配列からエントリを削除してソートし、要素の合計を最大化します

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この課題は、入学試験からクローズドナンバーのサイバーセキュリティコースまでです。とにかくサイバーセキュリティとは関係なく、学生の論理的スキルとコーディングスキルをテストするだけです。

仕事

配列からエントリを削除するプログラムを作成して、残りの値が厳密に減少する順序で並べ替えられ、その合計が他のすべての可能な減少シーケンスの中で最大化されるようにします。

入出力

入力は、整数値の配列になり、厳密に大きいより0、すべて互いに異なります。ファイル、コマンドライン、またはstdinから入力を読み取るかどうかは自由に選択できます。

出力は降順でソートされます、入力のもののサブ配列になり、その合計は他の可能な降順でソートされたサブ配列よりも大きくなります。

注： [5, 4, 3, 2]は、とが隣接していない[5, 4, 1, 3, 2]場合でも、のサブ配列です。という理由だけで431ポップされました。

ブルートフォースソリューション

もちろん、最も単純な解決策は、与えられた配列のすべての可能な組み合わせの中で繰り返し、最大の合計でソートされた配列を検索することです。

import itertools

def best_sum_desc_subarray(ary):
    best_sum_so_far = 0
    best_subarray_so_far = []
    for k in range(1, len(ary)):
        for comb in itertools.combinations(ary, k):
            if sum(comb) > best_sum_so_far and all(comb[j] > comb[j+1] for j in range(len(comb)-1)):
                best_subarray_so_far = list(comb)
                best_sum_so_far = sum(comb)
    return best_subarray_so_far

残念ながら、配列がソートされているかどうかをチェックし、それの要素の和を計算するのでれると、この動作が行われるために時間をからに、漸近的時間計算量は次のようになります

チャレンジ

あなたの目標は、上記のブルートフォースよりも時間の複雑さを改善することです。漸近的な時間の複雑さが最小のソリューションが課題の勝者です。2つのソリューションの漸近的な時間の複雑さが同じ場合、勝者は、漸近的な空間の複雑さが最も小さいものになります。

注： 多数であっても、読み取り、書き込み、およびアトミックの比較を検討できます。

注意： 2つ以上のソリューションがある場合は、いずれかを返します。

テストケース

Input:  [200, 100, 400]
Output: [400]

Input:  [4, 3, 2, 1, 5]
Output: [4, 3, 2, 1]

Input:  [50, 40, 30, 20, 10]
Output: [50, 40, 30, 20, 10]

Input:  [389, 207, 155, 300, 299, 170, 158, 65]
Output: [389, 300, 299, 170, 158, 65]

Input:  [19, 20, 2, 18, 13, 14, 8, 9, 4, 6, 16, 1, 15, 12, 3, 7, 17, 5, 10, 11]
Output: [20, 18, 16, 15, 12, 7, 5]

Input:  [14, 12, 24, 21, 6, 10, 19, 1, 5, 8, 17, 7, 9, 15, 23, 20, 25, 11, 13, 4, 3, 22, 18, 2, 16]
Output: [24, 21, 19, 17, 15, 13, 4, 3, 2]

Input:  [25, 15, 3, 6, 24, 30, 23, 7, 1, 10, 16, 29, 12, 13, 22, 8, 17, 14, 20, 11, 9, 18, 28, 21, 26, 27, 4, 2, 19, 5]
Output: [25, 24, 23, 22, 17, 14, 11, 9, 4, 2]
array-manipulation  subsequence  fastest-algorithm 
— マルコ
ソース
関連。（2つのアルゴリズムが実際に同等であるかどうかを今すぐ確認することはできませんが、そうであると思います。）
— マーティンエンダー
コメントは詳細なディスカッション用ではありません。この会話はチャットに移動されました。
— マーティンエンダー

回答:

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Perl

これは、時間ではO（n ^ 2）であり、空間ではO（n）でなければなりません

STDINに1行でスペースで区切られた数字を与える

#!/usr/bin/perl -a
use strict;
use warnings;

# use Data::Dumper;
use constant {
    INFINITY => 9**9**9,
    DEBUG    => 0,
};

# Recover sequence from the 'how' linked list
sub how {
    my @z;
    for (my $h = shift->{how}; $h; $h = $h->[1]) {
        push @z, $h->[0];
    }
    pop @z;
    return join " ", reverse @z;
}

use constant MINIMUM => {
    how  => [-INFINITY, [INFINITY]],
    sum  => -INFINITY,
    next => undef,
};

# Candidates is a linked list of subsequences under consideration
# A given final element will only appear once in the list of candidates
# in combination with the best sum that can be achieved with that final element
# The list of candidates is reverse sorted by final element
my $candidates = {
    # 'how' will represent the sequence that adds up to the given sum as a
    # reversed lisp style list.
    # so e.g. "1, 5, 8" will be represented as [8, [5, [1, INFINITY]]]
    # So the final element will be at the front of 'how'
    how  => [INFINITY],
    # The highest sum that can be reached with any subsequence with the same
    # final element
    sum  => 0,
    # 'next' points to the next candidate
    next => MINIMUM,   # Dummy terminator to simplify program logic
};

for my $num (@F) {
    # Among the candidates on which an extension with $num is valid
    # find the highest sum
    my $max_sum = MINIMUM;
    my $c = \$candidates;
    while ($num < $$c->{how}[0]) {
        if ($$c->{sum} > $max_sum->{sum}) {
            $max_sum = $$c;
            $c = \$$c->{next};
        } else {
            # Remove pointless candidate
            $$c = $$c->{next};
        }
    }

    my $new_sum = $max_sum->{sum} + $num;
    if ($$c->{how}[0] != $num) {
        # Insert a new candidate with a never before seen end element
        # Due to the unique element rule this branch will always be taken
        $$c = { next => $$c };
    } elsif ($new_sum <= $$c->{sum}) {
        # An already known end element but the sum is no improvement
        next;
    }
    $$c->{sum} = $new_sum;
    $$c->{how} = [$num, $max_sum->{how}];
    # print(Dumper($candidates));
    if (DEBUG) {
        print "Adding $num\n";
        for (my $c = $candidates; $c; $c = $c->{next}) {
            printf "sum(%s) = %s\n", how($c), $c->{sum};
        }
        print "------\n";
    }
}

# Find the sequence with the highest sum among the candidates
my $max_sum = MINIMUM;
for (my $c = $candidates; $c; $c = $c->{next}) {
    $max_sum = $c if $c->{sum} > $max_sum->{sum};
}

# And finally print the result
print how($max_sum), "\n";
— トン・ホスペル
ソース
3

ハスケル、O（nログ⁡n） 時間、 O（n） スペース

{-# LANGUAGE MultiParamTypeClasses #-}

import qualified Data.FingerTree as F

data S = S
  { sSum :: Int
  , sArr :: [Int]
  } deriving (Show)

instance Monoid S where
  mempty = S 0 []
  mappend _ s = s

instance F.Measured S S where
  measure = id

bestSubarrays :: [Int] -> F.FingerTree S S
bestSubarrays [] = F.empty
bestSubarrays (x:xs) = left F.>< sNew F.<| right'
  where
    (left, right) = F.split (\s -> sArr s > [x]) (bestSubarrays xs)
    sLeft = F.measure left
    sNew = S (x + sSum sLeft) (x : sArr sLeft)
    right' = F.dropUntil (\s -> sSum s > sSum sNew) right

bestSubarray :: [Int] -> [Int]
bestSubarray = sArr . F.measure . bestSubarrays

使い方

bestSubarrays xsは、xs{最大の合計、最小の最初の要素}の効率的なフロンティアにあるサブアレイのシーケンスで、合計の増加と最初の要素の増加によって左から右に並べられます。

からに移動するbestSubarrays xsにはbestSubarrays (x:xs)、

  1. シーケンスを、最初の要素が未満の左側xと、最初の要素がより大きい右側に分割しますx。
  2. x左側の右端のサブ配列の前に追加して、新しいサブ配列を見つけます。
  3. 新しいサブ配列よりも合計が小さいサブ配列のプレフィックスを右側から削除します。
  4. 左側、新しいサブ配列、および右側の残りを連結します。

指の木のすべてのサポートこれらの操作でO（ログ⁡n） 時間。

— アンダース・カセオルグ
ソース
1

この答えは、Ton Hospelの答えを拡張したものです。

この問題は、再帰を使用した動的プログラミングで解決できます

T（私）=a私+最大[{0}∪{T（j）|0≤j<私∧a私≤aj}]

どこ （a私） は入力シーケンスであり、 T（私） インデックスで終わる減少するサブシーケンスの最大達成可能な合計 私。次に、実際のソリューションを使用してトレースすることができますT、次の錆コードのように。

fn solve(arr: &[usize]) -> Vec<usize> {
    let mut tbl = Vec::new();
    // Compute table with maximum sums of any valid sequence ending
    // with a given index i.
    for i in 0..arr.len() {
        let max = (0..i)
            .filter(|&j| arr[j] >= arr[i])
            .map(|j| tbl[j])
            .max()
            .unwrap_or(0);
        tbl.push(max + arr[i]);
    }
    // Reconstruct an optimal sequence.
    let mut sum = tbl.iter().max().unwrap_or(&0).clone();
    let mut limit = 0;
    let mut result = Vec::new();

    for i in (0..arr.len()).rev() {
        if tbl[i] == sum && arr[i] >= limit {
            limit = arr[i];
            sum -= arr[i];
            result.push(arr[i]);
        }
    }
    assert_eq!(sum, 0);
    result.reverse();
    result
}

fn read_input() -> Vec<usize> {
    use std::io::{Read, stdin};
    let mut s = String::new();
    stdin().read_to_string(&mut s).unwrap();
    s.split(|c: char| !c.is_numeric())
        .filter(|&s| !s.is_empty())
        .map(|s| s.parse().unwrap())
        .collect()
}

fn main() {
    println!("{:?}", solve(&read_input()));
}

オンラインでお試しください！

— ポリツァ
ソース
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