正方形ではない正の整数$n$が与えられた場合、関連するペル方程式の基本解を見つける$(x,y)$

詳細

• 基本は、が最小で正の方程式を満たす整数ペアです。（数えられない些細な解が常にあります。）$(x,y)$$x,y$$x$$(x,y)=(1,0)$
• は正方形ではないと仮定できます。$n$

例

 n           x    y
 1           -    -
 2           3    2
 3           2    1
 4           -    -
 5           9    4
 6           5    2
 7           8    3
 8           3    1
 9           -    -
10          19    6
11          10    3
12           7    2
13         649    180
14          15    4
15           4    1
16           -    -
17          33    8
18          17    4
19         170    39
20           9    2
21          55    12
22         197    42
23          24    5
24           5    1
25           -    -
26          51    10
27          26    5
28         127    24
29        9801    1820
30          11    2
31        1520    273
32          17    3
33          23    4
34          35    6
35           6    1
36           -    -
37          73    12
38          37    6
39          25    4
40          19    3
41        2049    320
42          13    2
43        3482    531
44         199    30
45         161    24
46       24335    3588
47          48    7
48           7    1
49           -    -
50          99    14
51          50    7
52         649    90
53       66249    9100
54         485    66
55          89    12
56          15    2
57         151    20
58       19603    2574
59         530    69
60          31    4
61  1766319049    226153980
62          63    8
63           8    1
64           -    -
65         129    16
66          65    8
67       48842    5967
68          33    4
69        7775    936
70         251    30
71        3480    413
72          17    2
73     2281249    267000
74        3699    430
75          26    3
76       57799    6630
77         351    40
78          53    6
79          80    9
80           9    1
81           -    -
82         163    18
83          82    9
84          55    6
85      285769    30996
86       10405    1122
87          28    3
88         197    21
89      500001    53000
90          19    2
91        1574    165
92        1151    120
93       12151    1260
94     2143295    221064
95          39    4
96          49    5
97    62809633    6377352
98          99    10
99          10    1

関連するOEISシーケンス：A002350 A002349 A033313 A033317

Piet、612コーデル

標準入力からnを取得します。yを出力してからxをスペース区切りで出力します。

コーデルサイズ1：

Codelサイズ4、見やすくするため：

説明

入力値99の解を計算するプログラムを示すこのNPietトレースを確認してください。

この挑戦の前にペルの方程式を聞いたことがあるかどうかはわかりません。そのため、ウィキペディアから次のすべてを入手しました。具体的には、次の3つの記事のセクション：

• ペルの方程式§連続分数による基本解
• 平方根の計算方法§分数展開の継続
• 連続分数§無限の連続分数と収束

基本的に、これは次のことです。

1. 標準入力から$n$を取得します。
2. 検索$\lfloor\sqrt n\rfloor$そのカウンターが$n$を超えるまでカウンターを増分し、その後1回減分します。（これは、トレースの左上にある最初のループです。）
3. √の連続分数から$x$および$y$を計算するための変数を設定します$\sqrt n$。
4. $x$と$y$がまだペルの方程式に適合するかどうかを確認します。存在する場合、値を出力し（これは横断方向の約2/3の下向き分岐です）、終了します（一番左の赤いブロックに実行して）。
5. そうでない場合は、変数を繰り返し更新し、手順4に戻ります（これは、右に出て、下に戻って、途中までではなく再結合します）。

率直に言って、ブルートフォースアプローチの方が短いかどうかはわかりません。試してみるつもりはありません。 さて、それで試してみました。

Piet、184コーデック

これは、私が書きたくないと言ったブルートフォースの選択肢です（他の答えで）。n = 13の解を計算するのに2分以上かかります。n = 29で試してみたいとは本当に思いませんが... 20 までのnごとにチェックアウトするので、正しいと確信しています。

他の回答のように、これはとりN標準入力と出力からY、次にX、スペースで区切られました。

コーデルサイズ1：

Codelサイズ4、見やすくするため：

説明

入力値5 のNPietトレースは次のとおりです。

これはブルートフォースの中で最も残忍で、$x$と$y$両方を繰り返します。他のソリューションでは、$x$を反復処理してからy = √を計算する場合があります$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$、しかしそれらは弱虫です。

$x=2$および$y=1$から開始し、$x$および$y$が方程式をまだ解いているかどうかを確認します。（右近くの下部にあるフォーク）がある場合、値を出力して終了します。

そうでない場合は、左に進み、$y$が増分されて$x$と比較されます。（それから、ジグザグの経路をたどる方向転換があります。）

この最後の比較では、パスが左中央付近で分割されます。それらが等しい場合、$x$は増分され、$y$は1に戻されます。そして、それがまだ解決策であるかどうかのチェックに戻ります。

まだ空白が残っているので、プログラムを拡大せずに平方根計算を組み込むことができるかどうかを確認します。

Brachylog、16バイト

;1↔;Ċz×ᵐ-1∧Ċ√ᵐℕᵐ

オンラインでお試しください！

説明

;1↔                Take the list [1, Input]
   ;Ċz             Zip it with a couple of two unknown variables: [[1,I],[Input,J]]
      ×ᵐ           Map multiply: [I, Input×J]
        -1         I - Input×J must be equal to 1
          ∧        (and)
           Ċ√ᵐ     We are looking for the square roots of these two unknown variables
              ℕᵐ   And they must be natural numbers
                   (implicit attempt to find values that match those constraints)

パリ/ GP、34バイト

PARI / GPには、ほとんどこれが組み込まれています。 quadunit与え基本単位の二次フィールド $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$、ここで$D$はフィールドの判別式です。換言すれば、quadunit(4*n)解決ペル方程式$x^2 - n \cdot y^2 = \pm 1$。そのため、そのノルムが$-1$ときに正方形を取る必要があります。

使用するアルゴリズムはわかりませんが、$n$が平方フリーでない場合でも機能します。

回答は、フォームに記載されているx + y*w、w意味$\sqrt{n}$。

n->(a=quadunit(4*n))*a^(norm(a)<0)

オンラインでお試しください！

Wolfram言語（Mathematica）、46バイト

FindInstance[x^2-y^2#==1&&x>1,{x,y},Integers]&

オンラインでお試しください！

05AB1E、17 16 14バイト

Kevin Cruijssenのおかげで1バイト節約できました。
出力[y, x]

∞.Δn*>t©1%_}®‚

オンラインでお試しください！

説明

∞                 # from the infinite list of numbers [1 ...]
 .Δ        }      # find the first number that returns true under
   n              # square
    *             # multiply with input
     >            # increment
      t©          # sqrt (and save to register as potential x)
        1%        # modulus 1
          _       # logical negation
            ®‚    # pair result (y) with register (x)

Java 8、74 73 72バイト

n->{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.sqrt(-x*~++x/n);return x+" "+y;}

@Arnauldのおかげで-1バイト。
-1バイトのおかげで@OlivierGrégoireの。

オンラインでお試しください。

説明：

n->{                 // Method with double parameter and string return-type
  int x=1;           //  Integer `x`, starting at 1
  var y=.1;          //  Double `y`, starting at 0.1
  for(;y%1>0;)       //  Loop as long as `y` contains decimal digits:
    y=               //   Set `y` to:
      Math.sqrt(     //    The square-root of:
        -x*          //     Negative `x`, multiplied by
           ~++x      //     `(-x-2)` (or `-(x+1)-1)` to be exact)
                     //     (because we increase `x` by 1 first with `++x`)
               /n);  //     Divided by the input
  return x+" "+y;}   //  After the loop, return `x` and `y` with space-delimiter as result

R、66 56 54 53 52 47 45バイト

完全なプログラム

n=scan();while((x=(1+n*T^2)^.5)%%1)T=T+1;x;+T

-1 -2 @Giuseppeに感謝

-7 @Giuseppe＆@Robin Ryder -2 @JADに感謝

ゼリー、40バイト

½©%1İ$<®‘¤$п¹;Ḋ$LḂ$?Ḟṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

オンラインでお試しください！

代替のゼリーの答え、ゴルフは少なくなりますが、xとyが大きい場合はアルゴリズム的に効率的です。これにより、nの平方根に近似する正規連続分数の収束が検出され、次に、Pell方程式を解くものがチェックされます。これで、通常の継続分数の期間が正しく検出されます。

@TimPederickのおかげで、任意の数を処理する整数ベースのソリューションも実装しました。

ゼリー、68バイト

U×_ƭ/;²®_$÷2ị$}ʋ¥µ;+®Æ½W¤:/$$
¹©Æ½Ø.;ÇƬṪ€F¹;Ḋ$LḂ$?ṭ@ṫ-ṚZæ.ʋ¥ƒØ.,U¤-ị

オンラインでお試しください！

たとえば、1234567890のソリューションでは、分子と分母にそれぞれ1936桁と1932桁が使用されます。

JavaScript（ES7）、47バイト

n=>(g=x=>(y=((x*x-1)/n)**.5)%1?g(x+1):[x,y])(2)

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$x²-1$$x$

n=>[(g=x=>(y=(x/n)**.5)%1?1+g(x+=k+=2):2)(k=3),y]

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または、50バイトの非再帰的な方法を使用できます。

n=>eval('for(x=1;(y=((++x*x-1)/n)**.5)%1;);[x,y]')

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TI-BASIC、 44  42 41バイト

Ans→N:"√(N⁻¹(X²-1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans

$n$
$(x,y)$

方程式使用します$y=\sqrt{\frac{x^2-1}{n}}$$x\ge2$
$(x,y)$$y\bmod1=0$

例：

6
               6
prgmCDGF12
           {5 2}
10
              10
prgmCDGF12
          {19 6}
13
              13
prgmCDGF12
       {649 180}

説明：

Ans→N:"√(N⁻¹(X²+1→Y₁:1→X:Repeat not(fPart(Ans:X+1→X:Y₁:End:{X,Ans  ;full logic

Ans→N                                                              ;store the input in "N"
      "√(N⁻¹(X²+1→Y₁                                               ;store the aforementioned
                                                                   ; equation into the first
                                                                   ; function variable
                     1→X                                           ;store 1 in "X"
                         Repeat not(fPart(Ans          End         ;loop until "Ans" is
                                                                   ; an integer
                                              X+1→X                ;increment "X" by 1
                                                    Y₁             ;evaluate the function
                                                                   ; stored in this variable
                                                                   ; at "X" and leave the
                                                                   ; result in "Ans"
                                                           {X,Ans  ;create a list whose
                                                                   ; values contain "X" and
                                                                   ; "Ans" and leave it in
                                                                   ; "Ans"
                                                                   ;implicitly print "Ans"

注： TI-BASICはトークン化された言語です。文字数がバイト数と等しくありません。

MATL、17バイト

`@:Ut!G*-!1=&fts~

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説明

コードは、カウンタ増加し続けるK = 1、2、3、...それぞれについてK、溶液はxは、Y 1≤ X ≤ K、1≤ Y ≤ kが探索されます。何らかの解決策が見つかった場合のプロセス。

この手順では、正確に基本的な解決策を1つだけ見つけることが保証されています。理由を確認するには、

1. n > 1の解x > 0、y > 0は、x > yを満たします。
2. 場合のx、yは溶液であり、X ' Y 'は異なる溶液で、次に、必ずしもX ≠ X ' 及び Y ≠ Y '。

1と2の結果として、

• プロシージャが特定のkで停止すると、そのkに対して1つの解のみが存在します。これは、2つの解がある場合、そのうちの1つが以前に検出され、プロセスがより小さいkで停止したためです。
• このソリューションは基本的なものです。なぜなら、より小さなxのソリューションがあれば、それは以前に発見されていたからです。

`       % Do...while
  @:U   %   Push row vector [1^2, 2^2, ..., k^2] where k is the iteration index
  t!    %   Duplicate and transpose. Gives the column vector [1^2; 2^2; ...; k^2]
  G*    %   Multiply by input n, element-wise. Gives [n*1^2; n*2^2; ...; n*k^2]
  -     %   Subtract with broadcast. Gives a square matrix of size n
  !     %   Transpose, so that x corresponds to row index and y to column index
  1=&f  %   Push row and column indices of all entries that equal 1. There can
        %   only be (a) zero such entries, in which case the results are [], [],
        %   or (b) one such entry, in which case the results are the solution x, y
  ts~   %   Duplicate, sum, negate. This gives 1 in case (a) or 0 in case (b)
        % End (implicit). Proceed with next iteration if top of the stack is true;
        % that is, if no solution was found.
        % Display (implicit). The stack contains copies of [], and x, y on top.
        % The empty array [] is not displayed

Python 2、49バイト

a=input()**.5
x=2
while x%a*x>1:x+=1
print x,x//a

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x1の上の最小数として検索しx % sqrt(n) <= 1/xます。次に、yからxを見つけy = floor(x / sqrt(n))ます。

Haskell、46バイト

$(x,y)$$x^2 - ny^2 = 1$$y \leq x$。

f n=[(x,y)|x<-[1..],y<-[1..x],x^2-n*y^2==1]!!0

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C＃（Visual C＃Interactive Compiler）、70 69バイト

n=>{int x=1;var y=.1;for(;y%1>0;)y=Math.Sqrt(-x*~++x/n);return(x,y);}

私のJava 8 answerのポートですが、バイトを節約するために文字列ではなくタプルを出力します。

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ゼリー、15バイト

‘ɼ²×³‘½µ⁺%1$¿;®

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単一の引数を取り、nのタプルを返す完全なプログラムx, y。

殻、12バイト

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N

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説明

ḟΛ¤ȯ=→*⁰□π2N  Input is n, accessed through ⁰.
           N  Natural numbers: [1,2,3,4,..
         π2   2-tuples, ordered by sum: [[1,1],[1,2],[2,1],[1,3],[2,2],..
ḟ             Find the first that satisfies this:
 Λ             All adjacent pairs x,y satisfy this:
  ¤     □       Square both: x²,y²
   ȯ  *⁰        Multiply second number by n: x²,ny²
     →          Increment second number: x²,ny²+1
    =           These are equal.

MathGolf、12バイト

ökî²*)_°▼Þ√î

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出力のフォーマットに関しては、Hail Maryをスローしています。許可されていない場合は、1バイト長いソリューションがあります。出力形式はx.0y、です。ここ.0で、2つの数値の区切り文字です。

説明

ö       ▼      do-while-true with popping
 k             read integer from input
  î²           index of current loop (1-based) squared
    *          multiply the two
     )         increment (gives the potential x candidate
      _        duplicate TOS
       °       is perfect square
         Þ     discard everything but TOS
          √    square root
           î   index of previous loop (1-based)

Emignaの05AB1Eの回答からインスピレーションを得ましたが、いくつかの改善点を見つけることができました。選択した区切り記号が許可されていない場合は、バイトカウント13の最後のバイトの前にスペースを追加します。

APL（NARS）、906バイト

r←sqrti w;i;c;m
m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄r←1⋄→3×⍳w≤3⋄r←2⋄→3×⍳w≤8⋄r←w÷2⋄c←0
i←⌊(2×r)÷⍨w+r×r⋄→3×⍳1≠×r-i⋄r←i⋄c+←1⋄→2×⍳c<900⋄r←⍬
⎕ct←m

r←pell w;a0;a;p;q2;p2;t;q;P;P1;Q;c;m
   r←⍬⋄→0×⍳w≤0⋄a0←a←sqrti w⋄→0×⍳a≡⍬⋄m←⎕ct⋄⎕ct←0⋄Q←p←1⋄c←P←P1←q2←p2←0⋄q←÷a
L: t←p2+a×p⋄p2←p⋄p←t
   t←q2+a×q
   :if c≠0⋄q2←q⋄:endif
   q←t           
   P←(a×Q)-P
   →Z×⍳Q=0⋄Q←Q÷⍨w-P×P
   →Z×⍳Q=0⋄a←⌊Q÷⍨a0+P
   c+←1⋄→L×⍳(1≠Qׯ1*c)∧c<10000
   r←p,q
   :if c=10000⋄r←⍬⋄:endif
Z: ⎕ct←m

そこにエラーのためZildeを返します床平方根とペル機能を見つけるだろう2つの機能sqrti関数であり、そしてページ読み込み基づいて、上記http://mathworld.wolfram.com/PellEquation.htmlを 知るためには、アルゴを使用します数trhuのsqrtは分数を継続し（newtonメソッドを使用してsqrtを知っているために1つのアルゴリズムを使用しても）、pおよびqが見つかると停止します。

 p^2-w*q^2=1=((-1)^c)*Qnext

テスト：

  ⎕fmt pell 1x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 2x
┌2───┐
│ 3 2│
└~───┘
  ⎕fmt pell 3x
┌2───┐
│ 2 1│
└~───┘
  ⎕fmt pell 5x
┌2───┐
│ 9 4│
└~───┘
  ⎕fmt pell 61x
┌2────────────────────┐
│ 1766319049 226153980│
└~────────────────────┘
  ⎕fmt pell 4x
┌0─┐
│ 0│
└~─┘
  ⎕fmt pell 7373x
┌2───────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 146386147086753607603444659849 1704817376311393106805466060│
└~───────────────────────────────────────────────────────────┘
  ⎕fmt pell 1000000000000000000000000000002x
┌2────────────────────────────────────────────────┐
│ 1000000000000000000000000000001 1000000000000000│
└~────────────────────────────────────────────────┘

sqrti関数のループのサイクルには制限があり、Pell関数のループのサイクルには制限があります。考えられるケース番号の両方が大きすぎるか、アルゴリズムが収束しない...（sqrtiかどうかはわかりませんすべての可能な入力を収束し、同じペル関数も）

Groovy、53バ​​イト

n->x=1;for(y=0.1d;y%1>0;)y=((++x*x-1)/n)**0.5;x+" "+y

オンラインでお試しください！

港ケビンCruijssenのJavaとC＃の答え

Pyth、15バイト

fsIJ@ct*TTQ2 2J

こちらからオンラインでお試しください。出力がされx、その後y、改行で区切られています。

Wolfram言語（Mathematica）、41バイト

{1//.y_/;!NumberQ[x=√(y^2#+1)]:>y+1,x}&

√3バイトのUnicode文字＃221Aです。（x、y）の代わりに（y、x）の順序でソリューションを出力します。不完全//.で制限された反復で通常のように、の真の値がy最大で65538の入力でのみ機能します。

オンラインでお試しください！

> <>、45バイト

11v
+$\~:1
:}/!?:-1v?=1-*}:{*:@:{*:
$  naon;>

オンラインでお試しください！

ブルートフォースアルゴリズム。x=2上から検索し、y=x-1各ループで増減しx、y0 に達すると増分します。出力のx後にy、改行で区切られたが続きます。

C＃（Visual C＃Interactive Compiler）、69バイト

n=>{for(int x=2,y;;x++)for(y=0;y<=x;y++)if(x*x-y*y*n==1)return(x,y);}

オンラインでお試しください！

Python 3、75バイト

lambda i:next((x,y)for x in range(2,i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2)

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説明

このコードはPython 2でも実行されます。ただし、Python 2のrange（）関数は、Python 3のようなジェネレーターの代わりにリストを作成するため、非常に非効率的です。

時間とメモリが無限であれば、イテレータの代わりにリスト内包表記を使用して、次のように3バイト節約できます。

Python 3、72バイト

lambda i:[(x,y)for x in range(i**i)for y in range(x)if~-x**2==i*y**2][1]

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Python 2、64バイト

f=lambda n,x=2,y=1:x*x-n*y*y-1and f(n,x+(x==y),y*(y<x)+1)or(x,y)

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を返します(x, y)。