さて、もう1つの証明ゴルフの質問があります。

今回は、よく知られた論理的真理を証明します

$(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$

これを行うには、Łukasiewiczの3番目の公理スキーマを使用します。これは命題論理上で完全な3つの公理の非常にエレガントなセットです。

仕組みは次のとおりです。

公理

Łukasiewiczシステムには3つの公理があります。彼らです：

$\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

$(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\chi))$

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

公理は関係なく、我々が何を選ぶかの普遍的な真理です$\phi$、$\psi$および$\chi$。証明のどの時点でも、これらの公理の1つを導入できます。公理を導入するとき、$\phi$、$\psi$および$\chi$各ケースを「複雑な式」に置き換えます。複雑な式は、（文字によって表される原子から作られた任意の式である$A$ - $Z$）、および演算子は意味（$\rightarrow$（）としない$\neg$）。

たとえば、最初の公理（LS1）を導入したい場合は、

$A\rightarrow(B\rightarrow A)$

または

$(A\rightarrow A)\rightarrow(\neg D\rightarrow(A\rightarrow A))$

最初のケースでは$\phi$は$A$、$\psi$は$B$でしたが、2番目のケースでは両方ともより複雑な表現でした。 $\phi$であった$(A\rightarrow A)$及び$\psi$あった$\neg D$。

どの置換を使用するかは、現在の証明で必要なものに依存します。

Modus Ponens

ステートメントを導入できるようになったので、それらを関連付けて新しいステートメントを作成する必要があります。ŁukasiewiczのAxiom Schema（LS）でこれを行う方法は、Modus Ponensを使用します。Modus Ponensでは、次の形式の2つのステートメントを使用できます。

$\phi$

$\phi\rightarrow \psi$

新しいステートメントをインスタンス化します

$\psi$

公理と同じように、$\phi$と$\psi$は任意のステートメントに代わることができます。

2つのステートメントは、プルーフ内のどこにあってもかまいません。互いに隣接していたり​​、特別な順序である必要はありません。

仕事

あなたの仕事は反対の法則を証明することです。これは声明です

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow\neg A)$

これはかなりおなじみであることに気付くかもしれません。これは、3番目の公理の逆の具体化です。

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

しかし、これは些細なことではありません。

得点

この課題のスコアリングは非常に簡単です。公理をインスタンス化するたびにポイントとしてカウントされ、方法論のポネンを使用するたびにポイントとしてカウントされます。これは、基本的にプルーフ内の行数です。目標は、スコアを最小化することです（できるだけ低くする）。

証明の例

$A\rightarrow A$

$A\rightarrow A$

φ
φ → (A → A)
A → A       M.P.

TeX

$\phi$$\phi\rightarrow(A\rightarrow A)$$(\neg A\rightarrow\neg A)$$(A\rightarrow A)$

φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A)        M.P.
A → A              M.P.

TeX

$\psi\rightarrow(\phi\rightarrow(A\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

$(A\rightarrow(\chi\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)                         L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

$\chi$$A\rightarrow\chi$

A → (ω → A)                                     L.S.1
A → ((ω → A) → A)                               L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

$\omega$$A$$B$$A$

A → (B → A)                                     L.S.1
A → ((B → A) → A)                               L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

オンラインでお試しください！

そしてそれは証拠です。

資源

検証プログラム

以下は、あなたの証明が実際に有効であることを検証するために使用できるPrologプログラムです。各ステップは、独自の行に配置する必要があります。->暗示に使用する-必要があり、そうでない場合に使用する必要があります。原子はアルファベット文字の任意の文字列で表すことができます。

メタマス

Metamathは命題計算の証明にŁukasiewiczシステムを使用しているので、少し調べてみてください。彼らはこの挑戦が求める定理の証拠も持っています。証拠の読み方の説明がここにあります。

信じられないほどの証明機械

@ Antonyは、Incredible Proof machineというツールに気付きました。このツールを使用すると、優れたグラフィカルプルーフシステムを使用して、多くのシステムでプルーフを作成できます。下にスクロールすると、theyukasiewiczシステムをサポートしていることがわかります。したがって、あなたがより視覚志向の人であれば、そこで証明に取り組むことができます。スコアは、使用ブロック数から1を引いたものになります。

88 82 77 72手順

H.PWizのおかげで、コンビネーターの変換が改善され、10ステップ節約できました！

説明

定理が型に対応し、証明がそれらの型のプログラムに対応するカレー-ハワード通信に精通しているかもしれません。Łukasiewiczシステムの最初の2つの公理は、実際にはKおよびSコンビネーターであり、ラムダ計算式をSKコンビナトリー式に変換できることはよく知られています。

したがって、公理に対応するいくつかの式を書きましょう（以下はHaskellコンパイラを使用して文字通り証明を確認できるので便利なHaskellの有効な構文です）：

data Not φ

k :: φ -> (ψ -> φ)
k x _ = x

s :: (φ -> (ψ -> χ)) -> ((φ -> ψ) -> (φ -> χ))
s x y z = x z (y z)

c :: (Not φ -> Not ψ) -> (ψ -> φ)
c = error "non-computational axiom"

次に、目的のステートメントの証明をプログラムとして書くことができますc（この部分は少し巧妙ですが、72行の公理的証明よりもはるかに簡単です）。

pf :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf x y = c (\z -> c (\_ -> y) (x (c (c (\_ -> z)) x))) k

そしてそれをSK組み合わせ式に変換します：

pf' :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf' =
  s (k (s (k (s c (k k)))))
    (s (k (s (s (k s) (s (k k) (s (k c) k)))))
       (s (k k) (s (k (s s (s (s (k c) (s (k c) k))))) k)))

17 k、16 s、及び4つのc以下38件のMP呼び出しに対応上記の値に16 LS1、LS2 16、及び以下プルーフ4つのLS3呼び出し、および機能の38のアプリケーションに対応する上記コンビネータ。

なぜLS1呼び出しが16回だけなのですか？k上記のコンビネータの1つに自由型変数があり、それを注意深くインスタンス化すると、すでに派生した別のコンビネータの複製になります。

の証拠

1. （A→B）→（¬¬A→（A→B））LS1
2. ¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）LS1
3. （¬¬（A→B）→¬¬A）→（¬A→¬（A→B））LS3
4. （（¬¬（A→B）→¬¬A）→（¬A→¬（A→B））））→（¬¬A→（（¬¬（A→B）→¬¬A）→（¬ A→¬（A→B）））））LS1
5. ¬¬A→（（¬¬（A→B）→¬¬A）→（¬A→¬（A→B）））MP 4,3
6. （¬¬A→（（¬¬（A→B）→¬¬A）→（¬A→¬（A→B）））））（（（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬ ¬A））→（¬¬A→（¬A→¬（A→B））））LS2
7. （¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→（¬¬A→（¬A→¬（A→B）））MP 6,5
8. ¬¬A→（¬A→¬（A→B））MP 7,2
9. （¬A→¬（A→B））→（（A→B）→A）LS3
10. （（¬A→¬（A→B））→（（A→B）→A））→（¬¬A→（（¬A→¬（A→B））→（（A→B）→A ）））LS1
11. ¬¬A→（（¬A→¬（A→B））→（（A→B）→A））MP 10,9
12. （¬¬A→（（¬A→¬（A→B））→（（A→B）→A））））→（（¬¬A→（¬A→¬（A→B）））→（ ¬¬A→（（A→B）→A）））LS2
13. （¬¬A→（¬A→¬（A→B）））→（¬¬A→（（A→B）→A））MP 12,11
14. ¬¬A→（（A→B）→A）MP 13,8
15. （¬¬A→（（A→B）→A））→（（¬¬A→（A→B））→（¬¬A→A））LS2
16. （¬¬A→（A→B））→（¬¬A→A）MP 15,14
17. （¬¬A→（A→B））→（（¬¬A→A）→（¬¬A→B））LS2
18. （（¬¬A→（A→B））→（（¬¬A→A）→（¬¬A→B））））→（（（¬¬A→（A→B））→（¬¬A →A））→（（¬¬A→（A→B））→（¬¬A→B））））LS2
19. （（¬¬A→（A→B））→（¬¬A→A））→（（¬¬A→（A→B））→（¬¬A→B））MP 18,17
20. （¬¬A→（A→B））→（¬¬A→B）MP 19,16
21. （（¬¬A→（A→B））→（¬¬A→B））→（（A→B）→（（¬¬A→（A→B））→（¬¬A→B））） ）LS1
22. （A→B）→（（¬¬A→（A→B））→（¬¬A→B））MP 21,20
23. （（A→B）→（（¬¬A→（A→B））→（¬¬A→B））））→（（（A→B）→（¬¬A→（A→B）））） →（（A→B）→（¬¬A→B）））LS2
24. （（A→B）→（¬¬A→（A→B）））→（（A→B）→（¬¬A→B））MP 23,22
25. （A→B）→（¬¬A→B）MP 24,1
26. （¬¬A→B）→（¬B→（¬¬A→B））LS1
27. （（¬¬A→B）→（¬B→（¬¬A→B）））→（（A→B）→（（¬¬A→B）→（¬B→（¬¬A→B） ）））LS1
28. （A→B）→（（¬¬A→B）→（¬B→（¬¬A→B））））MP 27,26
29. （（A→B）→（（¬¬A→B）→（¬B→（¬¬A→B））））））（（（（A→B）→（¬¬A→B））→（（ A→B）→（¬B→（¬¬A→B）））））LS2
30. （（A→B）→（¬¬A→B））→（（A→B）→（¬B→（¬¬A→B））））MP 29,28
31. （A→B）→（¬B→（¬¬A→B））MP 30,25
32. ¬B→（¬¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬B）LS1
33. （¬¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬B）→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））） ）LS3
34. （（¬¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬B）→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A） ）））→（¬B→（（¬¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬B）→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A →B）→¬¬A））））））LS1
35. ¬B→（（¬¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬B）→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬ ¬A））））MP 34,33
36. （¬B→（（¬¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬B）→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→ ¬¬A）））））→（（¬B→（¬¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬B））→（¬B→（B→¬ （¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））LS2
37. （¬B→（¬¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬B））→（¬B→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A →B）→¬¬A））））MP 36,35
38. ¬B→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））MP 37,32
39. （B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））→（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬ A））））LS1
40. （（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬ ¬A）））））→（¬B→（（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬¬A→（B→¬（¬¬ A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））））LS1
41. ¬B→（（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B ）→¬¬A）））））MP 40,39
42. （¬B→（（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→ B）→¬¬A）））））））→（（¬B→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬B→（¬ ¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））））LS2
43. （¬B→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））（（¬B→（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬ ¬（A→B）→¬¬A）））））MP 42,41
44. ¬B→（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））MP 43,38
45. （¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））（（¬¬A→B）→（¬¬A→¬（¬¬A →（¬¬（A→B）→¬¬A））））LS2
46. （（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））（（¬¬A→B）→（¬¬A→¬（¬¬ A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））（（¬B→（（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬ A））））→（（¬¬A→B）→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））LS1
47. ¬B→（（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（（¬¬A→B）→（¬¬A→¬ （¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））MP 46,45
48. （¬B→（（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））→（（¬¬A→B）→（¬¬A→ ¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））））（（（¬B→（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→ B）→¬¬A））））））→（¬B→（（¬¬A→B）→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））） ））））LS2
49. （¬B→（¬¬A→（B→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））（（¬B→（（¬¬A→B）→（ ¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））MP 48,47
50. ¬B→（（¬¬A→B）→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））MP 49,44
51. （¬B→（（¬¬A→B）→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））（（¬B→（¬¬ A→B））→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））LS2
52. （¬B→（¬¬A→B））→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））MP 51,50
53. （（¬B→（¬¬A→B））→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））（（A →B）→（（¬B→（¬¬A→B））→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））） ）LS1
54. （A→B）→（（¬B→（¬¬A→B））→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））） ））MP 53,52
55. （（A→B）→（（¬B→（¬¬A→B））→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））） ））））→（（（A→B）→（¬B→（¬¬A→B））））→（（A→B）→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（ ¬¬（A→B）→¬¬A））））））LS2
56. （（A→B）→（¬B→（¬¬A→B）））→（（A→B）→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B ）→¬¬A）））））MP 55,54
57. （A→B）→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））MP 56,31
58. （¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→（（（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬ ¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））LS1
59. （¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））MP 58,2
60. （¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬A ）LS3
61. （（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））→¬ A））→（（（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A ）））→（（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→¬A））LS2
62. （（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））→（ （¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→¬A）MP 61,60
63. （¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→¬AMP 62,59
64. （（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））→¬A）→（¬B→（（¬¬A→¬（¬¬A→（¬ ¬（A→B）→¬¬A））））→¬A））LS1
65. ¬B→（（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））→¬A）MP 64,63
66. （¬B→（（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））→¬A）））→（（¬B→（¬¬A→¬（¬ ¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））→（¬B→¬A））LS2
67. （¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））→（¬B→¬A）MP 66,65
68. （（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））→（¬B→¬A））→（（A→B）→（ （¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））→（¬B→¬A））））LS1
69. （A→B）→（（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））→（¬B→¬A））MP 68、 67
70. （（A→B）→（（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A）））））→（¬B→¬A）））→ （（（A→B）→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））（（（A→B）→（¬ B→¬A））））LS2
71. （（A→B）→（¬B→（¬¬A→¬（¬¬A→（¬¬（A→B）→¬¬A））））））→（（A→B）→（¬B →¬A））MP 70,69
72. （A→B）→（¬B→¬A）MP 71,57

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91ステップ

完全な証拠：

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
3. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS1
4. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 3,2
5. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS2
6. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 5,4
7. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) MP 6,1
8. ¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) LS1
9. (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))) LS3
10. ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS1
11. ¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 10,9
12. (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) → ((¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS2
13. (¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 12,11
14. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))) MP 13,8
15. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) LS2
16. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))) MP 15,14
17. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A) LS3
18. ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) → ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS1
19. (¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 18,17
20. ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) → (((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS2
21. ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 20,19
22. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A) MP 21,16
23. (¬A → A) → (B → (¬A → A)) LS1
24. ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) → (((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A)) LS2
25. ((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A) MP 24,22
26. (¬A → A) → A MP 25,23
27. ¬¬A → (¬A → ¬¬A) LS1
28. (¬A → ¬¬A) → (¬A → A) LS3
29. ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) LS1
30. ¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) MP 29,28
31. (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A))) LS2
32. (¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A)) MP 31,30
33. ¬¬A → (¬A → A) MP 32,27
34. ((¬A → A) → A) → (¬¬A → ((¬A → A) → A)) LS1
35. ¬¬A → ((¬A → A) → A) MP 34,26
36. (¬¬A → ((¬A → A) → A)) → ((¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A)) LS2
37. (¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A) MP 36,35
38. ¬¬A → A MP 37,33
39. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A)) LS1
40. (A → B) → (¬¬A → A) MP 39,38
41. ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
42. ((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 41,7
43. (A → B) → (¬¬A → B) MP 42,40
44. ¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) LS1
45. (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) LS3
46. ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS1
47. ¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 46,45
48. (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) → ((¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS2
49. (¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 48,47
50. ¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 49,44
51. (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) LS2
52. (¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 51,50
53. (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) LS3
54. ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS1
55. (¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 54,53
56. ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) → (((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS2
57. ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 56,55
58. (¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) MP 57,52
59. (¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B)) LS1
60. ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → (((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS2
61. ((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 60,58
62. (¬¬B → ¬B) → ¬B MP 61,59
63. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B) LS1
64. (¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B) LS3
65. ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) LS1
66. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) MP 65,64
67. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B))) LS2
68. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) MP 67,66
69. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬B) MP 68,63
70. ((¬¬B → ¬B) → ¬B) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS1
71. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 70,62
72. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B)) LS2
73. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B) MP 72,71
74. ¬¬¬B → ¬B MP 73,69
75. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B) LS3
76. B → ¬¬B MP 75,74
77. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B)) LS1
78. ¬¬A → (B → ¬¬B) MP 77,76
79. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) LS2
80. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 79,78
81. ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS1
82. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 81,80
83. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS2
84. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 83,82
85. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 84,43
86. (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) LS3
87. ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) LS1
88. (A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) MP 87,86
89. ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A))) LS2
90. ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 89,88
91. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 90,85

オンラインでお試しください！

5つの補題を使用した、より人間が読めるバージョン：

Lemma 1: From A → B and B → C, instantiate A → C. (5 steps)

1. B → C                                         given
2. (B → C) → (A → (B → C))                       L.S.1
3. A → (B → C)                                   M.P. (1,2)
4. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
5. (A → B) → (A → C)                             M.P. (3,4)
6. A → B                                         given
7. A → C                                         M.P. (6,5)

Lemma 2: ¬A → (A → B) (7 steps)

1. ¬A → (¬B → ¬A)                                L.S.1
2. (¬B → ¬A) → (A → B)                           L.S.3
3. ¬A → (A → B)                                  Lemma 1 (1,2)

Lemma 3: From A → (B → C) and A → B, instantiate A → C. (3 steps)

1. A → (B → C)                                   given
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
3. (A → B) → (A → C)                             M.P. (1,2)
4. A → B                                         given
5. A → C                                         M.P. (4,3)

Lemma 4: ¬¬A → A (31 steps)

1. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))                    Lemma 2
2. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → 
   ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))))           L.S.2
3. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))             M.P. (1,2)
4. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) →((B → (¬A → A)) → A)  L.S.3
5. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)               Lemma 1 (3,4)
6. (¬A → A) → (B → (¬A → A))                     L.S.1
7. (¬A → A) → A                                  Lemma 3 (5,6)
8. ¬¬A → (¬A → A)                                Lemma 2
9. ¬¬A → A                                       Lemma 1 (8,7)

Lemma 5: (A → B) → (¬¬A → B) (43 steps)

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B))                     L.S.1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))     L.S.2
3. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))             Lemma 1 (1,2)
4. ¬¬A → A                                       Lemma 4
5. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A))             L.S.1
6. (A → B) → (¬¬A → A)                           M.P. (4,5)
7. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 3 (3,6)

Theorem: (A → B) → (¬B → ¬A)

1. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 5
2. ¬¬¬B → ¬B                                     Lemma 4
3. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B)                       L.S.3
4. B → ¬¬B                                       M.P. (2,3)
5. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B))                 L.S.1
6. ¬¬A → (B → ¬¬B)                               M.P. (4,5)
7. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) L.S.2
8. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                       M.P. (6,7)
9. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                         Lemma 1 (1,8)
10.(¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)                       L.S.3
11.(A → B) → (¬B → ¬A)                           Lemma 1 (9,10)

59ステップ

Metamathの作者であるNorman Megillが、59のステップの証明について語ってくれました。これをこのコミュニティwikiに投稿します。オリジナルはこのページの定理2.16にあります。

http://us.metamath.org/mmsolitaire/pmproofs.txt

ノルムは言う：このページはあなたが勝つために多くの課題を提供します！

ここに証拠があります

((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! *2.16
((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! Result of proof
DD2D1DD2D13DD2D1DD22D2DD2D13DD2D1311D2D1D3DD2DD2D13DD2D1311
; ! 59 steps

証明はポーランド記法であるため、結論から始まり、すべての項が公理によって満たされるまで逆方向に続きます。文字マッピングは次のとおりです。「1」はLS公理1、「2」はLS公理2、「3」はLS公理3、「D」はModus Ponensです。

これは、@ WWの推奨形式の証明です。

01 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) )
02 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) )
03 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
04 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
05 3,4 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
06 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
07 5,6 ax-mp     $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
08 2,7 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
09 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
10 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
11 9,10 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
12 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
13 11,12 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
14 8,13 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
15 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) ) )
16 14,15 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) )
17 1,16 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B )
18 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) → ( B → ¬ ¬ B ) )
19 17,18 ax-mp   $a |- ( B → ¬ ¬ B )
20 ax-1          $a |- ( ( B → ¬ ¬ B ) → ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) )
21 19,20 ax-mp   $a |- ( A → ( B → ¬ ¬ B ) )
22 ax-2          $a |- ( ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
23 21,22 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) )
24 ax-1          $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
25 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) )
26 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
27 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
28 26,27 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
29 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
30 28,29 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
31 25,30 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
32 ax-3          $a |- ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
33 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
34 32,33 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
35 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
36 34,35 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
37 31,36 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
38 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) )
39 37,38 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) )
40 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
41 ax-2          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
42 40,41 ax-mp   $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
43 39,42 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
44 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
45 43,44 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
46 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
47 45,46 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
48 24,47 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
49 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
50 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
51 49,50 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
52 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
53 51,52 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
54 48,53 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
55 ax-1          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
56 54,55 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
57 ax-2          $a |- ( ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
58 56,57 ax-mp   $a |- ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
59 23,58 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )

オンラインでお試しください！

これは、信じられないほどの証明マシンにあります

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