定義

二次剰余

整数$r$は、次のような整数xが存在する場合、$n$法とする2次剰余と呼ばれます。$x$

$$x^2\equiv r \pmod n$$

を法とする2次剰余のセットは、0 \ le x \ le \ lfloor n / 2 \ rfloorのx ^ 2 \ bmod nの結果を調べることで簡単に計算できます。$n$$x^2 \bmod n$$0 \le x \le \lfloor n/2\rfloor$

チャレンジシーケンス

我々は定義$a_n$同じ値のオカレンスの最小数として$(r_0-r_1+n) \bmod n$全てのペアのための$(r_0,r_1)$モジュロ平方剰余の$n$。

最初の30の用語は次のとおりです。

$$1, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 4, 1, 1, 4, 2, 5, 1, 2, 6, 6, 1, 2, 6, 2, 2, 7, 2$$

これはA316975（自分で提出）です。

例：$n=10$

二次残基はモジュロ$10$である$0$、$1$、$4$、$5$、$6$及び$9$。

これらの2次剰余の各ペア$(r_0,r_1)$について、$(r_0-r_1+10) \bmod 10$を計算します。これにより、次の表が得られます（$r_0$が左、$r_1$が上）。

$$\begin{array}{c|cccccc} & 0 & 1 & 4 & 5 & 6 & 9\\ \hline 0 & 0 & 9 & 6 & 5 & 4 & 1\\ 1 & 1 & 0 & \color{blue}7 & 6 & 5 & \color{green}2\\ 4 & 4 & \color{magenta}3 & 0 & 9 & \color{red}8 & 5\\ 5 & 5 & 4 & 1 & 0 & 9 & 6\\ 6 & 6 & 5 & \color{green}2 & 1 & 0 & \color{blue}7\\ 9 & 9 & \color{red}8 & 5 & 4 & \color{magenta}3 & 0 \end{array}$$

上記の表の同じ値の最小出現回数は（、、および）。したがって、です。$2$$\color{green}2$$\color{magenta}3$$\color{blue}7$$\color{red}8$$a_{10}=2$

あなたのタスク

• 次のいずれかです。

  • 整数を取り、（0インデックス付きまたは1インデックス付き）を出力または返す$n$$a_n$
  • 整数を取り、シーケンスの最初のの項を出力または返す$n$$n$
  • 何も入力せずに、シーケンスを永久に出力します
• コードは、シーケンスの最初の50個の値を1分未満で処理できる必要があります。
• 十分な時間とメモリがあれば、コードは理論的には言語でサポートされている正の整数に対して機能する必要があります。
• これはcode-golfです。

MATL、14バイト

:UG\u&-G\8#uX<

オンラインでお試しください！または、最初の30個の値を確認します。

説明

:      % Implicit input. Range
U      % Square, element-wise
G      % Push input again
\      % Modulo, element-wise
u      % Unique elements
&-     % Table of pair-wise differences
G      % Push input
\      % Modulo, element-wise
8#u    % Number of occurrences of each element
X<     % Minimum. Implicit display

Japt -g、22 20バイト

課題が実際に何であるかを理解するのに時間がかかりすぎ、さらにゴルフをする時間を使い果たしました：\

nシーケンスのth番目の用語を出力します。入力時に苦労し始めます>900。

õ_²uUÃâ ïÍmuU
£è¥XÃn

試すか、0-50の結果を確認してください

---

説明

                  :Implicit input of integer U
õ                 :Range [1,U]
 _                :Map
  ²               :  Square
   uU             :  Modulo U
     Ã            :End map
      â           :Deduplicate
        ï         :Cartesian product of the resulting array with itself
         Í        :Reduce each pair by subtraction
          m       :Map
           uU     :  Absolute value of modulo U
\n                :Reassign to U
£                 :Map each X
 è                :  Count the elements in U that are
  ¥X              :   Equal to X
    Ã             :End map
     n            :Sort
                  :Implicitly output the first element in the array

ゼリー、 13  10 バイト

-1デニスのおかげ（主要有するダイアディック解釈を強制ð）
（ペアは、我々は避けることができるド複製することができるので、デニス-2よりも感謝Rと2）

ðp²%QI%ĠẈṂ

非負の整数を生成する正の整数を受け入れる単項リンク。

オンラインでお試しください！または、最初の50項を参照してください。

どうやって？

ðp²%QI%ĠẈṂ - Link: integer, n                   e.g. 6
ð          - start a new dyadic chain - i.e. f(Left=n, Right=n)
 p         - Cartesian product of (implicit ranges)  [[1,1],[1,2],[1,3],[1,4],[1,5],[1,6],[2,1],[2,2],[2,3],[2,4],[2,5],[2,6],[3,1],[3,2],[3,3],[3,4],[3,5],[3,6],[4,1],[4,2],[4,3],[4,4],[4,5],[4,6],[5,1],[5,2],[5,3],[5,4],[5,5],[5,6],[6,1],[6,2],[6,3],[6,4],[6,5],[6,6]]
  ²        - square (vectorises)                     [[1,1],[1,4],[1,9],[1,16],[1,25],[1,36],[4,1],[4,4],[4,9],[4,16],[4,25],[4,36],[9,1],[9,4],[9,9],[9,16],[9,25],[9,36],[16,1],[16,4],[16,9],[16,16],[16,25],[16,36],[25,1],[25,4],[25,9],[25,16],[25,25],[25,36],[36,1],[36,4],[36,9],[36,16],[36,25],[36,36]]
   %       - modulo (by Right) (vectorises)          [[1,1],[1,4],[1,3],[1,4],[1,1],[1,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,4],[4,1],[4,0],[3,1],[3,4],[3,3],[3,4],[3,1],[3,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,4],[4,1],[4,0],[1,1],[1,4],[1,3],[1,4],[1,1],[1,0],[0,1],[0,4],[0,3],[0,4],[0,1],[0,0]]
    Q      - de-duplicate                            [[1,1],[1,4],[1,3],[1,0],[4,1],[4,4],[4,3],[4,0],[3,1],[3,4],[3,3],[3,0],[0,1],[0,4],[0,3],[0,0]]
     I     - incremental differences (vectorises)    [0,3,2,-1,-3,0,-1,-4,-2,1,0,-3,1,4,3,0]
      %    - modulo (by Right) (vectorises)          [0,3,2,5,3,0,5,2,4,1,0,3,1,4,3,0]
       Ġ   - group indices by value                  [[1,6,11,16],[10,13],[3,8],[2,5,12,15],[9,14],[4,7]]
        Ẉ  - length of each                          [3,2,2,4,2,2]
         Ṃ - minimum                                 2

05AB1E、22 20 15 13 バイト

LnI%êãÆI%D.m¢

@Mrのおかげで-2バイト Xcoder。

オンラインそれを試してみたり（約3秒）最初の99のテストケースを検証します。（注：Pythonのレガシーバージョンは、新しいElixirの書き換えではなくTIOで使用されます。約10倍高速ですが、フッターに追加した単一のアイテムではなくリストを返す¬ため、末尾（ヘッド）が必要.mです。

説明：

L       # Create a list in the range [1, (implicit) input]
 n      # Square each
  I%    # And then modulo each with the input
    ê   # Sort and uniquify the result (faster than just uniquify apparently)
 ã      # Create pairs (cartesian product with itself)
  Æ     # Get the differences between each pair
   I%   # And then modulo each with the input
D.m     # Take the least frequent number (numbers in the legacy version)
   ¢    # Take the count it (or all the numbers in the legacy version, which are all the same)
        # (and output it implicitly)

C（GCC） 、202の 200 190 188 187 186バイト

• 保存された2 12本の 14 15は、おかげバイトceilingcatを。
• バイトを保存しました。

Q(u,a){int*d,*r,A[u],t,i[a=u],*c=i,k;for(;a--;k||(*c++=a*a%u))for(k=a[A]=0,r=i;r<c;)k+=a*a%u==*r++;for(r=c;i-r--;)for(d=i;d<c;++A[(u+*r-*d++)%u]);for(t=*A;++a<u;t=k&&k<t?k:t)k=A[a];u=t;}

オンラインでお試しください！

Python 2、97バイト

def f(n):r={i*i%n for i in range(n)};r=[(s-t)%n for s in r for t in r];return min(map(r.count,r))

オンラインでお試しください！

K（ngn / k）、29バイト

{&/#:'=,/x!r-\:r:?x!i*i:!x}

オンラインでお試しください！

{ } 引数付きの関数 x

!x整数0へx-1

i: に割り当てます i

x! モッド x

? ユニークな

r: に割り当てます r

-\: 各左から引く

r-\:r すべての違いのマトリックス

x! モッド x

,/ 行列の行を連結します

= グループ、一意の値から出現インデックスのリストに辞書を返します

#:' 辞書内の各値の長さ

&/ 最小

Wolfram言語（Mathematica）、64バイト

Min[Last/@Tally@Mod[Tuples[Union@Mod[Range@#^2,#],2].{1,-1},#]]&

オンラインでお試しください！

ルビー、88バイト

->n{(z=(w=(0..n).map{|x|x*x%n}|[]).product(w).map{|a,b|(a-b)%n}).map{|c|z.count(c)}.min}

オンラインでお試しください！

APL（Dyalog Unicode）、28 24バイト

{⌊/⊢∘≢⌸∊⍵|∘.-⍨∪⍵|×⍨⍳⍵+1}

オンラインでお試しください！

プレフィックスダイレクト機能。を使用し⎕IO←0ます。

4バイトのカウズのおかげです！

どうやって：

{⌊/⊢∘≢⌸∊⍵|∘.-⍨∪⍵|×⍨⍳⍵+1} ⍝ Dfn, argument ⍵

                   ⍳⍵+1 ⍝ Range [0..⍵]
                 ×⍨     ⍝ Squared
               ⍵|       ⍝ Modulo ⍵
              ∪         ⍝ Unique
          ∘.-⍨          ⍝ Pairwise subtraction table
       ∊⍵|              ⍝ Modulo ⍵, flattened
      ⌸                 ⍝ Key; groups indices (in its ⍵) of values (in its ⍺).
   ⊢∘≢                  ⍝ Tally (≢) the indices. This returns the number of occurrences of each element.
 ⌊/                      ⍝ Floor reduction; returns the smallest number.