Perl-35バイト
print!map$\-=1/($%+=$.=$%-$.),0..<>
使用例：
$ echo 10 | perl inv-fib-sum.pl
3.34170499581934
さらなる分析
合計が
収束しています。数千桁程度を計算したいと仮定すると、単純なアプローチでほぼ十分です。収束は最初はかなり遅いですが、急速にスピードアップするため、1000桁は約4800項しかかかりません。Pythonの実装例は次のとおりです。
a=[1,1]
for i in range(4800):a=[a[0]+a[1]]+a
z=10**1000
print sum(map(lambda i:z/i,a))
これは1秒程度で出力されます。
33598856662431775531720113029189271796889051337319684864955538153251303189966833836154162164567900872970453429288539133041367890171008836795913517330771190785803335503325077531875998504871797778970060395645092153758927752656733540240331694417992939346109926262579646476518686594497102165589843608814726932495910794738736733785233268774997627277579468536769185419814676687429987673820969139012177220244052081510942649349513745416672789553444707777758478025963407690748474155579104200675015203410705335285129792635242062267537568055761955669720848843854407983324292851368070827522662579751188646464096737461572387236295562053612203024635409252678424224347036310363201466298040249015578724456176000319551987905969942029178866949174808096746523682654086938399069873211752166957063859411814553647364268782462926166650100098903804823359519893146150108288726392887669917149304053057745574321561167298985617729731395370735291966884327898022165047585028091806291002444277017460241040417786069190065037142832933
（最後の4桁は収束していませんが、ここでは無視します。）
収束を少し高速化してみましょう。標準的なトリックは、オイラーの変換を使用することです。拡張と単純化の後、これはより良い結果を生み出します：
これがより早く収束する理由はかなり明白です。各項には、分母に1つだけではなく3つの項があります。1000桁を計算するには、1600（1/3の数）の項しか必要ありません。
a=[1,1]
for i in range(1601):a=[a[0]+a[1]]+a
z=10**1000
print sum(map(lambda i:(-1)**i*z/(a[i]*a[i+1]*a[i+2]),range(1601)))
出力：
3598856662431775531720113029189271796889051337319684864955538153251303189966833836154162164567900872970453429288539133041367890171008836795913517330771190785803335503325077531875998504871797778970060395645092153758927752656733540240331694417992939346109926262579646476518686594497102165589843608814726932495910794738736733785233268774997627277579468536769185419814676687429987673820969139012177220244052081510942649349513745416672789553444707777758478025963407690748474155579104200675015203410705335285129792635242062267537568055761955669720848843854407983324292851368070827522662579751188646464096737461572387236295562053612203024635409252678424224347036310363201466298040249015578724456176000319551987905969942029178866949174808096746523682654086938399069873211752166957063859411814553647364268782462926166650100098903804823359519893146150108288726392887669917149304053057745574321561167298985617729731395370735291966884327898022165047585028091806291002444277017460241040417786069190065037142834500
（ここでも、最後の4桁は収束しません。）
まだ完了していません。隣接する用語を組み合わせると、次のようになります。
残りの合計から各項を除外すると、ネストされた式が得られます。
今、私たちはどこかに着いています。の分子はOEIS A206351に準拠していることに注意してください（最初の項は2倍になります）。
そして、分母はOEIS A081016に従います（1項シフト）：
これらのそれぞれには、非常に単純な繰り返し関係があります。
そして
それぞれ。すべてをまとめると、1000桁に対して800回の反復のみが必要であることがわかります。
b,c=[16,3,1],[273,40,3]
for i in range(800):b,c=[7*b[0]-b[1]-4]+b,[7*c[0]-c[1]-1]+c
s=z=10**1000
for x,y in zip(b,c):s=(z+s)*x/y
print s
出力：
3598856662431775531720113029189271796889051337319684864955538153251303189966833836154162164567900872970453429288539133041367890171008836795913517330771190785803335503325077531875998504871797778970060395645092153758927752656733540240331694417992939346109926262579646476518686594497102165589843608814726932495910794738736733785233268774997627277579468536769185419814676687429987673820969139012177220244052081510942649349513745416672789553444707777758478025963407690748474155579104200675015203410705335285129792635242062267537568055761955669720848843854407983324292851368070827522662579751188646464096737461572387236295562053612203024635409252678424224347036310363201466298040249015578724456176000319551987905969942029178866949174808096746523682654086938399069873211752166957063859411814553647364268782462926166650100098903804823359519893146150108288726392887669917149304053057745574321561167298985617729731395370735291966884327898022165047585028091806291002444277017460241040417786069190065037142835294
（ここで、最後に、最後の4桁が正しく収束します。）
しかし、それはまだすべてではありません。sの中間値を観察すると、実際の収束点に収束する前に、それが完全に異なる値に収束していることがわかります。この理由は次のとおりです。
安定したsを解くと、次のことがわかります。
これは単純なルートであるため、ニュートン法を使用してほとんどの方法を取得し、反復のずっと後の時点にジャンプできます。必要な精度は約400桁（bとcの値はそれより大きくないため）であり、メインループの320回の繰り返しを節約しながら、わずか7回の繰り返しで実現できます。
b,c=[16,3,1],[273,40,3]
for i in range(480):b,c=[7*b[0]-b[1]-4]+b,[7*c[0]-c[1]-1]+c
z=10**1000;s=z/17
for i in range(7):s-=(s*s+s*z-z*z/16)/(2*s+z)
for x,y in zip(b,c):s=(z+s)*x/y
print s
出力は以前と同じですが、ランタイムはPyPy v2.1を使用している私のシステムでは約0.02秒です。元の数の1/10の反復回数が必要ですが、非常に小さい項で乗算および除算を行うため、10倍よりも大幅に高速です。私は間違って表示されても大丈夫ですが、それ以上の調整はできないと思います。
φ、組み込みの言語は確かにあります。（変更のAPLではありません）