前書き

循環グループとは何かをすでに知っている場合は、この部分をスキップできます。

グループが設定され、連想バイナリ操作によって定義される$（、である(a $ b) $ c = a $ (b $ c)グループに正確に1つの要素が存在する。eここで、a $ e = a = e $ a全てのためのaグループ（で識別）。すべての要素についてはa、グループ内の存在正確に一つのbようにa $ b = e = b $ a（逆） 。a, bグループ内の2つの要素ごとに、a $ bに、グループ内にあります（closure）。

私たちは書くことができます a^n代わりにa$a$a$...$a。

任意の要素によって生成された巡回サブグループa、グループ内である<a> = {e, a, a^2, a^3, a^4, ..., a^(n-1)}場合n（サブグループが無限大でない限り）サブグループの順序（サイズ）です。

グループは、その要素の1つによって生成できる場合、周期的です。

チャレンジ

有限グループのCayleyテーブル（製品テーブル）が与えられたら、それが周期的かどうかを判断します。

例

次のCayleyテーブルを見てみましょう。

1 2 3 4 5 6
2 3 1 6 4 5
3 1 2 5 6 4
4 5 6 1 2 3
5 6 4 3 1 2
6 4 5 2 3 1

（これは、Dihedral Group 3、D_3のCayleyテーブルです）。

これは、我々はの値を見つけるにしたいそうだとすれば、1インデックスである5 $ 3ので、我々は、オペレータが必ずしも可換ではないこと（注3行目5列目で見て、に5 $ 3等しく、必ずしもではない3 $ 5。我々は、ここを参照してください5 $ 3 = 6（また、その3 $ 5 = 4）。

で<3>始まり[3]、リストが一意である間に最後の要素とジェネレーターの積を追加して見つけることができます（3）。取得し[3, 3 $ 3 = 2, 2 $ 3 = 1, 1 $ 3 = 3]ます。ここでサブグループで停止します{3, 2, 1}。

計算<1>する<6>と、グループ内のどの要素もグループ全体を生成しないことがわかります。したがって、このグループは循環的ではありません。

テストケース

入力は行列として与えられ、出力は真実/偽の決定値として与えられます。

[[1,2,3,4,5,6],[2,3,1,6,4,5],[3,1,2,5,6,4],[4,5,6,1,2,3],[5,6,4,3,1,2],[6,4,5,2,3,1]] -> False (D_3)
[[1]] -> True ({e})
[[1,2,3,4],[2,3,4,1],[3,4,1,2],[4,1,2,3]] -> True ({1, i, -1, -i})
[[3,2,4,1],[2,4,1,3],[4,1,3,2],[1,3,2,4]] -> True ({-1, i, -i, 1})
[[1,2],[2,1]] -> True ({e, a} with a^-1=a)
[[1,2,3,4,5,6,7,8],[2,3,4,1,6,7,8,5],[3,4,1,2,7,8,5,6],[4,1,2,3,8,5,6,7],[5,8,7,6,1,4,3,2],[6,5,8,7,2,1,4,3],[7,6,5,8,3,2,1,4],[8,7,6,5,4,3,2,1]] -> False (D_4)
[[1,2,3,4,5,6],[2,1,4,3,6,5],[3,4,5,6,1,2],[4,3,6,5,2,1],[5,‌​6,1,2,3,4],[6,5,2,1,‌​4,3]] -> True (product of cyclic subgroups of order 2 and 3, thanks to Zgarb)
[[1,2,3,4],[2,1,4,3],[3,4,1,2],[4,3,1,2]] -> False (Abelian but not cyclic; thanks to xnor)

入力は常にグループであることが保証されます。

入力は0のインデックス値として取得できます。

J、8バイト

1:e.#@C.

オンラインでお試しください！

説明

1:e.#@C.  Input: matrix M
      C.  Convert each row from a permutation to a list of cycles
    #@    Number of cycles in each row
1:        Constant function 1
  e.      Is 1 a member of the cycle lengths?

殻、11 10 9バイト

VS≡`ȯU¡!1

1ベース。存在する場合はジェネレーターのインデックスを返し、存在しない場合は0を返します。 オンラインでお試しください！

説明

V          Does any row r of the input satisfy this:
      ¡!    If you iterate indexing into r
   `    1   starting with 1
    ȯU      until a repetition is encountered,
 S≡         the result has the same length as r.

ゼリー、13 11バイト

ị"⁸$ÐĿ«/E€Ẹ

オンラインでお試しください！

JavaScript（ES6）、52バイト

a=>a.some(b=>!a[new Set(a.map(_=>r=b[r],r=0)).size])

パイソン2、96の 91 97バイト

lambda x:any(g(r,r[i],i+1)==len(r)for i,r in enumerate(x))
g=lambda x,y,z:y==z or 1+g(x,x[y-1],z)

オンラインでお試しください！

ゼリー、15バイト

JŒ!ị@€µṂ⁼Jṙ'’$$

オンラインでお試しください！

頭に浮かんだ最初の愚かなアイデア：Z _nの同型をチェックします。（このコードはO（n！）…）

JŒ!ị@€             Generate all ways to denote this group.
                     (by indexing into every permutation of 1…n)
      µṂ⁼          Is the smallest one equal to this?
         Jṙ'’$$      [[1 2 …  n ]
                      [2 3 …  1 ]    (the group table for Z_n)
                      [… … …  … ]
                      [n 1 … n-1]]

R、101 97バイト

function(m)any(sapply(1:(n=nrow(m)),function(x)all(1:n%in%Reduce(`[`,rep(list(m[x,]),n),x,T,T))))

すべてのテストケースを検証する

これは<g>、それぞれについて単純に計算してg \in GからifをテストしG \subseteq <g>、次にそれらのいずれかが真であるかどうかをチェックします。ただし、常に$g右側に適用するため、m[g,]（gth番目の行）を複製し、applyの結果でその行にインデックスを付けます。毎回$g使用するのではなく、結果を蓄積して、m[g,g$g]約4バイト節約します。

Clojure、68バイト

#(seq(for[l % :when(apply distinct?(take(count l)(iterate l 0)))]l))

Python 2、82バイト

lambda A:len(A)in[len(set(reduce(lambda a,c:a+[A[a[-1]][n]],A,[n])))for n in A[0]]

オンラインでお試しください！

0インデックス付きのケイリーテーブルが入力されます。周期的/非周期的グループの真/偽の出力。