4つの番号が与えられます。最初の3つは$a$それぞれシーケンスの$b$、b、および$c$です。

$$T_n=an^2+bn+c$$

これら4つの数値は、どのような方法でも入力できます。出力は、2つの別個の出力の一つは、あなたの答えに第四の数は、配列中の用語である（上記の式はのための少なくとも1つの解決策があること一つの手段言及されるべきである$n$とき整数であり、B、C及びT nはは指定された値に置き換えられます）、もう一方は反対です。$a$$b$$c$$T_n$

これはコードゴルフなので、バイト単位での最も短い答えが勝ちます。プログラムは、数値が負または正（または0）、10進数または整数である$a, b, c, T_n$任意の入力に対して機能する必要があります。問題を回避し、ある程度の複雑さを保つために、非整数は常に$.5$終わります。標準のループホールは許可されていません。

テストケース

a   |b   |c   |T_n |Y/N
------------------------
1   |1   |1   |1   |Y     #n=0
2   |3   |5   |2   |N
0.5 |1   |-2  |-0.5|Y     #n=1
0.5 |1   |-2  |15.5|Y     #n=5
0.5 |1   |-2  |3   |N     
-3.5|2   |-6  |-934|Y     #n=-16
0   |1   |4   |7   |Y     #n=3
0   |3   |-1  |7   |N
0   |0   |0   |1   |N
0   |0   |6   |6   |Y     #n=<anything>
4   |8   |5   |2   |N

ゼリー、 11  10 バイト

_/Ær1Ẹ?%1Ạ

*リストのリストを受け付けモナドリンク[[c, b, a], [T_n]]および利回り0場合T_n、有効な解決策があるか、1そうでない場合。

*確かに、「これら4つの数値をどのように入力してもかまいません」ということで、少し自由を取っています。

オンラインでお試しください！またはテストスイートをご覧ください。

どうやって？

_/Ær1Ẹ?%1Ạ - Link: list of lists of integers, [[c, b, a], [T_n]]
 /         - reduce by:
_          -   subtraction                    [c-T_n, b, a]
      ?    - if...
     Ẹ     - ...condition: any?
  Ær       - ...then: roots of polynomial     i.e. roots of a²x+bx+(c-T_n)=0
    1      - ...else: literal 1
       %1  - modulo 1 (vectorises)            i.e. for each: keep any fractional part
           -                                       note: (a+bi)%1 yields nan which is truthy
         Ạ - all?                             i.e. all had fractional parts?
           -                                       note: all([]) yields 1

---

明確な結果が得られない場合_/Ær1Ẹ?ḞƑƇ、10でも機能します（1すべての値がソリューションである場合に得られます。それ以外の場合は、個別のソリューションのリストであり、ソリューションがない場合は常に空のリストです。これは、標準のTruthy vs Falsey定義にも適合します。 ）

JavaScript（ES7）、70バイト

ブール値を返します。

(a,b,c,t)=>(t-=c,(a*=2)?(x=(b*b+2*a*t)**.5-b)%a&&(x+b+b)%a:b?t%b:t)==0

オンラインでお試しください！

どうやって？

明確にするために、$d = T_n-c$と定義します。（この結果をJSコードに格納するために同じ変数$t$が再利用されます。）

ケース$a\neq0$

方程式は本当に2次式です。

$$T_n=an^2+bn+c\\ an^2+bn-d=0$$

" = 2 、A、判別式は次のとおりです。$a'=2a$

$$\Delta=b^2+2a'd$$

そしてそのルーツは：

$$n_0=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a'}\\ n_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a'}$$

ならば、方程式は整数根を認めます$\sqrt{\Delta}$

$$\begin{align}&-b-\sqrt{\Delta}\equiv 0\pmod{a'}\\ \text{ or }&-b+\sqrt{\Delta}\equiv 0\pmod{a'}\end{align}$$

$a=0, b\neq0$

方程式は線形です：

$$T_n=bn+c\\ bn=d\\ n=\frac{d}{b}$$

$d\equiv0\pmod b$

$a=0, b=0$

$n$

$$T_n=c\\ d=0$$

05AB1E、35 バイト

Æ©²Āi²4P³n+tÐdi(‚³-IJ·Ä%P}뮳Āi³%]_

@ArnauldのJavaScript回答のポートです。そのため、必ず彼に賛成票を投じてください。

$[t,c], a, b$

オンラインでお試しください

説明：

Æ                         # Reduce the (implicit) input-list by subtraction (`t-c`)
 ©                        # Store this value in the register (without popping)
  ²Āi                     # If the second input `a` is not 0:
     ²4P                  #  Calculate `(t-c)*a*4`
        ³n+               #  Add the third input `b` squared to it: `(t-c)*a*4+b*b`
           t              #  Take the square-root of that
                          #  (NOTE: 05AB1E and JS behave differently for square-roots of
                          #   negative integers; JS produces NaN, whereas 05AB1E leaves the
                          #   integer unchanged, which is why we have the `di...}` here)
            Ð             #  Triplicate this square
             di           #  If the square is non-negative (>= 0):
               (‚         #   Pair it with its negative
                 ³-       #   Subtract the third input `b` from each
                   Ä      #   Take the absolute value of both
                    ²·Ä%  #   Modulo the absolute value of `a` doubled
                          #   (NOTE: 05AB1E and JS behave differently for negative modulos,
                          #    which is why we have the two `Ä` here)
                        P #   Then multiply both by taking the product
              }           #  And close the inner if-statement
    ë                     # Else (`a` is 0):
     ®                    #  Push the `t-c` from the register
      ³Āi                 #  If the third input `b` is not 0:
         ³%               #   Take modulo `b`
    ]                     # Close both if-else statements
     _                    # And check if the result is 0
                          # (which is output implicitly)

Wolfram言語（Mathematica）、38バイト

Solve[n^2#+n#2+#3==#4,n,Integers]!={}&

オンラインでお試しください！

ゼリー、15バイト

_3¦UÆr=Ḟ$;3ị=ɗẸ

オンラインでお試しください！

組み込みはここで役立ちますが、a = b = 0を処理しないため、これは特別に処理されます。