正の合理的要素に番号を付ける

14

正の有理数は、次のプロセスで数えることができます。

  1. ゼロの序数は0です
  2. 行a、列bにa / bが含まれるように、他の数値をグリッドに配置します
  3. 斜めのジグザグを右上から左下にプロットします
  4. ジグザグに沿って発生した一意の数字の集計を実行してください

ジグザグの写真は次のとおりです。

1/1から開始し、最初に右に移動

したがって、発生した番号は、順番に

1/1, 2/1, 1/2, 1/3, 2/2, 3/1, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5/1, 6/1, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6, 1/7, 2/6, 3/5, 4/4, 5/3 ...

そして、遭遇する単純化された一意の数字は

1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 5, 6, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6, 1/7, 3/5, 5/3, ...

チャレンジ：

  • 与えられた2大なりゼロの整数のpとqは、出力順序数 P / Qの
  • pとqは必ずしも互いに素ではない
  • 最短のコードが勝つ
  • 標準的な抜け穴は禁止されています

テストケース：

以下に、最初に見つかった24個の有理数と、それぞれの望ましい出力を示します。

1/1: 1
2/1: 2
1/2: 3
1/3: 4
2/2: 1
3/1: 5
4/1: 6
3/2: 7
2/3: 8
1/4: 9
1/5: 10
2/4: 3
3/3: 1
4/2: 2
5/1: 11
6/1: 12
5/2: 13
4/3: 14
3/4: 15
2/5: 16
1/6: 17
1/7: 18
2/6: 4
3/5: 19

さらに、さらにテストケースを行うために、最初の200個の正の有理数を順番に示します。

1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 
5, 6, 5/2, 4/3, 3/4, 2/5, 1/6, 1/7, 3/5, 5/3, 
7, 8, 7/2, 5/4, 4/5, 2/7, 1/8, 1/9, 3/7, 7/3, 
9, 10, 9/2, 8/3, 7/4, 6/5, 5/6, 4/7, 3/8, 2/9, 
1/10, 1/11, 5/7, 7/5, 11, 12, 11/2, 10/3, 9/4, 8/5, 
7/6, 6/7, 5/8, 4/9, 3/10, 2/11, 1/12, 1/13, 3/11, 5/9, 
9/5, 11/3, 13, 14, 13/2, 11/4, 8/7, 7/8, 4/11, 2/13, 
1/14, 1/15, 3/13, 5/11, 7/9, 9/7, 11/5, 13/3, 15, 16, 
15/2, 14/3, 13/4, 12/5, 11/6, 10/7, 9/8, 8/9, 7/10, 6/11, 
5/12, 4/13, 3/14, 2/15, 1/16, 1/17, 5/13, 7/11, 11/7, 13/5, 
17, 18, 17/2, 16/3, 15/4, 14/5, 13/6, 12/7, 11/8, 10/9, 
9/10, 8/11, 7/12, 6/13, 5/14, 4/15, 3/16, 2/17, 1/18, 1/19, 
3/17, 7/13, 9/11, 11/9, 13/7, 17/3, 19, 20, 19/2, 17/4, 
16/5, 13/8, 11/10, 10/11, 8/13, 5/16, 4/17, 2/19, 1/20, 1/21, 
3/19, 5/17, 7/15, 9/13, 13/9, 15/7, 17/5, 19/3, 21, 22, 
21/2, 20/3, 19/4, 18/5, 17/6, 16/7, 15/8, 14/9, 13/10, 12/11, 
11/12, 10/13, 9/14, 8/15, 7/16, 6/17, 5/18, 4/19, 3/20, 2/21, 
1/22, 1/23, 5/19, 7/17, 11/13, 13/11, 17/7, 19/5, 23, 24, 
23/2, 22/3, 21/4, 19/6, 18/7, 17/8, 16/9, 14/11, 13/12, 12/13, 
11/14, 9/16, 8/17, 7/18, 6/19, 4/21, 3/22, 2/23, 1/24, 1/25

大声で叫ぶ逆質問は、追加のテストケースを生成するための答えを使用することはできませんので、最初の動きがダウンしています、。

code-golf  rational-numbers 
— ヘム
ソース
短いコードを作成する代替の番号付けスキームがあるのだろうか。
— qwr
1
分数の分母：oeis.org/A157807の分母：oeis.org/A157813いいえ序シーケンスのために一致します。oeis.org/...
— QWR
そうですか。端数を減らしてからカウントする必要があります。ジグザグだけではありません
— 明るいドン
— ケビンクルーッセン

回答:

4

ゼリー、 21  20 バイト

いくつかの巧妙な数学を使用して、おそらくバイト数で打ち負かすことができます...

:g/
ǵSRRUĖ€UÐeẎÇ€Qi

に[p,q]割り当てられた自然数を返すリストを受け入れる単項リンクp/q。

オンラインでお試しください！またはを参照してくださいテストスイートを。

どうやって？

最初のノートNは番目の対角遭遇したが、分子と分母の合計が等しくなるため、グリッドの有理数の全てが含まN + 1を、そう軽減機能与えられた[p,q]最も単純な形式にペアを（[p/gcd(p,q),q/gcd(p,q)]）我々はこれまでのように対角線を構築することができますbe *が必要で、すべてのエントリを減らし、重複を排除し、単純化された入力のインデックスを見つけます。

*実際にもう1つここにバイトを保存します

:g/ - Link 1, simplify a pair: list of integers, [a, b]
  / - reduce using:
 g  - Greatest Common Divisor -> gcd(a, b)
:   - integer division (vectorises) -> [a/gcd(a,b), b/gcd(a,b)]

ǵSRRUĖ€UÐeẎÇ€Qi - Main Link: list of integers, [p, q]
Ç                - call last Link as a monad (simplify)
 µ               - start a new monadic chain (call that V)
  S              - sum -> the diagonal V will be in plus one
   R             - range -> [1,2,3,...,diag(V)+1]
    R            - range (vectorises) -> [[1],[1,2],[1,2,3],...,[1,2,3,...,diag(V)+1]]
     U           - reverse each       -> [[1],[2,1],[3,2,1],[diag(V)+1,...,3,2,1]]
      Ė€         - enumerate €ach     -> [[[1,1]],[[1,2],[2,1]],[[1,3],[2,2],[3,1]],[[1,diag(V)+1],...,[diag(V)-1,3],[diag(V),2],[diag(V)+1,1]]]
         Ðe      - apply only to the even indexed items:
        U        -   reverse each     -> [[[1,1]],[[2,1],[1,2]],[[1,3],[2,2],[3,1]],[[4,1],[3,2],[2,3],[1,4]],...]
           Ẏ     - tighten            -> [[1,1],[2,1],[1,2],[1,3],[2,2],[3,1],[4,1],[3,2],[2,3],[1,4],...]
            Ç€   - for €ach: call last Link as a monad (simplify each)
                 -                    -> [[1,1],[2,1],[1,2],[1,3],[1,1],[3,1],[4,1],[3,2],[2,3],[1,4],...]
              Q  - de-duplicate       -> [[1,1],[2,1],[1,2],[1,3],[3,1],[4,1],[3,2],[2,3],[1,4],...]
               i - index of V in that list
— ジョナサン・アラン
ソース
3

Perl 6の、 94の  90バイト

->\p,\q{(({|(1…($+=2)…1)}…*)Z/(1,{|(1…(($||=1)+=2)…1)}…*)).unique.first(p/q,:k)+1}

試して

{(({|(1…($+=2)…1)}…*)Z/(1,{|(1…(($||=1)+=2)…1)}…*)).unique.first($^p/$^q):k+1}

試して

これは基本的に値のシーケンス全体を生成し、一致が見つかると停止します。

拡張：

{  # bare block lambda with placeholder parameters $p,$q

  (
      ( # sequence of numerators

        {
          |( # slip into outer sequence (flatten)

            1      # start at one
            …
            (
              $    # state variable
              += 2 # increment it by two each time this block is called
            )
            …
            1      # finish at one
          )

        }
        … * # never stop generating values
      )


    Z/   # zip using &infix:« /  » (generates Rats)


      ( # sequence of denominators

        1,  # start with an extra one

        {
          |( # slip into outer sequence (flatten)

            1
            …
            (
              ( $ ||= 1 ) # state variable that starts with 1 (rather than 0)
              += 2        # increment it by two each time this is called
            )
            …
            1
          )
        }
        … * # never stop generating values
      )


  ).unique            # get only the unique values
  .first( $^p / $^q ) # find the first one that matches the input
  :k                  # get the index instead (0 based)
  + 1                 # add one               (1 based)
}

({1…($+=2)…1}…*)分子の無限シーケンスを生成します（|(…)上で平坦化するために使用されます）

(1 2 1)
(1 2 3 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)
…

(1,{1…(($||=1)+=2)…1}…*) 分母の無限シーケンスを生成します

1
(1 2 3 2 1)
(1 2 3 4 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 7 6 5 4 3 2 1)
(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1)
…
— ブラッド・ギルバートb2gills
ソース
3

パイソン2、157の 144 137 134 126 125バイト

def f(p,q):a=[((j-i)/(i+1.))**(j%-2|1)for j in range(p-~q)for i in range(j)];return-~sorted(set(a),key=a.index).index(p*1./q)

オンラインでお試しください！

Mr. Xcoderのために4バイトが保存されました。Jonathon Frechから1バイト。

Xcoder氏が指摘したように、Python 3では、特に整数の除算がデフォルトで浮動小数点数になり、より簡単にアンパックできるため、Python 3では少し改善できます。 list sを。

Python 3、117バイト

def f(p,q):a=[((j-i)/-~i)**(j%-2|1)for j in range(p-~q)for i in range(j)];return-~sorted({*a},key=a.index).index(p/q)

オンラインでお試しください！

— チャス・ブラウン
ソース
128バイト（-6）、小数部をスワップし、およびを使用**(j%-2|1)しp-~qます。
— ミスターXcoder
@氏。Xcoder：今日は負のモジュロについてです！:)私はまだ必要だと思う+1から、最後に1,1「必須」ギブ1、ありません0。
— チャスブラウン
— ジョナサンフレッチ
124バイト :)負のモジュロは本当に役立つことがわかりました！
— Mr Xcoder
— Mr. Xcoder
3

Python 3、157、 146、 140、133バイト

def f(p,q):a=[(i+i-abs(j-i-i))/(abs(j-i-i+.5)+.5)for i in range(p+q)for j in range(4*i)];return sorted(set(a),key=a.index).index(p/q)

オンラインでお試しください！

Jonathan Frechのおかげで11バイト獲得

チャス・ブラウンのおかげで、さらに6バイト、7バイト獲得しました

— ボブロボブ
ソース
1
— ジョナサンフレッチ
— チャスブラウン
@bobrobbob：PPCGへようこそ！アルゴリズムがどのように機能するかはよくわかりません（明らかに機能しますが）。しかし、実験的に、あなたが交換することにより、いくつかのより多くのバイトを保存することができそうですrange(max(p,q)+1)しrange(p+q)。
— チャスブラウン
1
の{*a}代わりにを使用すると、さらにバイトを節約できますset(a)。
— Mr Xcoder
2

J、41、35、30のバイト

FrownyFrogのおかげで-11バイト

%i.~0~.@,@,[:]`|./.[:%/~1+i.@*

オンラインでお試しください！

説明付きの元の41バイトの投稿

%>:@i.~[:([:~.@;[:<@|.`</.%"1 0)~(1+i.@*)

食べない

% >:@i.~ [: ([: ~.@; [: <@|.`</. %"1 0)~ 1 + i.@*

説明

                  +
                  | Everything to the right of this
                  | calculates the list
p (left arg)      |                                      create the
divided by q      |                                      diagonals.  yes,
      (right)     |                                     +this is a         +create this list
   |              |        ++ finally rmv ^alternately  |primitive ADVERB  |1..(p*q), and pass
   |   + the index          | the boxes,  |box, or      |in J              |it as both the left
   |   | of that  |         | and remove  |reverse and  |                  |and right arg to the
   |   | in the   |         | any dups    |box, each    |                  |middle verb, where each
   |   | list on  |         |             |diagonal     |                  |element will divide the
   |   | the right|         |             |             |       +----------+entire list, producing
   |   | plus 1   |         |             |             |       |          |the undiagonalized grid
   |   |          |         |             |             |       |          |
   |   |          |         |             |             |       |          |
   |   |          +         |             |             |       |          |
  ┌+┬──|──────────┬─────────|─────────────|─────────────|───────|──────────|─────────────┐
  │%│┌─+───────┬─┐│┌──┬─────|─────────────|─────────────|───────|────────┬─|────────────┐│
  │ ││┌──┬─┬──┐│~│││[:│┌────|─────────────|─────────────|───────|─────┬─┐│┌+┬─┬────────┐││
  │ │││>:│@│i.││ │││  ││┌──┬|───────┬─────|─────────────|───────|────┐│~│││1│+│┌──┬─┬─┐│││
  │ ││└──┴─┴──┘│ │││  │││[:│+──┬─┬─┐│┌──┬─|─────────────|─┬─────|───┐││ │││ │ ││i.│@│*││││
  │ │└─────────┴─┘││  │││  ││~.│@│;│││[:│┌|───────────┬─+┐│┌─┬─┬+──┐│││ │││ │ │└──┴─┴─┘│││
  │ │             ││  │││  │└──┴─┴─┘││  ││+────────┬─┐│/.│││%│"│1 0││││ ││└─┴─┴────────┘││
  │ │             ││  │││  │        ││  │││┌─┬─┬──┐│<││  ││└─┴─┴───┘│││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        ││  ││││<│@│|.││ ││  ││         │││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        ││  │││└─┴─┴──┘│ ││  ││         │││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        ││  ││└────────┴─┘│  ││         │││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        ││  │└────────────┴──┘│         │││ ││              ││
  │ │             ││  │││  │        │└──┴─────────────────┴─────────┘││ ││              ││
  │ │             ││  ││└──┴────────┴────────────────────────────────┘│ ││              ││
  │ │             ││  │└──────────────────────────────────────────────┴─┘│              ││
  │ │             │└──┴──────────────────────────────────────────────────┴──────────────┘│
  └─┴─────────────┴──────────────────────────────────────────────────────────────────────┘

オンラインでお試しください！

— ヨナ
ソース
35：1+~.@;@([:<@|.`</.%~/~)@(1+i.@*)i.%
— FrownyFrog
ありがとう、とても素敵！説明をやり直す必要があるため、後で完全に更新します
— ジョナ
そして30：%i.~0~.@,@,[:]`|./.[:%/~1+i.@*
— FrownyFrog
それは賢いです、0と〜を使用してください。ボクシングと増加を避けるために、私はそれが大好きです
— ジョナ
2

Python 3、121バイト

import math
def o(x,y):
 p=q=n=1
 while x*q!=p*y:a=p+q&1;p+=1+a*~-~-(p<2);q+=1-~-a*~-~-(q<2);n+=math.gcd(p,q)<2
 return n
— orlp
ソース
2

さび、244バイト

パズルの制約なしに、三角数字の数式を使用して、「プレーン」ジグザグの「プレーン」序数を見つける簡単な数式を作成しました：https : //www.mathsisfun.com/algebra/triangular-numbers.html。これは、パズルの各対角列の方向を反転するジグザグを説明するためにモジュロ2で修正されました。これは関数h（）です

次に、このパズルの主なトリックとして、ジグザグトレイルで3/3 vs 1 / 1、4 / 2 vs 2/1などの特定の繰り返し値を「カウントしない」方法を説明します。私は1-200の例を実行しましたが、単純なジグザグの三角カウンターと、パズルが望むカウンターとの違いに気づきました。「欠落」番号のパターンは5、12、13、14、23などであり、OEISでヒットしました。これは、https： //oeis.org/A076537のRobert A Stumpによって記述されたものです。で、3 / 3、4 / 2、1 / 1などの数値を「重複排除」するために、GCD> 1がジグザグのすべての「前の」序数のx、y。これは「for」ループとgcdであるg（）です。

組み込みのgcdではもっと短くなったと思いますが、簡単に見つけることはできませんでした（RustとIntegerの新しい種類は私を混乱させます）。そして、どんな種類のビルトインもライブラリもありません。 

fn f(x:i64,y:i64)->i64 {
        fn h(x:i64,y:i64)->i64 {let s=x+y;(s*s-3*s+4)/2-1+(s+1)%2*x+s%2*y}
        fn g(x:i64,y:i64)->i64 {if x==0 {y} else {g(y%x,x)}}
        let mut a=h(x,y);
        for i in 1..x+y {for j in 1..y+x {if h(i,j)<h(x,y) && g(i,j)>1 {a-=1;}}}
        a
}
— 明るくない
ソース
0

Javascript、79バイト

a=(p,q)=>p*q==1?1:1+((p+q)%2?q==1?a(p-1,q):a(p+1,q-1):p==1?a(p,q-1):a(p-1,q+1))

（私はゴルフをコーディングするのは初めてなので、これはおそらく簡単に改善できます）

説明

let a = (p, q) => p * q == 1 // If they are both 1
    ? 1
    // Do a recursive call and increment the result by 1
    : 1 + (
        (p + q) % 2 // If on an even-numbered diagonal
        ? q == 1 // If at the beginning of the diagonal
            ? a(p - 1, q) // Go to previous diagonal
            : a(p + 1, q - 1) // Go one back
        : p == 1 // rougly the same
            ? a(p, q - 1)
            : a(p - 1, q + 1)
    )
— バリー12
ソース
4
(3,5)生じるはずである19（ない24から）(1,1)==(2,2)==(3,3)、(2,4)==(1,2)、(4,2)==(2,1)と(2,6)==(1,3)。（つまり(2,2)、1not 5などになります...）
— ジョナサンアラン
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