条項

ワームは、非負の整数のいずれかのリストであり、その右端の（すなわち、最後の）要素が呼ばれているヘッド。headが0でない場合、ワームは、headを含む要素の最も長い連続したブロックで構成されるアクティブなセグメントを持ち、すべての要素は少なくともheadと同じ大きさです。減少活性セグメントはたとえば1だけデクリメントヘッドとアクティブなセグメントであり、ワームが3 1 2 3 2アクティブなセグメントを有し2 3 2、縮小アクティブセグメントです2 3 1。

進化のルール

ワームは、次のように段階的に進化します。

ステップt（= 1、2、3、...）で
    、ヘッドが0の場合：ヘッドを削除する
    else：アクティブセグメントを、縮小されたアクティブセグメントのt + 1連結コピーで置き換える。

事実：ワームは最終的に空のリストに進化し、そのためのステップ数はワームの存続期間です。

（詳細はThe Worm Principle、LD Beklemishevの論文に記載されています。有限リストを意味する「リスト」、およびその最後の要素を意味する「頭」の使用法は、この論文から引用されています。リストの一般的な使用法は抽象データ型であり、通常headは最初の要素を意味します。）

例（括弧内のアクティブなセグメント）

ワーム：0,1

step    worm
         0(1)
1        0 0 0
2        0 0 
3        0
4           <- lifetime = 4

ワーム：1,0

step    worm
         1 0
1       (1)
2        0 0 0
3        0 0 
4        0
5           <- lifetime = 5

ワーム：1,1

step    worm
        (1 1)
1        1 0 1 0 
2        1 0(1) 
3        1 0 0 0 0 0
4        1 0 0 0 0
5        1 0 0 0
...
8       (1) 
9        0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10       0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
18       0
19           <- lifetime = 19

ワーム：2

step    worm
        (2)
1       (1 1)
2        1 0 1 0 1 0
3        1 0 1 0(1)
4        1 0 1 0 0 0 0 0 0
5        1 0 1 0 0 0 0 0
6        1 0 1 0 0 0 0
...
10       1 0(1)
11       1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
12       1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
24      (1)
25       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
...
50       0
51          <- lifetime = 51

ワーム：2,1

        (2 1)
1        2 0 2 0
2        2 0(2)
3        2 0(1 1 1 1)
4        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
5        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0(1 1 1)
6        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
7        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0(1 1)
8        2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0{1 0}^9
...
??          <- lifetime = ??      

ワーム：3

step    worm
        (3)
1       (2 2)
2       (2 1 2 1 2 1)
3        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 
4        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1(2)
5        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0(2 1 2 1 1 1 1 1 1 1)
6        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0{2 1 2 1 1 1 1 1 1 0}^7
7        2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0{2 1 2 1 1 1 1 1 1 0}^6 (2 1 2 1 1 1 1 1 1) 
...      ...
??          <- lifetime = ??

さておき

ワームの寿命は、通常、関数fαの標準的な急成長階層に関する次の下限で示されるように、非常に_長いです。

worm                lower bound on lifetime
----------------    ------------------------------------------
11..10 (k 1s)       f_k(2)
2                   f_ω(2)
211..1 (k 1s)       f_(ω+k)(2)
2121..212 (k 2s)    f_(ωk)(2)
22..2 (k 2s)        f_(ω^k)(2)
3                   f_(ω^ω)(2)
...
n                   f_(ω^ω^..^ω)(2) (n-1 ωs)  >  f_(ε_0) (n-1)

驚くべきことに、ワーム[3]にはすでにGrahamの数 G をはるかに超える寿命があります。

F _{ω ^ω}（2）= F _{ω ²}（2）= F _ω2（2）= F _{ω+ 2}（2）= F _{ω+ 1}（F _{ω+ 1} F（2））>> _{ω+ 1}（64） > G.

コードゴルフチャレンジ

次の動作を使用して、可能な限り短い関数サブプログラムを作成します。

入力：ワーム。
出力：ワームの寿命。

コードサイズはバイト単位で測定されます。

次に例を示します（Python、約167バイトのゴルフ）：

from itertools import *
def T(w):
    w=w[::-1]
    t=0
    while w:
        t+=1
        if w[0]:a=list(takewhile(lambda e:e>=w[0],w));a[0]-=1;w=a*(t+1)+w[len(a):]
        else:w=w[1:]
    return t

注意：t（n）がワームの寿命[n]である場合、t（n）の成長率はおおよそGoodstein関数の成長率です。そのため、これを100バイト未満にゴルフできる場合、印刷可能な最大数の質問に勝利の答えを与えることができます。（その答えとして、ステップカウンターを常に0から開始するのではなく、ワーム[n]と同じ値から開始することにより、成長率を大幅に加速することができます。）

GolfScript（56 54文字）

{-1%0\{\)\.0={.0+.({<}+??\((\+.@<2$*\+}{(;}if.}do;}:L;

オンラインデモ

ここでの重要なトリックは、おそらくワームを逆の順序に保つことだと思います。それはアクティブなセグメントの長さを見つけるために、かなりコンパクトだということを意味する：.0+.({<}+??（0ガードとして添加されるが、我々はヘッドよりも小さい要素を見つけることを保証します）。

余談ですが、ワームの寿命に関するいくつかの分析。私はとワームを表しますage, head tail頭と尾で繰り返しを示すために、指数を使用して（質問者の表記から逆の順序でIE）：たとえば2^3れます2 2 2。

補題：アクティブなセグメントにxs、機能が存在するf_xsようにage, xs 0 tail変換にはf_xs(age), tail。

証明：アクティブなセグメントにaを含めることはできない0ため、テールを削除するまでの経過時間はテールとは無関係であるため、のみの関数になりxsます。

補題：活動中のセグメントxsでは、このワームage, xsは年齢で死にf_xs(age) - 1ます。

証明：前の補題により、にage, xs 0変換されf_xs(age), []ます。最後のステップは、その0セグメントの削除です。これは、アクティブなセグメントの一部を形成することはできないため、以前は変更されていません。

これら2つの補題を使用して、いくつかの単純なアクティブセグメントを学習できます。

n > 0、

age, 1^n 0 xs -> age+1, (0 1^{n-1})^{age+1} 0 xs
              == age+1, 0 (1^{n-1} 0)^{age+1} xs
              -> age+2, (1^{n-1} 0)^{age+1} xs
              -> f_{1^{n-1}}^{age+1}(age+2), xs

そのためf_{1^n} = x -> f_{1^{n-1}}^{x+1}(x+2)（ベースケース付きf_{[]} = x -> x+1、または必要に応じてf_{1} = x -> 2x+3）。Ackermann–Péter関数がf_{1^n}(x) ~ A(n+1, x)どこにあるかAがわかります。

age, 2 0 xs -> age+1, 1^{age+1} 0 xs
            -> f_{1^{age+1}}(age+1)

1 2（2 1質問の表記法で）ハンドルを取得するにはこれで十分です。

1, 1 2 -> 2, 0 2 0 2
       -> 3, 2 0 2
       -> f_{1^4}(4), 2
       -> f_{1^{f_{1^4}(4)+1}}(f_{1^4}(4)+1) - 1, []

したがって、入力が与えられる2 1と、出力〜が期待されますA(A(5,4), A(5,4))。

1, 3 -> 2, 2 2
     -> 3, 1 2 1 2 1 2
     -> 4, 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2
     -> 5, 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 1 2 1 2
     -> f_{21212}^4(5) - 1

age, 2 1 2 1 2 -> age+1, (1 1 2 1 2)^{age+1}
               -> age+2, 0 1 2 1 2 (1 1 2 1 2)^age
               -> age+3, 1 2 1 2 (1 1 2 1 2)^age

そして、この機能が非常に異常に大きくなる理由を本当に理解し始めることができます。

GolfScript、69 62文字

{0:?~%{(.{[(]{:^0=2$0+0=<}{\(@\+}/}{,:^}if;^?):?)*\+.}do;?}:C;

この関数Cは、スタック上のワームを予期し、結果で置き換えます。

例：

> [1 1]
19

> [2]
51

> [1 1 0]
51

ルビー— 131文字

これは上記のGolfScriptソリューションと競合できないことを知っており、これによりスコアを1文字以上減らすことができると確信していますが、正直なところ、この問題を解決できたことをうれしく思います。素晴らしいパズル！

f=->w{t=0;w.reverse!;until w==[];t+=1;if w[0]<1;w.shift;else;h=w.take_while{|x|x>=w[0]};h[0]-=1;w.shift h.size;w=h*t+h+w;end;end;t}

上記の派生元である私のゴルフ前のソリューション：

def life_time(worm)
  step = 0
  worm.reverse!
  until worm.empty?
    step += 1
    if worm.first == 0
      worm.shift
    else
      head = worm.take_while{ |x| x >= worm.first }
      head[0] -= 1
      worm.shift(head.size)
      worm = head * (step + 1) + worm
    end
  end
  step
end

スクリプティング（43文字）

글坼가⑴감套擘終長①加⒈丟倘⓶增⓶가采⓶擘❷小終⓷丟❶長貶❷가掊貶插①增復合감不가終終

これは、スペースで区切られたリストとしての入力を想定しています。これにより、1 1およびの正解が出力されます2が、2 1または3に時間がかかりすぎるため、終了するのをあきらめました。

解説付き：

글坼 | split at spaces
가⑴ | iteration count = 0

감套 | while:
  擘終長①加⒈丟 | remove zeros from end and add to iteration count
  倘 | if the list is not empty:
    ⓶增⓶ | increment iteration count
    가采⓶擘❷小終⓷丟 | separate out active segment
    ❶長貶❷가掊貶插 | compute reduced active segment
    ①增復合 | repeat reduced active segment and concat
    감 | continue while loop
  不 | else
    가 | stop while loop
  終 | end if
終 | end while

k（83）

worm:{-1+*({x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}.)/(1;|,/x)}

繰り返しをかなり簡単に実装するだけなので、これはおそらくさらにゴルフすることができます。

基本的な進化関数、{x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}は65文字で、ワームが死んだときに年齢の増分を停止するためにいくつかのトリックを使用します。ラッパーは、単一の整数の入力をリストに強制し、入力を反転し（表記とは逆のワームに関して繰り返しを記述する方が短い）、フィックスポイントを要求し、出力として年齢を選択し、結果を調整します。最後の世代のオーバーシュートを考慮して。

強制と反転を手動で行うと、80（{-1+*({x,,(,/((x+:i)#,@[y@&w;(i:~~#y)#0;-1+]),y@&~w:&\~y<*y;1_y)@~*y}.)/(1;x)}）に低下します。

いくつかの例：

  worm 1 1 0
51
  worm 2
51
  worm 1 1
19

残念ながら、非常に低速で、64ビット整数に制限されており、おそらくメモリ効率があまり高くないため、非常に理論的な意味を除いて、おそらくLargest Number Printableにはあまり使用されません。

特に、worm 2 1そしてworm 3ちょうど解約します（そして'wsfull、私がそれらを続けさせたらおそらく（メモリ不足）を投げるでしょう）。

APL（Dyalog Unicode）、52 バイト^SBCS

@ngnと@Adámのおかげで7バイト節約されました。

0{⍬≡⍵:⍺⋄n←⍺+1⋄0=⊃⍵:n∇1↓⍵⋄n∇∊(⊂1n/-∘1@1¨)@1⊆∘⍵⍳⍨⌊\⍵}⌽

オンラインでお試しください！

説明：

0{...}⌽    ⍝ A monadic function train. We define a recursive function with two
           ⍝ arguments: zero (our counter), and the reverse of our input
⍬≡⍵:⍺      ⍝ Our base case - if our input is an empty list, return our counter
n←⍺+1      ⍝ Define 'n' as our counter plus 1
0=⊃⍵:n∇1↓⍵ ⍝ If the first element of the input is zero, recurse with the tail
           ⍝ of our input and n
⌊\⍵        ⍝ Minimum-expand: creates a new list from our input where each element
           ⍝ is the incremental minimum     
⍳⍨         ⍝ Applies above to both sides of the index-of function. Index-of returns
           ⍝ the index of the first occurence of each element in the left-side list.
           ⍝ At this point, a (reversed) input list of [3 4 5 2 3 4] would result
           ⍝ in [1 1 1 4 4 4]
⊆∘⍵        ⍝ Partition, composed with our input. Partition creates sublists of the
           ⍝ right input whenever the integer list in the left input increases.
           ⍝ This means we now have a list of sub-lists, with the first element
           ⍝ being the worm's active segment.
(...)@1    ⍝ Take the active segment and apply the following function train...
-∘1@1¨     ⍝ Subtract 1 from the first element of the active segment
1n/        ⍝ Replicate the resultant list above n+1 times
⊂          ⍝ Enclose the above, so as to keep the original shape of our sub-array
∊          ⍝ Enlist everything above together - this recursively concatenates our
           ⍝ new active segment with the remainder of the list
n∇         ⍝ Recurse with the above and n

Scala、198

type A=List[Int]
def T(w:A)={def s(i:Int,l:A):Stream[A]=l match{case f::r=>l#::s(i+1,if(f<1)r
else{val(h,t)=l.span(_>=l(0));List.fill(i)(h(0)-1::h.tail).flatten++t})
case _=>Stream()};s(2,w).length}

使用法：

scala> T(List(2))
res0: Int = 51

K、95

{i::0;#{~x~,0}{((x@!b),,[;r]/[i+:1;r:{@[x;-1+#x;-1+]}@_(b:0^1+*|&h>x)_x];-1_x)@0=h:*|x:(),x}\x}

。

k)worm:{i::0;#{~x~,0}{((x@!b),,[;r]/[i+:1;r:{@[x;-1+#x;-1+]}@_(b:0^1+*|&h>x)_x];-1_x)@0=h:*|x:(),x}\x}
k)worm 2
51
k)worm 1 1
19
q)worm 1 1 0 0 0 0
635

C（gcc）、396バイト

#define K malloc(8)
typedef*n;E(n e,n o){n s=K,t=s;for(*s=*o;o=o[1];*t=*o)t=t[1]=K;t[1]=e;e=s;}main(c,f,l,j,a)n*f;{n w=K,x=w;for(;l=--c;x=x[1]=K)*x=atoi(f[c]);for(;w&&++l;)if(*w){n v=K,z=v,u=w,t=K;for(a=*v=*w;(u=u[1])&&*u>=*w;*z=*u)z=z[1]=K;for(x=v[1],v=K,*v=a-1,1[u=v]=x;u;u=u[1])w=w[1];for(j=~l;j++;)u=t=E(t,v);for(;(u=u[1])&&(x=u[1])&&x[1];);u[1]=0;w=w?E(w,t):t;}else w=w[1];printf("%d",--l);}

オンラインでお試しください！

私はパーティーに非常に遅れていることを知っていますが、リンクリストの実装を必要とするCでこれを試してみると思いました。すべての識別子を単一の文字に変更する以外、実際にはまったくゴルフではありませんが、機能します！

全体として、これが私がこれまでに書いた3番目のC / C ++プログラムであることを考えると、私はかなり満足しています。

Haskell、84バイト

(0!).reverse
n!(x:y)|x<1=(n+1)!y|(a,b)<-span(>=x)y=(n+1)!(([-1..n]*>x-1:a)++b)
n!_=n

オンラインでお試しください！

2バイトの@xnorに感謝します。

一般的な増分を除外する良い方法があるはずだと思うが、私はまだ短いものを見つけていない。

Perl -pa 5、92バイト

while(@F){++$\;my@a;if($b=pop@F){unshift@a,pop@F while$F[-1]>=$b;push@F,(@a,--$b)x($\+1)}}}{

オンラインでお試しください！

スタックス、31 バイト

àîz7αan♣óàNµK2☻₧⌡▐`Γl½f{♂♂_KZÖÄ

実行してデバッグする