ここのほとんどの人はパスカルの三角形に精通しています。連続する行で形成されます。各要素は、左上と右上の2つの隣接要素の合計です。最初の5行は次のとおりです（Generate Pascalの三角形から借用）。

    1
   1 1
  1 2 1
 1 3 3 1
1 4 6 4 1
  . . .

これらの行を左に折りたたむ

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
. . .

昇順に並べ替えます

1
1 1
1 1 2
1 1 3 3
1 1 4 4 6
. . .

行ごとにこの三角形を読む

[1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 4, 6 ...]

inputを指定すると、このシリーズのth数がn出力さnれます。これはOEIS 107430です。

ルール

• 0ベースまたは1ベースのインデックス作成を選択できます。提出する際にどちらを明記してください。
• 入力と出力は、言語のネイティブ整数型に適合すると仮定できます。
• 入力と出力は、任意の便利な方法で指定できます。
• 完全なプログラムまたは機能のいずれかが受け入れられます。関数の場合、出力する代わりに出力を返すことができます。
• 標準的な抜け穴は禁止されています。
• これはコードゴルフなので、通常のゴルフルールがすべて適用され、最短のコード（バイト単位）が勝ちます。

JavaScript（ES6）、79バイト

0インデックス。

f=(n,a=[L=1])=>a[n]||f(n-L,[...a.map((v,i)=>k=(x=v)+~~a[i-1-i%2]),L++&1?k:2*x])

デモ

f=(n,a=[L=1])=>a[n]||f(n-L,[...a.map((v,i)=>k=(x=v)+~~a[i-1-i%2]),L++&1?k:2*x])

console.log([...Array(79).keys()].map(n => f(n)).join(', '))

どうやって？

f = (                       // f = recursive function taking:
  n,                        //   n = target index
  a = [L = 1]               //   a[] = current row, L = length of current row
) =>                        //
  a[n] ||                   // if a[n] exists, stop recursion and return it
  f(                        // otherwise, do a recursive call to f() with:
    n - L,                  //   n minus the length of the current row
    [                       //   an array consisting of:
      ...a.map((v, i) =>    //     replace each entry v at position i in a[] with:
        k =                 //       a new entry k defined as:
        (x = v) +           //       v +
        ~~a[i - 1 - i % 2]  //       either the last or penultimate entry
      ),                    //     end of map()
      L++ & 1 ?             //     increment L; if L was odd:
        k                   //       append the last updated entry
      :                     //     else:
        2 * x               //       append twice the last original entry
    ]                       //   end of array update
  )                         // end of recursive call

このアルゴリズムは、Pascalの三角形のソートされた行を直接生成します。a [n]が存在するまで、前の行の長さに従ってnを更新します。たとえば、n = 19の場合、6回の反復が必要です。

 L | n  | a[]
---+----+------------------------
 1 | 19 | [ 1 ]
 2 | 18 | [ 1, 1 ]
 3 | 16 | [ 1, 1, 2 ]
 4 | 13 | [ 1, 1, 3, 3 ]
 5 |  9 | [ 1, 1, 4, 4, 6 ]
 6 |  4 | [ 1, 1, 5, 5, 10, 10 ]
                        ^^

オクターブ、46バイト

@(n)(M=sort(spdiags(flip(pascal(n)))))(~~M)(n)

1ベース。

オンラインでお試しください！

説明

n=4例として考えてみましょう。

pascal(n) パスカル行列を与える：

 1     1     1     1
 1     2     3     4
 1     3     6    10
 1     4    10    20

パスカルの三角形の行は、この行列の対角線です。だからそれを使用して垂直に反転されますflip(···)

 1     4    10    20
 1     3     6    10
 1     2     3     4
 1     1     1     1

対角線を対角線に変換します。

spdiags(···) 左下から開始して（ゼロではない）対角線を抽出し、それらをゼロで埋められた列として配置します。

 1     1     1     1     0     0     0
 0     1     2     3     4     0     0
 0     0     1     3     6    10     0
 0     0     0     1     4    10    20

M=sort(···)この行列の各列をソートし、結果をvariableに割り当てますM。

 0     0     0     1     0     0     0
 0     0     1     1     4     0     0
 0     1     1     3     4    10     0
 1     1     2     3     6    10    20

論理インデックス(···)(~~M)を使用して、この行列の非ゼロを列優先順（下、次に横）で抽出するようになりました。結果は列ベクトルです：

 1
 1
 1
 1
···
10
10
20

最後に、nこのベクトルの-番目のエントリはを使用して抽出され(···)(n)ます1。

パイソン2、86の 78 72バイト

Rodのおかげで-8バイト

g=lambda n,r=[1]:r[n:]and r[n/2]or g(n-len(r),map(sum,zip([0]+r,r+[0])))

オンラインでお試しください！

非ゴルフ

def g(n, row=[1]):
  if n < len(row):
    return row[n/2]
  else:
    next_row = map(sum, zip([0] + row, row + [0]))
    return g(n - len(row), next_row)

オンラインでお試しください！

この関数は、パスカルの三角形の行を再帰的に計算します。現在の行をとして指定rowしmap(sum, zip([0] + row, row + [0]))ます。
呼び出しごとnに、現在の行の長さが減ります。関数が正しい行に到着した場合、行のnth最小番号が返されます。
行の前半は昇順であり、各行は対称であるため、番号はインデックスn/2（0インデックス、整数除算）にあります。

Wolfram言語（Mathematica）、55バイト

インデックスは1から始まります。

(##&@@@Sort/@Table[n~Binomial~k,{n,0,#},{k,0,n}])[[#]]&

オンラインでお試しください！

説明

これはおそらくゴルフに適しています。私はMathematicaの経験があまりありません。

Table[n~Binomial~k,{n,0,#},{k,0,n}]

各n∈[0、入力]∩eachについて、各k∈ [0、n]∩ℤで二項式の表を生成します。

Sort/@

それぞれを並べ替えます。Map[function,object]–の短縮形を使用しfunction/@objectます。

(##&@@@...)[[#]]

結果のリストをフラット化し、リスト内のインデックスが入力である要素を取得します。

APL（Dyalog）、26 25バイト

@ngnのおかげで1バイト節約

{⍵⊃0~⍨∊(⍋⊃¨⊂)¨↓⍉∘.!⍨⍳1+⍵}

オンラインでお試しください！

R、58バイト

function(n)(m=apply(outer(0:n,0:n,choose),1,sort))[m>0][n]

オンラインでお試しください！

計算n choose k各々についてn,kにおける[0,1,...,n]マトリックスとしては、（*）昇順の行をソートし、選択し、次に、ゼロを削除n番目の要素を。

（*）これも列に変換しますが、Rは行列を行列としてベクトルとして格納するため、順序を維持しながら直接インデックスを作成できるため、より適切です。

ハスケル、143の 132 125 123バイト

((p>>=s.h)!!)
p=[1]:map(\r->zipWith(+)(0:r)(r++[0]))p
h r=splitAt(div(length r)2)r
s(a,b)=reverse b!a
(h:t)!b=h:(b!t)
x!_=x

最初の行は、インデックス（0ベース）を取得し、シーケンス内の適切な数値を返すポイントフリー関数です。オンラインでお試しください！

これが私の初めてのHaskellプログラムです！私はそれがずっと短くなると確信しています。ヒントをいただければ幸いです。

nimiのおかげで2バイト節約

非ゴルフ

pascalRows = [1] : map (\row -> zipWith (+) (0:row) (row++[0])) pascalRows
halves row = splitAt (div (length row) 2) row
joinSorted (first, second) = interleave (reverse second) first
interleave [] _ = []
interleave longer shorter = (head longer) : (interleave shorter (tail longer))
f n = (concatMap (joinSorted.halves) pascalRows) !! n

JavaScript、57バイト

f=(i,r=1)=>i<r?i>1?f(i-2,--r)+f(i<r?i:r-1,r):1:f(i-r,r+1)

0インデックス。

これはどうやって来るのですか：

ステップ0：

c=(i,r)=>i?r&&c(i-1,r-1)+c(i,r-1):1
f=(i,r=1)=>i<r?c(i>>1,r-1):f(i-r,r+1)

このコードは理解しやすいです：

• 関数cは組み合わせ使用式を計算します：C（n、k）= C（n-1、k）+ C（n-1、k-1）; または、k == 0またはk == nの場合は1
• 関数fは、行番号と行のインデックスを見つけようとし、結果を取得するために関数cを呼び出します。

ステップ1：

c=(i,r)=>i>1?--r&&c(i-2,r)+c(i,r):1
f=(i,r=1)=>i<r?c(i,r):f(i-r,r+1)

このステップでは、我々は、関数の呼び出し変更しようとcするc(i,r)のパラメータと同じようにそれを作るているがf。

ステップ2：

c=(i,r)=>i>1?--r&&c(i-2,r)+c(i<r?i:r-1,r):1
f=(i,r=1)=>i<r?c(i,r):f(i-r,r+1)

i<rfunction fまたはfunction を使用しているかどうかをテストしますc。そのためi<r、関数の再帰中にムスクが保持を維持しますc。

ステップ3：

f=(i,r=1)=>i<r?i>1?--r&&f(i-2,r)+f(i<r?i:r-1,r):1:f(i-r,r+1)

このステップでは、これら2つの機能を1つにマージします。

さらにゴルフをした後、最終的に上記の答えが得られました。

f=(i,r=1)=>i<r?i>1?f(i-2,--r)+f(i<r?i:r-1,r):1:f(i-r,r+1)

for(i=0,x=1;x<10;x++) {
document.write('<p>')
for(j=0;j<x;j++,i++) document.write(`<b>${f(i)}</b>`)
}

p { text-align: center; }
b { display: inline-block; width: 4ch; font-weight: normal; }

ゼリー、13バイト

0rcþ`ZṢ€Ẏḟ0⁸ị

オンラインでお試しください！

UrielのDyalogアルゴリズムを使用します。

1インデックス付き。

説明：

0rcþ`ZṢ€Ẏḟ0⁸ị
0r            Return inclusive range from 0 to n
    `         Call this dyad with this argument on both sides
   þ           Outer product with this dyad
  c             Binomial coefficient
     Z        Zip
       €      Call this link on each element
      Ṣ        Sort
        Ẏ     Concatenate elements
         ḟ0   Remove 0s
           ⁸ị Take the nth element

JavaScript（Node.js）、65バイト

配列さえ使用されていません。0インデックス。

f=(n,i=0,g=x=>x?x*g(x-1):1)=>n>i?f(n-++i,i):g(i)/g(c=n>>1)/g(i-c)

オンラインでお試しください！

説明：

f=(n,i=0,                 )=>                                     // Main Function
         g=x=>x?x*g(x-1):1                                        // Helper (Factorial)
                             n>i?                                 // Is n > i?
                                 f(n-++i,i):                      // If so, call function
                                                                  // f(n-i-1, i+1) to skip
                                                                  // . i+1 terms
                                            g(i)/g(c=n>>1)/g(i-c) // If not, since sorting 
                                                                  // . the binomial coeffs
                                                                  // . equals to writing
                                                                  // . the first floor(i/2)
                                                                  // . coefficients twice
                                                                  // . each, so a shortcut

パスカル、373バイト

function t(n,k,r:integer):integer;begin if(n<k)then t:=r-1 else t:=t(n,k+r,r+1)end;
function s(n,k:integer):integer;begin if(k=0)then s:=n else s:=s(n+k,k-1)end;
function f(n,k:integer):integer;begin if((k<1)or(k>n))then f:=0 else if n=1 then f:=1 else f:=f(n-1,k-1)+f(n-1,k)end;
function g(n:integer):integer;var k:integer;begin k:=t(n,0,1);g:=f(k,(n-s(0,k-1)+2)div 2)end;

g 関数です。

オンラインでお試しください！

Java 8、187バイト

n->{int r=~-(int)Math.sqrt(8*n+1)/2+1,a[]=new int[r],k=r,x=0;for(;k-->0;a[k]=p(r,k))x+=k;java.util.Arrays.sort(a);return a[n-x];}int p(int r,int k){return--r<1|k<2|k>r?1:p(r,k-1)+p(r,k);}

説明：

オンラインでお試しください。

n->{                   // Method with integer as both parameter and return-type
  int r=~-(int)Math.sqrt(8*n+1)/2+1,
                       //  Calculate the 1-indexed row based on the input
      a[]=new int[r],  //  Create an array with items equal to the current row
      k=r,             //  Index integer
      x=0;             //  Correction integer
  for(;k-->0;          //  Loop down to 0
    a[k]=p(r,k))       //   Fill the array with the Pascal's Triangle numbers of the row
    x+=k;              //   Create the correction integer
  java.util.Arrays.sort(a);
                       //  Sort the array
  return a[n-x];}      //  Return the `n-x`'th (0-indexed) item in this sorted array

// Separated recursive method to get the k'th value of the r'th row in the Pascal Triangle
int p(int r,int k){return--r<1|k<2|k>r?1:p(r,k-1)+p(r,k);}

MATL、11バイト

:qt!XnSXzG)

1ベース。

オンラインでお試しください！または、すべてのテストケースを確認します。

説明

4例として入力を検討してください。;行列または列ベクトルの行区切り文字です。

:     % Implicit input: n. Push the row vector [1 2 ... n]          
      S STACK: [1 2 3 4]
q     % Subtract 1, emlement-wise: gives [0 1 ... n-1]
      % STACK: [0 1 2 3]
t!    % Duplicate and transpose into a column vector
      % STACK: [0 1 2 3], [0; 1; 2; 3]
Xn    % Binomial coefficient, element-wise with broadcast. Gives an
      % n×n matrix where entry (i,j) is binomial(i,j), or 0 for i<j
      % STACK: [1 1 1 1;
                0 1 2 3;
                0 0 1 3;
                0 0 0 1]
S     % Sort each column
      % STACK: [0 0 0 1;
      %         0 0 1 1;
      %         0 1 1 3;
      %         1 1 2 3]
Xz    % Keep only nonzeros. Gives a column vector
      % STACK: [1; 1; 1; 1; 1; 2; 1; 1; 3; 3]
G)    % Get the n-th element. Implicitly display
      % STACK: 1

バッチ、128バイト

@set/as=2,t=r=m=i=1
:l
@if %1 geq %t% set/as+=r,t+=r+=1&goto l
@for /l %%i in (%s%,2,%1)do @set/ar-=1,m=m*r/i,i+=1
@echo %m%

0インデックス。

APL（Dyalog Classic）、17バイト

⎕⊃∊i!⍨,\⌊.5×i←⍳99

オンラインでお試しください！

0ベースのインデックス付け

そのノート(49!98) > 2*53、49以上すなわち二項係数98が2以上である⁵³ので、その時点でDyalogが既にあるため、IEEE浮動小数点の精度を失って開始しました、

05AB1E、10バイト

0インデックス付き

ÝεDÝc{}˜sè

オンラインでお試しください！

説明

Ý             # push range [0 ... input]
 ε    }       # apply to each element
  DÝc         # N choose [0 ... N]
     {        # sort
       ˜      # flatten result to a list
        sè    # get the element at index <input>

ゼリー、11 バイト

Ḷc€`Ṣ€Fḟ0ị@

オンラインでお試しください！

インデックスを取得して整数を返すモナドリンク-1ベースのインデックスを使用します。

どうやって？

Pascalの三角形（ゼロ）のより多くの部分が捨てられると、書かれているとおりにチャレンジを実行します...

Ḷc€`Ṣ€Fḟ0ị@ - Link: integer, i    e.g. 1   or    9
Ḷ           - lowered range            [0]       [0,1,2,3,4,5,6,7,8]
   `        - repeat left as right arg [0]       [0,1,2,3,4,5,6,7,8]
 c€         - binomial choice for €ach [[1]]     [[1,0,0,0,0,0,0,0,0],[1,1,0,0,0,0,0,0,0],[1,2,1,0,0,0,0,0,0],[1,3,3,1,0,0,0,0,0],[1,4,6,4,1,0,0,0,0],[1,5,10,10,5,1,0,0,0],[1,6,15,20,15,6,1,0,0],[1,7,21,35,35,21,7,1,0],[1,8,28,56,70,56,28,8,1]]
    Ṣ€      - sort €ach                [[1]]     [[0,0,0,0,0,0,0,0,1],[0,0,0,0,0,0,0,1,1],[0,0,0,0,0,0,1,1,2],[0,0,0,0,0,1,1,3,3],[0,0,0,0,1,1,4,4,6],[0,0,0,1,1,5,5,10,10],[0,0,1,1,6,6,15,15,20],[0,1,1,7,7,21,21,35,35],[1,1,8,8,28,28,56,56,70]]
      F     - flatten                  [1]       [0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,1,1,2,0,0,0,0,0,1,1,3,3,0,0,0,0,1,1,4,4,6,0,0,0,1,1,5,5,10,10,0,0,1,1,6,6,15,15,20,0,1,1,7,7,21,21,35,35,1,1,8,8,28,28,56,56,70]
       ḟ0   - filter discard zeros     [1]       [1,1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,4,6,1,1,5,5,111,1,6,6,15,15,21,1,7,7,21,21,35,35,1,1,8,8,28,28,56,56,70]
         ị@ - index into (sw@p args)    1         3 --------------^

赤、206バイト

f: func[n][t: copy[[1]]l: 0
while[l < n][a: copy last t insert append a 0 0 b: copy[]repeat i k:(length? a)- 1[append b a/(i) + a/(i + 1)]append t reduce[b]l: l + k]foreach p t[sort p]pick split form t{ }n]

1ベース

オンラインでお試しください！

説明：

f: func [n] [
    t: copy [[1]]                       ; start with a list with one sublist [1]
    l: 0                                ; there are 1 items overall
    while [l < n] [                     ; while the number of items is less than the argument
        a: copy last t                  ; take the last sublist 
        insert append a 0 0             ; prepend and append 0 to it  
        b: copy []                      ; prepare a list for the sums  
        repeat i k: (length? a) - 1 [   ; loop throught the elements of the list
            append b a/(i) + a/(i + 1)] ; and find the sum of the adjacent items
        append t reduce [b]             ; append the resulting list to the total list
        l: l + k                        ; update the number of the items
    ]
    foreach p t [sort p]                ; sort each sublist
    v: pick split form t { } n          ; flatten the list and take the n-th element
]

Perl、48バイト

含み+1のためにp

perl -pe '$_-=$%until$_<++$%;$./=$_/--$%for 1..$_/2;$_=$.' <<< 19

ベース0インデックスを使用します。

J、46 41バイト

f=:](([-2!]){/:~@(i.!<:)@])[:<.2&!@,:^:_1

0インデックス付き

オンラインでお試しください！

ノート：

• <.2&!@,:^:_1の逆数を切り捨てることにより、パスカルの三角形の関連する行番号を与えy choose 2ます。
• /:~@(i.!<:)@] 行を計算してソートします。
• [-2!] 行にインデックスを与えます。

ジュリア、70バイト

f(x)=map(n->binomial(n-1,ceil(Int,x/2-(n^2-n)/4-1)),round(Int,√(x*2)))

1ベース

説明：

最初に行番号を見つけ、次に列番号を見つけ、次に二項式を計算します

ゼリー、17バイト

1+2\1,1j$$СṢ€Ẏ⁸ị

オンラインでお試しください！

Pyth、15バイト

@u+GSm.cHdhHhQY

0インデックス付き

それを試してみてください

説明

@u+GSm.cHdhHhQY
 u          hQY   Reduce on [0, ..., input], starting with the empty list...
  +G              ... append to the accumulator...
    Sm.cHdhH      ... the sorted binomial coefficients.
@              Q  Take the 0-indexed element.

クリーン、80バイト

import StdEnv

\n=flatten[sort[prod[j+1..i]/prod[1..i-j]\\j<-[0..i]]\\i<-[0..]]!!n

オンラインでお試しください！

ラムダ関数として。

ルビー、56バイト

->n{a=0;n-=a until n<a+=1;[*2..a].combination(n/2).size}

0ベース

最初に三角形の行と列を取得し、次にその位置に対応する二項係数を計算します。

オンラインでお試しください！

実際には、8バイト

主にジョナサン・アランのゼリーの回答に基づいています。0インデックスを使用します。

;r♂╣♂SΣE

オンラインでお試しください！

アンゴルフ

          Implicit input n.
;         Duplicate n.
 r        Lowered range. [0..n-1].
  ♂╣      Pascal's triangle row of every number.
    ♂S    Sort every row.
      Σ   Sum each row into one array.
       E  Get the n-th element of the array (0-indexed).
          Implicit return.

ココナッツ、69バイト

def g(n,r=[1])=r[n:]and r[n//2]or g(n-len(r),[*map((+),[0]+r,r+[0])])

オンラインでお試しください！

パリ/ GP、47バイト

n->concat([vecsort(Vec((1+x)^i))|i<-[0..n]])[n]

オンラインでお試しください！

C（gcc）、140 123バイト

• ceilingcatのおかげで17バイト節約されました。

F(n){n=n?n*F(~-n):1;}f(n,j,k,c){for(c=j=0;j<n;j++)for(k=0;k<=j/2;k++)if(++c==n||j&1|k-j/2&&++c==n)return F(j)/F(k)/F(j-k);}

オンラインでお試しください！