前書き

数論では、その素因数がすべて最大kであるとき、数は$k$平滑であると言います。ので、例えば、2940 7滑らかで2940 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 2。$k$$2940=2^2\cdot3\cdot5\cdot7^2$

ここでは、$k$ -smoothのペアを、両方が$k$ -smoothである2つの連続した整数として定義します。7平滑対の例は、あろう$(4374,4375)$ので、$4374=2\cdot3^7$及び$4375=5^4\cdot7$。楽しい事実：これは実際には最大の7スムーズペアです。

ストーマーはことを1897年に証明したすべてのため$k$、有限個しか存在し$k$ -smoothペア、そしてこの事実は、次のように知られているストーマーの定理。

チャレンジ

あなたの仕事は、素数入力$k$与えられると、すべてを出力または返すプログラムまたは関数を書くことです$k$滑らかなペアを重複せず任意の順序で（ペア内の順序は関係ありません）ことです。

素数$p$および$q$では、$p<q$であると仮定すると、すべての$p$ -smoothペアも$q$ -smoothペアです。

サンプルI / O

Input: 2
Output: (1, 2)

Input: 3
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (8, 9)

Input: 5
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (8, 9), (9, 10), (15, 16), (24, 25), (80, 81)

Input: 7
Output: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9), (9, 10), (14, 15),
        (15, 16), (20, 21), (24, 25), (27, 28), (35, 36), (48, 49), (49, 50), (63, 64),
        (80, 81), (125, 126), (224, 225), (2400, 2401), (4374, 4375)

制限

プログラムまたは関数は、理論的にはすべての入力に対して有限時間で終了する必要があります。デフォルトでは、標準の抜け穴は許可されていません。

受賞基準

これはコードゴルフの課題であるため、各言語の最短の有効な提出が勝ちです。

JavaScript（ES7）、 234  232バイト

$x^2-2qy^2=1$の形式のペル方程式を解くことにより解を求めます。ここで、$q$は$P$平滑平方数です。

これは、Størmerの元の手順から派生したDerrick Henry Lehmerの手順の実装です。

キーと値が記述するオブジェクトを返します $P$スムーズペアを。

P=>[...Array(P**P)].map((_,n)=>(s=(n,i=0,k=2)=>k>P?n<2:n%k?s(n,i,k+1):s(n/k,i,k+i))(n,1)&&(_=>{for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);(h=(x,y)=>k--&&h(X*x+n*Y*y,X*y+Y*x,x&s(x=~-x/2)&s(x+1)?r[x]=x+1:0))(X=x,Y=y,k=P<5?3:-~P/2)})(),r={})&&r

オンラインでお試しください！

どうやって？

ヘルパー関数$s$は、指定された整数$n$がi = 0で呼び出されたときに$P$滑らかな数であるか、i = 1で呼び出されたときに正方形のない¹ P-滑らかな数であるかをテストします$i=0$ $P$$i=1$ます。

s = (
  n,
  i = 0,
  k = 2
) =>
  k > P ?
    n < 2
  :
    n % k ?
      s(n, i, k + 1)
    :
      s(n / k, i, k + i)

我々は、すべての正方形の自由を探して^1つの $P$に-smooth番号$[1..P^P-1]$、$P^P$、上に向かうとして使用されている$P!$。

P=>[...Array(P ** P)].map((_, n) => s(n, 1) && (...))

上記の各数値$n$、ペル方程式x 2 − n y 2 =の基本解を探します。$x^2-ny^2=1$。

(_ => {
  for(x = 1; (y = ((++x * x - 1) / n) ** .5) % 1;);
  ...
})()

（上記のコードは、非再帰的なバージョンである私の答えに、この他の挑戦）

根本的な解決策後$(x_1,y_1)$発見された、我々は、溶液計算$(x_k,y_k)$と$k\le max(3,(P+1)/2)$、漸化式で：

各$x_k$について、$x_k$が奇数であり、$(x_k-1)/2$と$(x_k+1)/2$両方が$P$平滑であるかどうかをテストします。その場合、オブジェクト$r$保存します。

( h = (x, y) =>
  k-- &&
  h(
    X * x + n * Y * y,
    X * y + Y * x,
    x &
    s(x = ~-x / 2) &
    s(x + 1) ?
      r[x] = x + 1
    :
      0
  )
)(X = x, Y = y, k = P < 5 ? 3 : -~P / 2)

^{1：除数の素数性をテストしないため、関数$s$は、$i=1$呼び出された場合でも、実際にはいくつかの非平方自由数に対して真理になります。アイデアは、それらのほとんどをフィルタリングして、あまり多くの無駄なPell方程式が解決されないようにすることです。}

ゼリー、16 14バイト

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ

オンラインでお試しください！

$4^k$までのペアをチェックします。これは、kが大きい場合には非効率的です$k$がませんが、欠落がないことを確認する必要があります。

1バイトを節約してくれた@JonathanAllanに感謝します！

説明

4*ÆfṀ<ɗƇ‘rƝLÐṂ  | Monadic link, input k

4*              | 4**k, call this n
      ɗƇ        | For each number from 1..n filter those where:
  Æf            |   - Prime factors
    Ṁ           |   - Maximum
     <  ‘       |   - Less than k+1
         rƝ     | Inclusive range between neighbouring values
           LÐṂ  | Keep only those of minimum length (i.e. adjacent values)

05AB1E、8バイト

°Lü‚ʒfà@

オンラインでお試しください！

説明：

°            # 10 ** the input
 Lü‚         # list of pairs up to that number
    ʒ        # filtered by...
     fà      # the greatest prime factor (of either element of the pair)...
       @     # is <= the input

ゼリー、123バイト

¹©Æ½Ø.;µU×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥⁸;+®Æ½W¤:/$$µƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ịWµ1ịżU×®W¤Ɗ$æ.0ị$ṭµ³’H»3¤¡
ÆRŒPP€ḟ2ḤÇ€ẎḢ€+€Ø-HÆfṀ€<ẠʋƇ‘

オンラインでお試しください！

$2×$$\max(3, \frac{k+1}{2})$$\frac{x-1}{2}, \frac{x+1}{2}$各ソリューションでスムーズです。これは、質問のWikipediaリンクで説明されているように、レーマーの方法です。

単一の引数を取る完全なプログラム、 $k$ペアのリストのリストを返します。上記のコードは最終出力をソートしませんが、TIOリンクはソートします。

Haskell、118107バイト

nimiのおかげで-11バイト

q 1=[1]
q n=(:)<*>q.div n$[x|x<-[2..n],mod n x==0]!!0
f k|let r=all(<=k).q=[(n,n+1)|n<-[1..4^k],r n,r(n+1)]

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• q n のすべての素因数のリストを計算します n
• f k のリストを生成します $k$-すべてのペアのリストをフィルタリングすることにより、指定されたkのペアを滑らかにする

ゼリー、24バイト

³!²R‘Ė
ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢

オンラインでお試しください！

これには7時間かかりますが、階乗の平方を削除すると、計算がはるかに高速になります。オンラインで試してください！

説明：

³!²R‘Ė                Generates a list like [[1,2],[2,3],...]
³!²                  Take the square of the factorial of the input
   R                 Range 1 through through the above number.
    ‘Ė               Decrement and enumerate, yielding desired list


ÇÆFḢ€€€’<³FȦ$€Tị¢  
Ç                    Get the list of pairs  
 ÆF                  Get the prime factors of each number
   Ḣ€€€              Get the base of each
       ’<³           Is each base less than or equal to the input?
          FȦ$€       Check that all bases of a pair fit the above.
              T      Get a list of the truthy indexes
               ị¢    Index into the original list of pairs
                     Implicit output

@JonathanAllenのおかげで-3バイト

Python 3 + sympy、116バイト

import sympy
def f(k):x=[i for i in range(2,4**k)if max(sympy.factorint(i))<=k];return[(y,y+1)for y in x if y+1in x]

オンラインでお試しください！

Python 3 + sympy、111バイト

from sympy import*
def f(k):
 b=1
 for i in range(2,4**k):
  x=max(factorint(i))<=k
  if x&b:print(i-1,i)
  b=x

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Two variations on my Jelly answer but in Python 3. They both define a function which accepts an argument k. The first returns a list of tuples of the pairs that meet the criteria. The second prints them to stdout.

Wolfram言語（Mathematica）、241バイト

ペル方程式を使用

(s=#;v@a_:=Max[#&@@@#&/@FactorInteger@a]<=s;Select[{#-1,#+1}/2&/@(t={};k=y=1;While[k<=Max[3,(s+1)/2],If[IntegerQ[x=Sqrt[1+2y^2#]],t~AppendTo~x;k++];y++];t),v@#&]&/@Join[{1},Select[Range[3,Times@@Prime@Range@PrimePi@s],SquareFreeQ@#&&v@#&]])&

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Pyth、15バイト

f!>#QsPMTCtBS^4

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出力数がを超えることはないというNick Kennedyの観察を使用し4^kます。

05AB1E、16 バイト

°LʒfàI>‹}Xšü‚ʒ¥`

オンラインで試してください（非常に効率が悪いため、$n\gt3$..）。ここでは、やや高速な代替手段ですが、それでもかなり低速です。

説明：

°                # Take 10 to the power of the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, 10^input]
  ʒ              # Filter this list by:
   fà            #  Get the maximum prime factor
     I>‹         #  And check if it's smaller than or equal to the input
        }Xš      # After the filter: prepend 1 again
           ü‚    # Create pairs
             ʒ   # And filter these pairs by:
              ¥` #  Where the forward difference / delta is 1

Stax, 14 bytes

Θ",²aÇu,á‼⌐çLB

Run and debug it

This is not the shortest possible program, but it begins producing output as soon as matching pairs are found. It does terminate eventually, but output is produced as it's found.

Ruby, 89+8 = 97 bytes

Uses the -rprime flag. For each number $i$ from 1 to $4^n$, map it to [i, i+1] if both are $n$-smooth, otherwise map it to false, then prune all false from the list.

->n{g=->x{x.prime_division.all?{|b,_|b<=n}};(1..4**n).map{|i|g[i]&&g[i+1]&&[i,i+1]}-[!1]}

Try it online!