特定の有限マグマの乗算表がグループを表すかどうかを決定するプログラムを作成します。マグマは、閉じている二項演算のセットです。つまり、

• Gのすべてのa、bについて、a * bは再びGにあります（閉店）

（G、*）をマグマとします。（G、*）は次の場合にグループです

• Gのすべてのa、b、cに対して、（a * b）* c = a *（b * c）（結合性）
• Gにすべてのaに対してe * a = a * e = aとなる要素eが存在します（中立要素の存在）
• Gのすべてのaについて、a * b = b * a = eであるようなGにabがあります。ここで、eは中立要素です（逆の存在）

スペック

入力は、n ^ 2-1文字の文字列（マグマの各要素に1文字、許可されるのは0-9、az）で、演算子名を省略して、行ごとに読み取ったテーブルを表します。入力が有効なマグマを表すと仮定できます（つまり、各要素はヘッダー行/列で1回だけ出現します）。

例：ここにZ_4のテーブルがあります

+ | 0 1 2 3
-----------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2

入力文字列はになります012300123112302230133012。（または、シンボルを使用する場合も可能ですnezdnnezdeezdnzzdneddnez）。行と列の要素の順序は同じである必要はないため、Z_4の表も次のように見えることに注意してください。

+ | 1 3 2 0
-----------
1 | 2 0 3 1
0 | 1 3 2 0
2 | 3 1 0 2
3 | 0 2 1 3

これは、ニュートラル要素が必ずしも最初の列または最初の行にあるとは限らないことも意味します。

グループの場合、プログラムは中立要素を表す文字を返す必要があります。そうでない場合は、偽の（値0-9 azとは異なる）値を返す必要があります

テストケース

非グループは、文字列の1桁を変更するだけで、またはグループ公理の1つと矛盾する操作を定義するテーブルを人為的に変更することで、簡単に構築できます。

グループ

些細な

* | x
-----
x | x

xxx

Neutral Element: x

H（四元数グループ）

* | p t d k g b n m 
-------------------
m | b d t g k p m n 
p | m k g d t n p b 
n | p t d k g b n m 
b | n g k t d m b p 
t | g m n p b k t d 
d | k n m b p g d t 
k | t b p m n d k g 
g | d p b n m t g k 

ptdkgbnmmbdtgkpmnpmkgdtnpbnptdkgbnmbngktdmbptgmnpbktddknmbpgdtktbpmndkggdpbnmtgk

Neutral Element: n

D_4

* | y r s t u v w x
-------------------
u | u x w v y t s r
v | v u x w r y t s
w | w v u x s r y t
x | x w v u t s r y
y | y r s t u v w x
r | r s t y v w x u
s | s t y r w x u v
t | t y r s x u v w


yrstuvwxuuxwvytsrvvuxwrytswwvuxsrytxxwvutsryyyrstuvwxrrstyvwxusstyrwxuvttyrsxuvw

Neutral Element: y

Z_6 x Z_2

x | 0 1 2 3 5 7 8 9 a b 4 6
---------------------------
0 | 0 1 2 3 5 7 8 9 a b 4 6 
1 | 1 2 3 4 0 8 9 a b 6 5 7 
2 | 2 3 4 5 1 9 a b 6 7 0 8 
7 | 7 8 9 a 6 2 3 4 5 0 b 1 
8 | 8 9 a b 7 3 4 5 0 1 6 2 
9 | 9 a b 6 8 4 5 0 1 2 7 3 
a | a b 6 7 9 5 0 1 2 3 8 4 
b | b 6 7 8 a 0 1 2 3 4 9 5 
3 | 3 4 5 0 2 a b 6 7 8 1 9 
4 | 4 5 0 1 3 b 6 7 8 9 2 a 
5 | 5 0 1 2 4 6 7 8 9 a 3 b 
6 | 6 7 8 9 b 1 2 3 4 5 a 0 

01235789ab46001235789ab4611234089ab6572234519ab67087789a623450b1889ab7345016299ab684501273aab6795012384bb678a0123495334502ab67819445013b67892a5501246789a3b66789b12345a0

Neutral Element: 0

A_4

* | i a b c d e f g h j k l
---------------------------
i | i a b c d e f g h j k l
a | a b i e c d g h f l j k
b | b i a d e c h f g k l j
c | c f j i g k a d l b e h
d | d h k b f l i e j a c g
e | e g l a h j b c k i d f
f | f j c k i g d l a h b e
g | g l e j a h c k b f i d
h | h k d l b f e j i g a c
j | j c f g k i l a d e h b
k | k d h f l b j i e c g a
l | l e g h j a k b c d f i

iabcdefghjkliiabcdefghjklaabiecdghfljkbbiadechfgkljccfjigkadlbehddhkbfliejacgeeglahjbckidfffjckigdlahbegglejahckbfidhhkdlbfejigacjjcfgkiladehbkkdhflbjiecgalleghjakbcdfi

Neutral Element: i

非グループ

ループ（結合性のないグループ、またはニュートラル要素を持つ準グループ）

* | 1 2 3 4 5
-------------
1 | 1 2 3 4 5 
2 | 2 4 1 5 3 
3 | 3 5 4 2 1 
4 | 4 1 5 3 2 
5 | 5 3 2 1 4

12345112345224153335421441532553214

Neutral Element: 1
(2*2)*3 = 4*3 = 5 != 2 = 2*1 = 2*(2*3)

IPループ（http://www.quasigroups.eu/contents/download/2008/16_2.pdfから）

* | 1 2 3 4 5 6 7
-----------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7
2 | 2 3 1 6 7 5 4
3 | 3 1 2 7 6 4 5
4 | 4 7 6 5 1 2 3
5 | 5 6 7 1 4 3 2
6 | 6 4 5 3 2 7 1
7 | 7 5 4 2 3 1 6

123456711234567223167543312764544765123556714326645327177542316

Neutral Element: 1
2*(2*4) = 2*6 = 5 != 7 = 3*4 = (2*2)*4

モノイド（Quincunxによる、ありがとう！）

モノイドは、連想性と中立的な要素を持つマグマです。

* | 0 1 2 3
-----------
0 | 0 1 2 3
1 | 1 3 1 3
2 | 2 1 0 3
3 | 3 3 3 3

012300123113132210333333

Neutral Element: 0

もう一つのモノイド

（乗算mod 10、5なし）明らかに逆数はなく、結合性は10を法とする乗算によって与えられます。

* | 1 2 3 4 6 7 8 9
-------------------
1 | 1 2 3 4 6 7 8 9
2 | 2 4 6 8 2 4 6 8
3 | 3 6 9 2 8 1 4 7
4 | 4 8 2 6 4 8 2 6
6 | 6 2 8 4 6 2 8 4
7 | 7 4 1 8 2 9 6 3
8 | 8 6 4 2 8 6 4 2
9 | 9 8 7 6 4 3 2 1

Neutral Element: 1   12346789112346789224682468336928147448264826662846284774182963886428642998764321

オクターブ、298 290 270 265文字

function e=g(s)
c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')');
for i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;
a=a(2:b,2:b--);u=1:b;
e=(isscalar(e=find(all(a==u')))&&a(e,:)==u&&sum(t=a==e)==1&&t==t')*e;
for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;e=d(e+1);

265：不要な関数ハンドルを削除しました。

270：すべての後に、確認することe==hのために電子常に満たす電子を・=とhは常に満足=・時間を必要はありませんでした。これは、それらを異なるものにすることはできません（e・h =？）。

以下のソリューションの説明からの詳細は依然として関連しています。

290：

function e=g(s)
c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')');
for i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;
a=a(2:b,2:b--);u=1:b;
s=@isscalar;e=(s(e=find(all(a==u')))&&s(h=find(all(a'==u')'))&&sum(t=a==e)==1&&t==t')*e;
for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;e=d(e+1);

最初の行

c=@sortrows;d=a=c(c(reshape(a=[0 s],b=numel(a)^.5,b)')'); 入力をnxnテーブルに格納し（操作マークの位置にゼロ文字を使用）、列と行を辞書式にソートして、行と列が同じ順序になるようにします。

+ | z a t b                        + | a b t z
-----------                        -----------
z | t b a z         becomes        a | t a z b
b | z a t b      ============>     b | a b t z
t | a z b t                        t | z t b a
a | b t z a                        z | b z a t

次に、効率的にテーブルにインデックスを付けることができるように、"a","b","t","z"標準に再マップし1, 2, 3, 4ます。これは、行によって行われfor i=2:b a(a==a(i))=i-1;end;ます。次のような表を生成します

0   1   2   3   4
1   3   1   4   2
2   1   2   3   4
3   4   3   2   1
4   2   4   1   3

、ここで最初の行と列を取り除くことができますa=a(2:b,2:b--);u=1:b;：

3  1  4  2
1  2  3  4
4  3  2  1
2  4  1  3

このテーブルには、指定されたプロパティがあります。

• 中立要素eが存在する場合、1つの（isscalar）行と1つの列に行ベクトルの値がありますu=[1 2 3 ... number-of-elements]。

s=@isscalar;e=(s(e=find(all(a==u')))&&s(h=find(all(a'==u')'))&&...

• 各要素aに逆要素a 'がある場合、2つのことが成り立ちます。中立要素eは、各列と各行（sum(t=a==e)==1）に1回だけ出現し、a'・a = a・a 'を満たすために、eの出現は翻訳に関して対称的t==t'

• a・bは、単純なt(a,b)インデックス作成によって取得できます。次に、退屈なループで結合性をチェックします。

for x=u for y=u for z=u e*=a(a(x,y),z)==a(x,a(y,z));end;end;end;

この関数は、元のテーブル（e=d(e+1)）に現れる方法で中立要素を返します。テーブルがグループを記述していない場合は、nil文字を返します。

ルビー、401 ... 272

f=->s{n=(s.size+1)**0.5
w=n.to_i-1
e=s[0,w].split''
s=s[w,n*n]
m={}
w.times{(1..w).each{|i|m[s[0]+e[i-1]]=s[i]}
s=s[n,n*n]}
s=e.find{|a|e.all?{|b|x=m[a+b]
x==m[b+a]&&x==b}}
e.all?{|a|t=!0
e.all?{|b|x=m[a+b]
t||=x==m[b+a]&&x==s
e.all?{|c|m[m[a+b]+c]==m[a+m[b+c]]}}&&t}&&s}

これが私の最初のルビープログラムです！これはを実行してテストできるラムダ関数を定義しputs f[gets.chomp]ます。false偽の値を返します。関数の前半は単純に入力をマップに解析し、後半は可能性をチェックします。

f=->s{
    n=((s.size+1)**0.5).to_i
    w=n-1
    e=s[0,w].split'' # create an array of elements of the potential group
    s=s[w,n*n]
    m={} # this map is what defines our operation
    w.times{
        (1..w).each{               # for each element in the row of the table
            |i|m[s[0]+e[i-1]]=s[i] # put the value into the map
        }
        s=s[n,n*n]
    }
    s=e.find{|a| # s is the identity
        e.all?{|b|
            x=m[a+b]
            x==m[b+a]&&x==b # is a the identity?
        }
    }
    e.all?{|a| # implicit return statement
        t = !0 # t = false
        e.all?{|b| # check for inverses
            x=m[a+b]
            t ||= x==m[b+a]&&x==s # t is now true if b was a's inverse
            e.all?{|c|
                m[m[a+b]+c]==m[a+m[b+c]] # check associativity
            }
        } && t
    }&&s
}

JavaScriptの（ES6）285 243 278

スニペットを実行してテストします（ES6ではFirefoxでのみ動作します）

編集2バグ修正。中立的な要素を見つけるのは間違っていたので、一方向だけをチェックしました。（より良いテストケースが必要!!!）

編集ダブルインデックス（@Quincunxなど）の代わりに単純な文字列連結を使用して、私は何を考えていたのかわかりません。また、単純化された逆チェックも機能するはずです。

F=t=>(
  e=t.slice(0,d=Math.sqrt(t.length)|0),
  t=t.slice(d).match('.'.repeat(d+1),'g'),
  t.map(r=>{
    for(v=r[i=0],
        j=e.search(v)+1, // column for current row  element
        r!=v+e|t.some(r=>r[j]!=r[0])?0:n=v; // find neutral
        c=r[++i];
       )h[v+e[i-1]]=c
  },h={},n=''),
  e=[...e],!e.some(a=>e.some(b=>(
    h[a+b]==n&&--d, // inverse
    e.some(c=>h[h[a+b]+c]!=h[a+h[b+c]]) // associativity
  )
  ))&&!d&&n
)

input { width: 400px; font-size:10px }

Click on textbox to test - Result : <span id=O></span><br>
<input value='...' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (?)
<br>Groups<br>
<input value='nezdnnezdeezdnzzdneddnez' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (n)<br>
<input value='ptdkgbnmmbdtgkpmnpmkgdtnpbnptdkgbnmbngktdmbptgmnpbktddknmbpgdtktbpmndkggdpbnmtgk' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (n)<br>
<input value='yrstuvwxuuxwvytsrvvuxwrytswwvuxsrytxxwvutsryyyrstuvwxrrstyvwxusstyrwxuvttyrsxuvw' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (y)<br>
<input value='01235789ab46001235789ab4611234089ab6572234519ab67087789a623450b1889ab7345016299ab684501273aab6795012384bb678a0123495334502ab67819445013b67892a5501246789a3b66789b12345a0'onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (0)<br>
Non groups <br>
<input value='12345112345224153335421441532553214' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>
<input value='123456711234567223167543312764544765123556714326645327177542316' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>
<input value='012300123113132210333333' onclick='O.innerHTML=F(this.value)'> (FAIL)<br>

ハスケル391B

import Data.Maybe
import Data.List
o a b=elemIndex b a
l£a=fromJust.o a$l
a§b=[a!!i|i<-b]
f s|isJust j&&and(map(isJust.o h)s)&&and[or[p%q==e|q<-h]&&and[p%(q%r)==(p%q)%r|q<-h,r<-h]|p<-h]=[e]|True="!"where n=floor$(sqrt(fromIntegral$length s+1))-1;h=take n s;g=[s§[a..b]|(a,b)<-zip[1+n,2+n+n..][n+n,3*n+1..(n+1)^2]];v=s§[n,1+2*n..n+n*n];a%b=g!!(b£v)!!(a£h);j=o g h;e=v!!fromJust j

それらをimport呪う！

import Data.Maybe
import Data.List

{- rename elemIndex to save characters -}
o a b=elemIndex b a

{- get the index of l in a -}
l£a=fromJust.o a$l

{- extract a sublist of a with indices b -}
a§b=[a!!i|i<-b]

f s |isJust j {-Identity-}
     &&and (map (isJust.o h) s) {-Closure-}
     &&and[
        or [p%q==e|q<-h] {-Inverse-}
        && and [ p%(q%r)==(p%q)%r | q<-h,r<-h ] {-Associativity-}
     |
        p<-h
     ]=[e]
    |True="!"
    where
    {-size-}    n=floor$(sqrt(fromIntegral$length s+1))-1
    {-horiz-}   h=take n s
    {-table-}   g=[s§[a..b]|(a,b)<-zip[1+n,2+n+n..][n+n,3*n+1..(n+1)^2]]
    {-vert-}    v=s§[n,1+2*n..n+n*n]
    {-operate-} a%b=g!!(b£v)!!(a£h)
                j=o g h {-index of the first row identical to the top-}
    {-ident-}   e=v!!fromJust j

説明

f::String->Stringは、文字列をe::Charアイデンティティ要素、またはのいずれかにマッピングします!。

このwhere節は、私がコメントした変数と関数の束を作成します。v::[Int]要素の垂直リストh::[Int]、水平リストです。

%::Char->Char->Char グループ操作を引数に適用します。

g::[[Int]]グループテーブルです（を使用して間接参照するため%）

j::Maybe Intv存在する場合はIDのインデックスが含まれ、そうでない場合はID の条件であるNothing理由isJust jですf。