Java（n = 8）
import java.util.*;
import java.util.concurrent.*;
public class HankelCombinatorics {
public static final int NUM_THREADS = 8;
private static final int[] FACT = new int[13];
static {
FACT[0] = 1;
for (int i = 1; i < FACT.length; i++) FACT[i] = i * FACT[i-1];
}
public static void main(String[] args) {
long prevElapsed = 0, start = System.nanoTime();
for (int i = 1; i < 12; i++) {
long count = count(i), elapsed = System.nanoTime() - start;
System.out.format("%d in %dms, total elapsed %dms\n", count, (elapsed - prevElapsed) / 1000000, elapsed / 1000000);
prevElapsed = elapsed;
}
}
@SuppressWarnings("unchecked")
private static long count(int n) {
int[][] perms = new int[FACT[n]][];
genPermsInner(0, 0, new int[n], perms, 0);
// We partition by canonical representation of the row sum multiset, discarding any with a density > 50%.
Map<CanonicalMatrix, Map<CanonicalMatrix, Integer>> part = new HashMap<CanonicalMatrix, Map<CanonicalMatrix, Integer>>();
for (int m = 0; m < 1 << (2*n-1); m++) {
int density = 0;
int[] key = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
key[i] = Integer.bitCount((m >> i) & ((1 << n) - 1));
density += key[i];
}
if (2 * density <= n * n) {
CanonicalMatrix _key = new CanonicalMatrix(key);
Map<CanonicalMatrix, Integer> map = part.get(_key);
if (map == null) part.put(_key, map = new HashMap<CanonicalMatrix, Integer>());
map.put(new CanonicalMatrix(m, perms[0]), m);
}
}
List<Job> jobs = new ArrayList<Job>();
ExecutorService pool = Executors.newFixedThreadPool(NUM_THREADS);
for (Map.Entry<CanonicalMatrix, Map<CanonicalMatrix, Integer>> e : part.entrySet()) {
Job job = new Job(n, perms, e.getKey().sum() << 1 == n * n ? 0 : 1, e.getValue());
jobs.add(job);
pool.execute(job);
}
pool.shutdown();
try {
pool.awaitTermination(1, TimeUnit.DAYS); // i.e. until it's finished - inaccurate results are useless
}
catch (InterruptedException ie) {
throw new IllegalStateException(ie);
}
long total = 0;
for (Job job : jobs) total += job.subtotal;
return total;
}
private static int genPermsInner(int idx, int usedMask, int[] a, int[][] perms, int off) {
if (idx == a.length) perms[off++] = a.clone();
else for (int i = 0; i < a.length; i++) {
int m = 1 << (a[idx] = i);
if ((usedMask & m) == 0) off = genPermsInner(idx+1, usedMask | m, a, perms, off);
}
return off;
}
static class Job implements Runnable {
private volatile long subtotal = 0;
private final int n;
private final int[][] perms;
private final int shift;
private final Map<CanonicalMatrix, Integer> unseen;
public Job(int n, int[][] perms, int shift, Map<CanonicalMatrix, Integer> unseen) {
this.n = n;
this.perms = perms;
this.shift = shift;
this.unseen = unseen;
}
public void run() {
long result = 0;
int[][] perms = this.perms;
Map<CanonicalMatrix, Integer> unseen = this.unseen;
while (!unseen.isEmpty()) {
int m = unseen.values().iterator().next();
Set<CanonicalMatrix> equiv = new HashSet<CanonicalMatrix>();
for (int[] perm : perms) {
CanonicalMatrix canonical = new CanonicalMatrix(m, perm);
if (equiv.add(canonical)) {
result += canonical.weight() << shift;
unseen.remove(canonical);
}
}
}
subtotal = result;
}
}
static class CanonicalMatrix {
private final int[] a;
private final int hash;
public CanonicalMatrix(int m, int[] r) {
this(permuteRows(m, r));
}
public CanonicalMatrix(int[] a) {
this.a = a;
Arrays.sort(a);
int h = 0;
for (int i : a) h = h * 37 + i;
hash = h;
}
private static int[] permuteRows(int m, int[] perm) {
int[] cols = new int[perm.length];
for (int i = 0; i < perm.length; i++) {
for (int j = 0; j < cols.length; j++) cols[j] |= ((m >> (perm[i] + j)) & 1L) << i;
}
return cols;
}
public int sum() {
int sum = 0;
for (int i : a) sum += i;
return sum;
}
public int weight() {
int prev = -1, count = 0, weight = FACT[a.length];
for (int col : a) {
if (col == prev) weight /= ++count;
else {
prev = col;
count = 1;
}
}
return weight;
}
@Override public boolean equals(Object obj) {
// Deliberately unsuitable for general-purpose use, but helps catch bugs faster.
CanonicalMatrix that = (CanonicalMatrix)obj;
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
if (a[i] != that.a[i]) return false;
}
return true;
}
@Override public int hashCode() {
return hash;
}
}
}
名前を付けて保存HankelCombinatorics.javaとしてコンパイル、javac HankelCombinatorics.javaとして実行、java -Xmx2G HankelCombinatorics。
NUM_THREADS = 4それを取得私のクアッドコアマシンの20420819767436ためにn=850〜55秒で実行間の変動のかなりの量で、経過。オクタコアマシンで同じものを簡単に管理できるはずですが、取得するのに1時間以上かかると思いますn=9。
使い方
与えられたn、2^(2n-1)バイナリnx nハンケル行列があります。行を並べ替えn!たり、列を並べ替えたりすることができn!ます。必要なのは、二重カウントを避けることです...
各行の合計を計算する場合、行の並べ替えも列の並べ替えも合計のマルチセットを変更しません。例えば
0 1 1 0 1
1 1 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 1
1 0 0 1 0
{3, 3, 2, 2, 2}行和multisetがあり、それから派生したすべてのハンケラブル行列も同様です。これは、これらの行合計マルチセットによってハンケル行列をグループ化し、複数のプロセッサコアを活用して各グループを個別に処理できることを意味します。
悪用可能な対称性もあります。1よりもゼロが多い行列は、ゼロよりも1が多い行列と全単射です。
二重カウントは、ハンケル行列ときに発生するM_1行置換を有するr_1と列の置換は、c_1ハンケル行列と一致するM_2行置換とr_2し、列置換c_2（2つまでではなく、すべての3つM_1 = M_2、r_1 = r_2、c_1 = c_2）。我々は、行置換を適用そうであれば、行と列の置換は、独立しているr_1とM_1、行置換r_2とM_2、列マルチセットのように等しくなければなりません。そのため、各グループについて、グループ内の行列に行置換を適用することによって取得されたすべての列マルチセットを計算します。マルチセットの正規表現を取得する簡単な方法は、列をソートすることです。これは次のステップでも役立ちます。
個別の列マルチセットを取得したらn!、それぞれの順列がいくつ一意であるかを見つける必要があります。この時点で、特定の列のマルチセットに重複する列がある場合にのみ、二重カウントが発生します：行う必要があるのは、マルチセット内の各列の出現回数をカウントし、対応する多項係数を計算することです。列がソートされているため、カウントを簡単に行うことができます。
最後にそれらをすべて追加します。
漸近的な複雑さを完全な精度で計算することは簡単ではありません。これは、セットについていくつかの仮定を行う必要があるためです。2^(2n-2) n!列のマルチセットの順序で評価し、n^2 ln nそれぞれに時間をかけます（ソートを含む）。グループ化がln n要因以上のものでなければ、時間が複雑になりTheta(4^n n! n^2 ln n)ます。しかし、指数因子は多項式の因子を完全に支配しているため、Theta(4^n n!) = Theta((4n/e)^n)です。