ウルトララジカルとは

ultraradical実数の、または持参ラジカル五次方程式の唯一の真のルートとして定義され、X 5 + X + A = 0。$a$$x^5+x+a=0$

ここでは、$UR(\cdot)$を使用して超ラジカル関数を示します。たとえば、10 5 + 10 − 100010 = 0 なので$UR(-100010)=10$です。$10^5+10-100010=0$

チャレンジ

入力として実数を取り、その超ラジカルを返すか出力する完全なプログラムまたは関数を作成します。

必要条件

標準的な抜け穴は許可されていません。以下のテストケースの結果は、少なくとも有効数字6桁まで正確である必要がありますが、一般に、プログラムは有効な実数入力に対して対応する値を計算する必要があります。

テストケース

0に向かって丸められた9桁の小数部が参照用に提供されています。一部のテストケースについて説明が追加されています。

 a                         | UR(a)
---------------------------+---------------------
             0             |   0.000 000 000        # 0
             1             |  -0.754 877 (666)      # UR(a) < 0 when a > 0
            -1             |   0.754 877 (666)      # UR(a) > 0 when a < 0
             1.414 213 562 |  -0.881 616 (566)      # UR(sqrt(2))
            -2.718 281 828 |   1.100 93(2 665)      # UR(-e)
             3.141 592 653 |  -1.147 96(5 385)      # UR(pi)
            -9.515 716 566 |   1.515 71(6 566)      # 5th root of 8, fractional parts should match
            10             |  -1.533 01(2 798)
          -100             |   2.499 20(3 570)
         1 000             |  -3.977 89(9 393)
      -100 010             |  10.000 0(00 000)      # a = (-10)^5 + (-10)
 1 073 741 888             | -64.000 0(00 000)      # a = 64^5 + 64

受賞基準

すべての言語で最短の有効な提出が勝ちます。

Wolfram言語（Mathematica）、20バイト

Root[xx^5+x+#,1]&

オンラインでお試しください！

まだビルトインですが、少なくともそうではありませんUltraRadical。

（文字はJSのよう|->にMathematicaのように表示されます=>）

Python 3.8（プレリリース）、60バイト

f=lambda n,x=0:x!=(a:=x-(x**5+x+n)/(5*x**4+1))and f(n,a)or a

オンラインでお試しください！

ニュートン反復法。$x' = x - \frac {f(x)} {f'(x)} = x - \frac {x^5+x+n} {5x^4+1}$

4 x 5 − nを使用している間$\frac {4x^5-n} {5x^4+1}$は数学的に同等であり、プログラムを永久にループさせます。

その他のアプローチ：

Python 3.8（プレリリース）、102バイト

lambda x:a(x,-x*x-1,x*x+1)
a=lambda x,l,r:r<l+1e-9and l or(m:=(l+r)/2)**5+m+x>0and a(x,l,m)or a(x,m,r)

オンラインでお試しください！

関数x^5+x+aが増加している場合、バイナリ検索。境界を設定する-abs(x)とabs(x)十分ですが、-x*x-1とx*x+1短くなっています。

ところで、Pythonの再帰制限は少し低すぎるため、1e-9が必要:=です。これはセイウチ演算子と呼ばれます。

JavaScript（ES7）、44バイト

以下と同じ式を使用するが、反復回数が固定されたより安全なバージョン。

n=>(i=1e3,g=x=>i--?g(.8*x-n/(5*x**4+5)):x)``

オンラインでお試しください！

JavaScript（ES7）、 43  42バイト

f ′（x ）= 5 x 4 + 1の近似として$5x^4+5$を使用するニュートン法。$f'(x)=5x^4+1$

n=>(g=x=>x-(x-=(x+n/(x**4+1))/5)?g(x):x)``

オンラインでお試しください！

どうやって？

$x_0=0$から始めて、再帰的に計算します。

$x_k-x_{k+1}$

ゼリー、8バイト

;17B¤ÆrḢ

オンラインでお試しください！

使い方：

• のバイナリ表現の[a, 1, 0, 0, 0, 1]先頭aに追加してリストを作成し17ます。なぜこのリストですか？探している係数に対応しているため：

  [a, 1, 0, 0, 0, 1] -> P(x) := a + 1*x^1 + 0*x^2 + 0*x^3 + 0*x^4 + 1*x^5 = a + x + x^5
  

• 次に、Ærは、P(x) = 0係数のリスト（以前に作成したもの）が与えられると、多項式を解く組み込み関数です。

• 実際のソリューションにのみ関心があるため、ソリューションリストの最初のエントリをで取得しḢます。

APL（Dyalog Unicode）、11 10 バイト^SBCS

-1 dzaimaに感謝

匿名の暗黙の接頭辞関数。

(--*∘5)⍣¯1

オンラインでお試しください！

(… )⍣¯1 次の負の暗黙関数を1回適用します。

 - 否定された引数

 - マイナス

 *∘5 引数の5の累乗

本質的に、これは尋ねます：どの$x$ にフィードする必要がありますか $f(x)=-x-x^5$ such that the result becomes $y$.

R, 43 bytes

function(a)nlm(function(x)abs(x^5+x+a),a)$e

Try it online!

nlm is an optimization function, so this searches for the minimum of the function $x\mapsto |x^5+x+a|$, i.e. the only zero. The second parameter of nlm is the initialization point. Interestingly, initializing at 0 fails for the last test case (presumably because of numerical precision), but initializing at a (which isn't even the right sign) succeeds.

R, 56 bytes

function(x)(y=polyroot(c(x,1,0,0,0,1)))[abs(Im(y))<1e-9]

Try it online!

Thanks to @Roland for pointing out polyroot. I have also realised my previous answer picked a complex root for zero or negative $a$ so now rewritten using polyroot and filtering complex roots.

J、14バイト

{:@;@p.@,#:@17

オンラインでお試しください！

Jには、多項式を解くためのビルトインがあります... p.

最後の4つのテストケースはTIOでタイムアウトしますが、理論上は依然として正しいです。

どうやって

Jの組み込みの多項式係数は、x^0最初の係数を持つ数値リストとして取得されます。つまり、リストは次のとおりです。

a 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1バイナリで17なので、として表現し#:@17、入力を追加し,、次に適用しp.、raze ;で結果をボックス化解除し、最後の要素を取得します{:

Ruby, 53 41 bytes

->a{x=a/=5;99.times{x-=a/(x**4+1)+x/5};x}

Try it online!

Using Newton-Raphson with a fixed number of iterations, and the same approximation trick as Arnauld

Pari/GP, 34 32 26 24 bytes

a->-solve(X=0,a,a-X-X^5)

Try it online!

05AB1E, 12 bytes

ΔyIy4m>/+5/-

Try it online!

Newton's method.

k4, 33 31 bytes

{{y-(x+y+*/5#y)%5+5*/4#y}[x]/x}

newton-raphson computed iteratively until a number is converged on

edit: -2 thanks to ngn!

whoops, got this all wrong...

K (oK), 10 bytes

{-x+*/5#x}

Pari/GP, 24 bytes

a->polrootsreal(x^5+x+a)

Try it online!

C,118b/96b

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a,t=1;while(fabs(t)>1e-6){t=x*x*x*x;t=(x*t+x+a)/(5*t+1);x-=t;}return x;}

118 bytes with original function name and with some extra accuracy (double). With bit hacks may be better, but unportable.

96 bytes with fixed iterations.

double ur(double a){double x=a,t;for(int k=0;k<99;k++){t=x*x*x*x;x=(4*x*t-a)/(5*t+1);}return x;}

Actually, our function is so good we can use better adaptations of Newton's method. Much faster and practical implementation (150 bytes) would be

#include<math.h>
double ur(double a){double x=a/5,f=1,t;while(fabs(f)>1e-6){t=x*x*x*x;f=(t*(5*t*x+5*a+6*x)+a+x)/(15*t*t-10*a*x*x*x+1);x-=f;}return x;}

I checked it works, but I'm too lazy to find out how much more fast it would be. Should be at least one more order faster as Newton's.

Clean, 61 60 bytes

import StdEnv
$a=iter 99(\x=(3.0*x^5.0-a)/inc(4.0*x^4.0))0.0

Try it online!

Newton's method, first implemented in user202729's answer.

Clean, 124 bytes

import StdEnv
$a= ?a(~a)with@x=abs(x^5.0+x+a);?u v|u-d==u=u|v+d==v=v= ?(u+if(@u< @v)0.0d)(v-if(@u> @v)0.0d)where d=(v-u)/3E1

Try it online!

A "binary" search, narrowing the search area to the upper or lower 99.6% of the range between the high and low bounds at each iteration instead of 50%.

Python 3 + sympy, 72 bytes

lambda y:float(sympy.poly("x**5+x+"+str(y)).all_roots()[0])
import sympy

Try it online!

Octave, 25 bytes

@(a)fzero(@(x)x^5+x+a,-a)

Try it online!

Maplesoft Maple, 23 bytes

f:=a->fsolve(x^5+x+a=0)

Unfortunately, there is no online Maple compiler/calculator out there AFAIK. But the code is pretty straightforward.