Androidロック画面

イントロ

長いテーブルの端にある会議室に座っています。周りを見てみると、ティムクック、アップルの取締役会、スティーブジョブズの幽霊、ジャックドナギーが見えます。Appleがこの会議を呼び出したのは、Androidのロック画面がどれほどクールであるかを認識しており、それらを1アップにしたいからです。ゴーストスティーブが叫ぶように、部屋の誰もがあなたを見つめます。「助けてくれ、CodeGolf Man！あなたは私の唯一の希望です！」

問題

Androidのロック画面は3 x 3のドットグリッドで、1つのドットから次のドットに指をスワイプしてパスを作成することで接続できます。パスワードは、任意の数のドットを含む可能性のあるパスと見なされ、任意の数のドットを除外します。（実際の電話では、パスは少なくとも4ドットである必要があります。このチャレンジでは、その制限を無視してください。）Appleは、3 x 3グリッドを（M * N）/ 9であるM x Nグリッドに置き換える予定です倍良い！

ルール：

たとえば、1〜9の番号が付けられた3x3グリッドの場合：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

有効なパスは次のとおりです。

1
3
7,2,3
1,5,9,2
1,8,6,5,4
4,2,3,5,6,7,8,9
5,9,6,4

そして、いくつかの無効なパスは次のとおりです。

1,3
1,9,5
7,5,4,7
4,6

入力は3つの数字になります。

(M,N,d)

ここで、グリッドはM x N、dはパスの長さです

1 <= M <= 16
1 <= N <= 16
1 <= d <= M * N

プログラムまたは関数には、コンマ区切りの文字列として入力が与えられ、その長さの可能なパスワードの数を返す必要があります。例えば：

Input:  2,2,1 
Output: 4
Input:  2,2,2
Output: 12
Input:  7,4,1
Output: 28

標準コードのゴルフ規則が適用され、最短コードが勝ちます！

//If I've made a mistake or the rules are unclear, please correct me!

Python-170バイト

from fractions import*
p=lambda m,n,d,l=0,s=set():d<1or sum([p(m,n,d-1,i,s|{i})for i in range(m*n)if not(s and(s&{i}or set(range(l,i,abs(i-l)/gcd(i%n-l%n,i/n-l/n)))-s))])

内部のブラケットsum([...])は厳密には必要ではありませんが、それらを含めないとパフォーマンスが大幅に低下します。

すべての3x3の出力：

for i in range(4, 10):
  print p(3, 3, i)

生産物：

1624
7152
26016
72912
140704
140704

テスト/確認のために、4x5ボードの最初の6つの値：

20
262
3280
39644
459764
5101232

4x5は2x2、3x3、および2x4のペグジャンプがあるため、検証するのに興味深いケースです。

簡単な説明

一般に、これは徹底的な検索であり、累積プルーニングが行われます。たとえば、p(3, 3, 4)1624 であるため、p(3, 3, 5)15120すべてを単純にチェックするのではなく、8120の可能性のみをチェックします。ほとんどのロジックは条件に含まれています。

if not(s and(s&{i}or set(range(l,i,abs(i-l)/gcd(i%n-l%n,i/n-l/n)))-s))

平易な英語では、これは次のように理解できます。

If no pegs have been used yet
     OR
   the target peg has not yet been used
     AND
   each of the pegs directly between the target peg and the
   current peg (a.k.a. "jumped over") have already been used