ディリクレ畳み込みは、特別な種類のあるコンボリューション数論において非常に有用なツールとして表示されます。算術関数のセットで動作します。

チャレンジ

2つの算術関数 $f,g$ （関数 $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ ）が与えられた場合、ディリクレ畳み込み 計算し $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$ 以下に定義します。

詳細

我々は、規則を使用 $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$ 。
ディリクレ畳み込み $f*g$ 2つの算術関数の $f,g$ 再び演算機能であり、それは以下のように定義される $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ （両方和は表現と等価である $d|n$ 手段は、 $d \in \mathbb N$ 分割 $n$ 従って総和は自然の上にある、除数の $n$ 同様に、我々はsubsituteすることができる。 $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ と、私たちは、第二の同等の製剤を得ます。あなたはこの表記に慣れていない場合は、以下のステップの例により、ステップがあります）ただ、これは）この挑戦のために直接関係ありません（詳しく説明する：定義は、の積の計算から来ディリクレシリーズ： $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
入力は2つのブラックボックス関数として与えられます。または、無限リスト、ジェネレータ、ストリーム、または無数の値を生成できる類似のものを使用することもできます。
機能次のいずれかが二つの出力方法は、 $f*g$ 返され、あるいは追加の入力を取る取ることができ $n \in \mathbb N$ とリターン $(f*g)(n)$ に直接。
簡単にするために、すべての要素を $\mathbb N$ 、たとえば正の32ビット整数で表現できます。
簡単にするために、すべてのエントリ $\mathbb R$ を単一の実浮動小数点数などで表すこともできます。

例

最初にいくつかの関数を定義しましょう。各定義の下の数字のリストは、その関数の最初のいくつかの値を表していることに注意してください。

乗法的アイデンティティ（A000007） $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
定数単位関数（A000012） $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
恒等関数（A000027） $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
メビウス関数（A008683） $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
オイラートーティエント関数（A000010） $φ (n) = n \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
Liouville関数（A008836） $λ (n) = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ ここで、 $k$ は多重度でカウントされた $n$ の素因数1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
除数和関数（A000203） $σ (n) = \sum_{d | n} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
除数カウント関数（A000005） $τ (n) = \sum_{d | n} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
平方数の特性関数（A010052） $s q (n) = {\begin{cases} 1 & if n is a square number \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

次に、次の例を示します。

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ および $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ および $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ および $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ および $\varphi = id * \mu$

最後のメビウス反転の結果は次のとおりです。任意の $f,g$ について、方程式 $g = f * 1$ は $f = g * \mu$ と同等です。

ステップバイステップの例

これは、定義で使用される表記法に慣れていない人のために段階的に計算される例です。関数 $f = \mu$ および $g = \sigma$ ます。ここで、での畳み込み $\mu * \sigma$ を評価します。最初のいくつかの用語を以下の表にリストします。 $n=12$

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

すべての自然数にわたる合計反復は、 $d \in \mathbb N$ 分割することを $n=12$ 、従って $d$ 、すべての天然の約数を前提とし $n=12 = 2^2\cdot 3$ 。これらは $d =1,2,3,4,6,12$ 。各加数で、 $g= \sigma$ を評価し、評価した乗算します $d$ $f = \mu$ $\frac{n}{d}$ 。これで終わりです

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = 12 \\ = i d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— フレア
ソース

4

リーン、108の 100 95 78 75バイト

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

オンラインでお試しください！

すべての機能を備えたより多くのテストケース。

— 漏れた修道女
ソース

ラムダは本当に4バイトよりも高価fun ですか？

— マリオカルネイロ

ラムダは3バイトですが、私が思う

— 漏れ修道女

UTF8では2つだと思います（ギリシャ語はかなり低いUnicodeです）

— マリオカルネイロ

あなたが正しい。私はまた輸入品をゴルフしました

— リーキー修道女

また、以前condは5バイトを保存していました

— Leaky Nun

4

ハスケル、46バイト

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

オンラインでお試しください！

-6バイトのflawrに感謝します！そして、さらに-6のH.PWizに感謝します！

— メゴ
ソース

ここではシンプルな方が短い

— -H.PWiz

@ H.PWizそれはかなり賢いです-私はそれをそのようにすることさえ考えませんでした！

— メゴ

3

Python 3、59バイト

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

オンラインでお試しください！

— 漏れた修道女
ソース

されて//、本当に必要なの代わりに/？

— ミスターXcoder

/フロートを生成しますか？

— リーキー修道女

定義上のd除数であるためn、の小数部n/dはゼロであるため、浮動小数点演算に問題はありません。小数部がゼロの浮動小数点数は、Pythonの目的ではintに十分に近く、関数の出力は実数であるため、n/d代わりに実行してn//dも問題ありません。

— メゴ

3

Wolfram言語（Mathematica）、17バイト

もちろんMathematicaには組み込み機能があります。サンプル関数の多くを知っていることもあります。いくつかの実用的な例を含めました。

DirichletConvolve

オンラインでお試しください！

— ケリー・ロウダー
ソース

2

Add ++、51バイト

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

オンラインでお試しください！

引数として2つの事前定義関数に加えて $n$ 取り、出力 $(f * g)(n)$

使い方

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— ケアード共編
ソース

2

R、58バイト

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

オンラインでお試しください！

取りn、fとg。幸いなことにnumbersパッケージにはかなりの数の機能が既に実装されています。

ベクトル化されたバージョンが利用可能な場合は、各バージョンを Vectorizeでになり、次の45バイトバージョンが可能になります。

R、45バイト

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

オンラインでお試しください！

— ジュゼッペ
ソース

1

ゼリー、9バイト

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

オンラインでお試しください！

$f$ $g$ $n$

— エリック・ザ・アウトゴルファー
ソース

1

スイフト4、 74の70 54バイト

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

オンラインでお試しください！

— Xcoder氏
ソース

1

JavaScript（ES6）、47バイト

入力をとして受け取ります(f)(g)(n)。

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

オンラインでお試しください！

例

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— アーノールド
ソース

1

APL（Dyalog Classic）、20バイト

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

と ⎕IO←1

オンラインでお試しください！

簡単に解決でき、テストしにくい-一般的に私のタイプの課題ではありません。それでも、これはとても楽しかったです！

{ }オペランド⍺⍺と⍵⍵が畳み込まれる2つの関数である2 項演算子を定義します。⍵は数値引数です

∪⍵∨⍳⍵約数です⍵昇順で、すなわちユニーク（∪LCMSの）（∨の）⍵、それまでのすべての自然数とは、（ ⍳）

⍵⍵¨ それぞれに正しいオペランドを適用します

⍺⍺¨∘⌽ それぞれに左オペランドを逆に適用します

+.× 内積-対応する要素を乗算して合計する

ngn / aplでも同じことがUnicode識別子のためによく見えますが、1インデックスのために2バイト余分にかかります。

— NGN
ソース

かなり確信してそれが27追加バイトを取るNGN / APL ...

— エリックOutgolfer

1

C（gcc）、108バイト

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

Leaky NunのPython answerから恥知らずに盗まれた簡単な実装。

ゴルフをしていない：

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

オンラインでお試しください！

— joH1
ソース

1

F＃、72バイト

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

2つの関数fとgおよび自然数を取りますn。にd自然に分割されない値をフィルタリングしますn。次に、とを評価f(n/d) しg(d)、それらを一緒に乗算し、結果を合計します。

— Ciaran_McCarthy
ソース

0

Pari / GP、32バイト

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

オンラインでお試しください！

組み込みdirmul関数がありますが、サポートされるのは有限シーケンスのみです。

— アレフアルファ
ソース