のように呼び出しf(100)ます。スキューバイナリに等しい10進表現を返します。

Python 3、65バイト

def g(n,x=1):*a,b=n>x*2and g(n,x-~x)or[n];return a+[b//x,b%x][:x]

効率はやや劣りますが、それでも対数なので、最後のケースはほぼ瞬時です。

のように呼び出しg(100)ます。数字のリストを返します。

CJam、22 21 20バイト

ri_me,3fb{0-W<1-!},=

これはO（e ⁿ n）アプローチで、nは入力です。これは、最初の一覧表示⌊e ^N ⌋、ベース3の非負整数を有するもの排除2つの S又は1つの最初の後にSを2（もしあれば）とを選択するN + 1 ^番目。

CJamインタープリターでオンラインで試してください。

使い方

ri    e# Read an integer N from STDIN.
_me,  e# Push [0 ... floor(exp(N))-1].
3fb   e# Replace each integer in the range by the array of its digits in base 3.
{     e# Filter; for each array A:
  0-  e#   Remove all 0's.
  W<  e#   Remove the last element.
  1-  e#   Remove all 1's.
  !   e#   Logical NOT. Pushes 1 iff the array is empty.
},    e#   If ! pushed 1, keep the array.
=     e# Select the (N+1)th element of the filtered array.

Pyth、20バイト

Jt^2hslhQ#p/=%QJ=/J2

O（log（input（）））で実行されます。最終テストケースでは1秒未満です。run until errorループに基づいています。末尾の改行はありません。

デモンストレーション。

説明：

Jt^2hslhQ#p/=%QJ=/J2
                        Implicit: Q is the input.
      lhQ                          log(Q+1,2)
     slhQ                    floor(log(Q+1,2))
    hslhQ                    floor(log(Q+1,2))+1
  ^2hslhQ                 2^(floor(log(Q+1,2))+1)
 t^2hslhQ                 2^(floor(log(Q+1,2))+1)-1
Jt^2hslhQ               J=2^(floor(log(Q+1,2))+1)-1
         #              until an error is thrown:
            =%QJ        Q=Q%J
                =/J2    J=J/2
           /            The value Q/J, with the new values of Q and J.
          p             print that charcter, with no trailing newline.

Jは、入力よりも大きい最小のスキュー2進数位置の値に初期化されます。次に、ループを通過するたびに、次のことを行います。

• Jから値の各桁を削除Qし=%QJます。例えば、もしQ=10とJ=7、Qとなる3からスキューバイナリ変化に対応する110に10。これは最初の反復では効果がありません。
• を使用Jして、次に小さいスキューバイナリベース値に変更し=/J2ます。これは、2によるフロア分割で、たとえばに変更J=7さJ=3れます。これは最初の数字が出力される前に発生するためJ、必要以上に1桁高い位置に初期化されます。
• /QJ（効果的に）実際の数字の値を見つけます。
• p末尾の改行を避けるために、Pythのデフォルトの印刷ではなく、でその値を印刷します。

このループはJゼロになるまで繰り返され、ゼロになるとゼロ除算エラーがスローされ、ループは終了します。

ES6、105バイト

f=n=>{for(o=0;n--;c?o+=Math.pow(3,s.length-c):o++)s=t(o),c=s.search(2)+1;return t(o);},t=a=>a.toString(3)

使用法： f(1048576)=> `" 10000000000000000001 "

自分の責任で最後の引数をテストしてください。5秒後にあきらめました。

そして、コメント付きできれいに印刷してください！

f=n=>{ //define function f with input of n (iteration)
    for(o=0; //define o (output value in decimal)
        n--; //decrement n (goes towards falsy 0) each loop until 0
        c?o+=Math.pow(3,s.length-c):o++) //if search finds a 2, increment output by 3^place (basically moves the 2 to the left and sets the place to 0), else ++
        s=t(o), //convert output to base 3      
        c=s.search(2)+1; //find the location of 2, +1, so a not-found becomes falsy 0.
    return t(o); //return the output in base 3
},

t=a=>a.toString(3);  //convert input a to base 3

網膜、55バイト

^
0a
(+`12(.*a)1
20$1
0?2(.*a)1
10$1
0a1
1a
)`1a1
2a
a
<empty line>

単項で入力を取ります。

各行は独自のファイルに移動する必要がありますが、-sフラグを使用してコードを1つのファイルとして実行できます。例えば：

> echo 11111|retina -s skew
12

メソッド：stringから開始して、入力された文字列でnumber回インクリメントを実行する0。

次の増分ルールを使用します。

• 含まれている場合2：^2 -> ^12; 02 -> 12;12 -> 20
• が含まれていない場合2：0$ -> 1$;1$ -> 2$

（そこでは、ほとんどのいずれかになります。2文字列に、^そして$ルール内の文字列の開始と終了をマークします。）

Retinaの詳細。

Java、154 148

n->{String s="0";for(;n-->0;)s=s.contains("2")?s.replaceAll("(^|0)2","10").replace("12","20"):s.replaceAll("1$","2").replaceAll("0$","1");return s;}

この回答は、整数の引数を取り、回答を文字列として返す単一の匿名関数の形式を取ります。以下は、このソリューションをテストするための完全なクラスです。

import java.util.function.Function;
public class Skew {
    public static void main(String[] args){
        Function<Integer,String> skew = n->{String s="0";for(;n-->0;)s=s.contains("2")?s.replaceAll("(^|0)2","10").replace("12","20"):s.replaceAll("1$","2").replaceAll("0$","1");return s;};

        for(String s:args){
            System.out.println(skew.apply(Integer.parseInt(s)));
        }
    }
}

Bash + coreutils、52

dc -e3o0[r1+prdx]dx|grep -v 2.\*[12]|sed -n $1{p\;q}

これはブルートフォーサーであるため、数値が大きいほど遅くなります。

出力：

$ ./xkcdnum.sh 1000
111110120
$ 

Java、337 335 253 246 244バイト

インデックスをaとして受け取りlong、結果を文字列として返すメソッド

使用するlongインデックスのためにそうすることができ、理論的に最後のテストケースを扱うが、私は本当にそれを示唆しています。

String f(long i){List<Long>l=new ArrayList<>();l.add(0L);for(;i-->0;){int j=l.indexOf(2);if(j!=-1){l.set(j,0L);if(j==0){l.add(0,1L);}else{l.set(j-1,l.get(j-1)+1);}}else{j=l.size()-1;l.set(j,l.get(j)+1);}}String s="";for(long q:l)s+=q;return s;}

ハスケル、73 72

^{1バイトの@nimiに感謝します！}

このソリューションは賞金を獲得することはできません。最後の数回のテストは実行に膨大な時間を要しますが、私はそれをかなりうまくやったと思います。

i(2:b)=1:0:b
i[b]=[b+1]
i(b:2:c)=b+1:0:c
i(b:c)=b:i c
s=(iterate i[0]!!)

このソリューションは、n0 n回インクリメントすることでスキューバイナリ数を計算するかなり単純なアプローチです。

CJam、24バイト

Q{0\+2a/())+a\+0a*}ri*si

これはO（n log n）アプローチです。ここで、nは入力です。0のスキューバイナリ表現から始まり、対応する整数をn回インクリメントします。

CJamインタープリターでオンラインで試してください。

バックグラウンド

スキューバイナリでの数値のインクリメントは、次の2つの簡単な手順で実行できます。

1. 最終的な2を0に置き換えます。

2. 場合は2が交換されている、その左に数字をインクリメントします。

   それ以外の場合は、最後の桁を増やします。

使い方

Q     e# Push an empty array.
{     e# Define an anonymous function:
  0\+ e#   Prepend a 0 to the array.
  2a/ e#   Split the array at 2's.
  (   e#   Shift out the first chunk of this array.
  )   e#   Pop the last digit.
  )+  e#   Increment it and append it to the array.
  a\+ e#   Prepend the chunk to the array of chunks.
  0a* e#   Join the chunks, using [0] as separator.
      e#   If there was a 2, it will get replaced with a 0. Otherewise, there's
      e#   only one chunk and joining the array dumps the chunk on the stack.
}     e#
ri*   e# Call the function int(input()) times.
si    e# Cast to string, then to integer. This eliminates leading 0's.

VBA、209 147 142バイト

Sub p(k)
For i=1To k
a=StrReverse(q)
If Left(Replace(a,"0",""),1)=2Then:q=q-2*10^(InStr(a,2)-1)+10^InStr(a,2):Else:q=q+1
Next
msgbox q
End Sub

私の数学は非効率的であり、私のゴルフは仕事を使うことができます。しかし、これはPoGでの最初の試みであり、これを試してみたいと思いました。しかし、ブルートフォースの方法の並べ替え。

最後の桁が2でない限り、1だけカウントし、2ずつ戻り、10にジャンプします。さらに、末尾の0を加算します。

これは、VBAが科学表記法で出力することを要求するため、65534で動作を停止しますが、ロジックはさらに大きい数値でも正常に動作するはずです

ゴルフの提案を楽しみにしていますが、VBAはゴルフにあまり適していませんが、表されることはあまりなく、Javaに勝つことができると思います。

Edit1：62バイトを削るのを手伝ってくれてありがとうManu

Edit2：出力として交換さdebug.printれmsgboxました。5バイト保存

JavascriptをES6、99 86 78 76 72文字

f=n=>{for(s="1";--n;s=s.replace(/.?2|.$/,m=>[1,2,10][+m]||20));return s}

// Old version, 76 chars:
f=n=>{for(s="1";--n;s=s.replace(/02|12|2|.$/,m=>[1,2,10][+m]||20));return s}

// Old version, 86 chars:
f=n=>{for(s="1";--n;s=s.replace(/(02|12|2|.$)/,m=>[1,2,10,,,,,,,,,,20][+m]));return s}

// Old version, 99 chars:
f=n=>{for(s="1";--n;s=s.replace(/(^2|02|12|20|.$)/,m=>({0:1,1:2,2:10,12:20,20:100}[+m])));return s}

テスト：

;[1,2,3,6,7,50,100,200,1000,10000,100000,1000000,1048576].map(f) == "1,2,10,20,100,11011,110020,1100110,111110120,1001110001012,1100001101010020,1111010000100100100,10000000000000000001"

おもしろい事実：この番号体系には、実際にはいくつかのメリットがあります。数字をインクリメントするとき、常に最大で2つの隣接する数字を変更します-数字全体に変更を伝える必要はありません。O（1）の増分を許可する正しい表現を使用します。

事実をありがとう-それは私のソリューションのベースです:)

オクターブ、107 101バイト

この権利を考えている場合、O（log n）である必要があります ...

function r=s(n)r="";for(a=2.^(uint64(fix(log2(n+1))):-1:1)-1)x=idivide(n,a);r=[r x+48];n-=x*a;end;end

プリティプリント：

function r=s(n)
  r="";
  for(a=2.^(uint64(fix(log2(n+1))):-1:1)-1)
    x=idivide(n,a);
    r=[r x+48];
    n-=x*a;
  end
end

Octaveはデフォルトですべてを浮動小数点数として扱い、最後の1つを計算するのに必要な精度を持っていなかったため、私は最後の課題に対処するのに多少苦労しました。私は貴重なバイトを費やしてすべてを符号なし整数にすることでそれを回避しました。最後の結果は数値として扱うには大きすぎたため、結果は文字列です。

出力（これ1e18 - 1を正確に行えることを示すために含めています。最後の出力セットは、その値を計算するのにかかる時間を示しています）：

octave:83> s(uint64(1e18))
ans = 11011110000010110110101100111010011101100100000000000001102

octave:84> s(uint64(1e18)-1)
ans = 11011110000010110110101100111010011101100100000000000001101

octave:85> tic();s(uint64(1e18)-1);toc()
Elapsed time is 0.0270021 seconds.

T-SQL、221 189 177バイト

編集：このコードの元のバージョンは、いくつかの数値に対して誤った出力を生成しますが、これは修正されています。

ここでのすべてのクエリでは、計算する数値を最初のコンマの前に追加するだけです。

T-SQLが最高のゴルフ言語であることは誰もが知っています。これは、最後のテストケースでさえ計算するバージョンです。私がテストしたマシンでは、1秒未満で実行されました。他のすべてのユーザーに対してどのように実行されるかを知りたいと思います。

DECLARE @ BIGINT=,@T VARCHAR(MAX)='';WITH M AS(SELECT CAST(2AS BIGINT)I UNION ALL SELECT I*2FROM M WHERE I<@)SELECT @T += STR(@/(I-1),1),@%=(I-1)FROM M ORDER BY I DESC SELECT @T

そして、ここでも再びですが、読みやすいです：

DECLARE 
    @ BIGINT=,
    @T VARCHAR(MAX)='';

WITH M AS
(
    SELECT
        CAST(2 AS BIGINT) I

    UNION ALL

    SELECT I * 2
    FROM M
    WHERE I < @
)

SELECT 
    @T+=STR(@/(I-1),1),
    @%=(I-1)
FROM M 
ORDER BY I DESC

SELECT @T

intのみを使用する場合、これは少し短くなり、157バイトになります。

DECLARE @ INT=,@T VARCHAR(MAX)='';WITH M AS(SELECT 2I UNION ALL SELECT I*2FROM M WHERE I<@)SELECT @T+=STR(@/(I-1),1),@%=(I-1)FROM M ORDER BY I DESC SELECT @T

そしてもう一度、より読みやすく：

DECLARE 
    @ INT=,
    @T VARCHAR(MAX)='';

WITH M AS
(
    SELECT
        2I

    UNION ALL

    SELECT 
        I * 2
    FROM M
    WHERE I < @
)

SELECT 
    @T+=STR(@/(I-1),1),
    @%=(I-1)
FROM M 
ORDER BY I DESC

SELECT @T

チューリング機械コード、333 293バイト

ここで使用されているエンコーディングを使用しています。

このマシンは9つの状態と11色を使用します。

バイナリ入力が許容される場合、これはわずか4色に減らすことができ、プロセスで数十バイトを節約できます。

0 _ _ l 1
0 * * r 0
1 9 8 l 2 
1 8 7 l 2
1 7 6 l 2
1 6 5 l 2
1 5 4 l 2
1 4 3 l 2
1 3 2 l 2
1 2 1 l 2
1 1 0 l 2
1 0 9 l 1
1 _ _ r 8
2 _ _ l 3
2 * * l 2
3 _ 1 r 4
3 * * l 5
4 _ _ r 0
4 * * r 4
5 * * l 5
5 _ _ r 6
6 _ _ l 7
6 2 0 l 7
6 * * r 6
7 _ 1 r 4
7 0 1 r 4
7 1 2 r 4
8 _ _ * halt
8 * _ r 8

上記のリンクが機能しない場合（場合によっては機能しますが、ページの読み込みが拒否される場合もあります）、このJava実装を使用してテストすることもできます。

Perl、66バイト

番号はSTDINを介して入力されます。

$_=1;$c=<>;s/(.*)(.?)2(.*)/$1.$2+1 .$3.0/e||$_++while(--$c);print;

Pyth、19バイト

m/=%Qtydtd^L2_SslhQ

対数の複雑さ。必要な時間で簡単に終了します。数字のリストの形式で出力します。

デモンストレーション。

Perl、84 70 67バイト

$n=<>;$d*=2while($d++<$n);$_.=int($n/$d)while($n%=$d--,$d/=2);print

それほどゴルフではありませんが、良くなっていますが、すぐに動作します！

デニスの提案により、51（50バイト+ -pスイッチ）になりました。

$d*=2while$d++<$_;$\.=$_/$d|0while$_%=$d--,$d/=2}{

それはしなければならないようにと呼ばれるperl -p skew_binary.pl num_list.txt場所num_list.txt、それにエンコードするための番号を持つ単一の行が含まれています。

Mathematica、65

これを行う前に他の提出物をのぞき見したことを認めなければなりませんが、十分に速いはずです。

f = (n = #;
     l = 0; 
     While[n > 0,
      m = Floor[Log2[1 + n]];
      l += 10^(m - 1);
      n -= 2^m - 1
     ]; l)&

使用法：

f[1000000000000000000]

出力：

11011110000010110110101100111010011101100100000000000001102

10 ^ 228のどこかでMaxExtraPrecisionエラーメッセージを表示し始めます（私のマシンでは.03秒で結果を計算します）。

MaxExtraPrecisionの制限を削除すると、1秒で最大10 ^ 8000までの数値を処理できます。

入力：

Timing[Block[{$MaxExtraPrecision = Infinity}, f[10^8000]];]

出力：

{1.060807, Null}

C、95バイト

void f(unsigned long i,int*b){for(unsigned long a=~0,m=0;a;a/=2,b+=!!m)m|=*b=i/a,i-=a**b;*b=3;}

これは、整数と、数字を返すバッファーを受け入れます。結果はに格納されb、値で終了します3（出力では発生しません）。0（質問では正の整数のみが指定されているため）の入力を処理する必要がないため、空の出力を避けるための特別なケースはありません。

拡張コード

void f(unsigned long i,int*b)
{
    for (unsigned long a=~0, m=0;  a;  a/=2, b+=(m!=0)) {
        *b = i/a;               /* rounds down */
        i -= *b * a;
        m = m | *b;             /* m != 0 after leading zeros */
    }
    *b=3;                       /* add terminator */
}

最上位の桁から順番に減算を行います。唯一の問題は、変数を使用してm先行ゼロの出力を回避することです。unsigned long long必要に応じて、10バイトのコストで自然に拡張できます。

テストプログラム

変換する数値をコマンド引数として渡します。int配列バッファを印刷可能な数字文字列に変換します。入力の実行時間は1ミリ秒未満です1000000000000000000。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main(int argc, char**argv)
{
    while (*++argv) {
        unsigned long i = strtoul(*argv, NULL, 10);
        int result[1024];
        f(i,result);

        /* convert to string */
        char s[1024];
        {char*d=s;int*p=result;while(*p!=3)*d++=*p+++'0';*d=0;}
        printf("%lu = %s\n", i, s);
    }

    return EXIT_SUCCESS;
}

試験結果

$ ./51517 $(seq 20)
1 = 1
2 = 2
3 = 10
4 = 11
5 = 12
6 = 20
7 = 100
8 = 101
9 = 102
10 = 110
11 = 111
12 = 112
13 = 120
14 = 200
15 = 1000
16 = 1001
17 = 1002
18 = 1010
19 = 1011
20 = 1012

JavaScript（Node.js）、40バイト

v=>(g=n=>n>v?'':g(n-~n)+(v-(v%=n))/n)(1)

オンラインでお試しください！

このソリューションは、最後のテストケースでは機能しません。スタックオーバーフローが発生するだけです。

CoffeeScript、92 69バイト

Qwertiyの回答と更新に基づく：

f=(n)->s='1';(s=s.replace /(.?2|.$)/,(m)->[1,2,10][+m]||20)while--n;s

# older version, 92 bytes
f=(n)->s='1';(s=s.replace /(^2|02|12|20|.$)/,(m)->{0:1,1:2,2:10,12:20,20:100}[+m])while--n;s

Japt、31バイト

_r/?2|.$/g_÷C ç20 ª°Zs3}}gU['0]

オンラインでお試しください！

このJSソリューションのほぼ直接の移植。より良い方法があるかどうかはわかりません。

開梱と仕組み

X{Xr/?2|.$/gZ{Z÷C ç20 ||++Zs3}}gU['0]

X{     Declare a function...
Xr       Accept a string, replace the regex...
/?2|.$/g   /.?2|.$/   (g is needed to match *only once*, opposite of JS)
Z{       ...with the function... (matched string will be 0,1,2,02 or 12)
Z÷C        Implicitly cast the matched string into number, divide by 12
ç20        Repeat "20" that many times (discard fractions)
||         If the above results in "", use the next one instead
++Z        Increment the value
s3         Convert to base-3 string (so 0,1,2 becomes 1,2,10)
}}
gU['0] Repeatedly apply the function on "0", U (input) times

スタックス、16 バイト

üxëàè£öΦGΩ│Je5█ò

実行してデバッグする

正式な複雑度クラスが何であるかは正確にはわかりませんが、このマシンで10分の1秒ですべてのテストケースを実行するのに十分高速です。

開梱されていない、コメントされていない、これはこのように見えます。このプログラムでは、xレジスタには元々入力が含まれています。

z       push []
{       start block for while loop
 |X:2N  -log2(++x)
 {^}&   increment array at index (pad with 0s if necessary)
 xc:G-X unset high bit of x; write back to x register
w       while; loop until x is falsy (0)
$       convert to string

これを実行する