МногочленыЧебышёва（チェビシェフ多項式）

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チェビシェフ多項式は、数学のあらゆる種類の場所に現れる直交多項式のファミリーであり、非常に興味深い特性がたくさんあります。それらの1つの特徴は、それらが満たすユニークな多項式であるということです。Tn(cos(x)) = cos(n*x)

チャレンジ

非負の整数nを指定すると、n-th Chebyshev Polynomialを出力する必要があります。。Tn(x)

定義

n番目のチェビシェフ多項式は、3項の再帰を以下の式で与えられます。

T0(x) = 1
T1(x) = x
Tn+1(x) = 2*x*Tn(x) - Tn-1(x)

詳細

言語にネイティブの多項式タイプがある場合は、それを出力として使用できます。それ以外の場合は、係数のリストを昇順または降順で、または多項式を表す文字列として出力する必要があります。

例

T0(x) = 1
T1(x) = x 
T2(x) = 2x^2 - 1
T3(x) = 4x^3 - 3 x
T4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
T5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
T10(x) = 512x^10 - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2 - 1

降順のリスト形式で取得し、昇順の形式で取得しますT3(x) = [4,0,-3,0]T3(x) = [0,-3,0,4]

code-golf  math  sequence  polynomials  recursion 
— フレア
ソース
I出力リスト、することができます私は出力の場合0 1（すなわち0*x+1のための）T_0？
— ルイスメンドー
単項式の順序が一貫している限り、それは問題ありません！
— -flawr
@flawrは、polynom 2*x*(2*x**2 - 1) - xsupportive langの3の出力として問題ありませんか、またはdesc係数としての表現が必要ですか？
— ウリエル
11
— Mego
2
浮動小数点の不正確さは許容できますか？すなわちT_5(n) = [0, 5, 3.55271e-15, -20, 0, 16]
— マイル

回答:

15

Mathematica、15バイト

#~ChebyshevT~x&

もちろん、Mathematicaには組み込み機能があります。

代替入力フォームが許可されている場合（10バイト）：

ChebyshevT

整数nと変数を取ります。

— ジョン・ファンミン
ソース
3
推測できませんでした。：P
— ハイパーニュートリノ
14

オクターブ、39バイト

@(n)round(2^n/2*poly(cos((.5:n)/n*pi)))

オンラインでお試しください！

説明

cos((.5:n)/n*pi)で与えられる多項式の根でベクトルを構築します

ここに画像の説明を入力してください

polyそれらの根を持つモニック多項式を与えます。乗算は、2^n/2必要に応じて係数をスケーリングします。round数値精度にもかかわらず、結果が整数であることを確認します。

— ルイス・メンドー
ソース
1
いつものように賢い:)
— flawr
10

Haskell、62バイト

t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:0:t(n-2)

オンラインでお試しください！

flawrがバイトを保存しました。

— リン
ソース
これは非常にエレガントです！（zipWithベクトル演算については忘れ
— がち
1
guards：を使用することでもう1バイトも節約できると思いますt n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:t(n-2)。そのようにすると、最後の行の中央の括弧を削除できます:)
— flawr
に変更0:する必要があると思います0:0:-OPはこの種のゼロのスキップを許可しませんでした。
— Ørjanヨハンセン
5

MATL、17バイト

lFTi:"0yhEbFFh-]x

係数は次数の昇順で出力されます。

オンラインでお試しください！または、すべてのテストケースを確認します。

説明

入力nの場合、コードは再帰関係をn回適用します。最新の2つの多項式は常にスタックに保持されます。新しい多項式が計算されると、最も古い多項式が削除されます。

最後に、1回の反復を繰り返したため、最後から2番目の多項式が表示されます（最後の多項式が削除されます）。

l        % Push 1
FT       % Push [0 1]. These are the first two polynomials
i:"      % Input n. Do the following n times
  0      %   Push 0
  y      %   Duplicate most recent polynomial
  h      %   Concatenate: prepends 0 to that polynomial
  E      %   Multiply coefficients by 2
  b      %   Bubble up. This moves second-most recent polynomial to top
  FF     %   Push [0 0]
  h      %   Concatenate: appends [0 0] to that polynomial
  -      %   Subtract coefficients
]        % End
x        % Delete. Implicitly display
— ルイス・メンドー
ソース
4

ゼリー、18バイト

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?

オンラインでお試しください！

係数のリストを昇順で返します。

浮動小数点の不正確さを伴う17バイトの別の解決策があります。

RḤ’÷Ḥ-*ḞÆṛæ«’µ1Ṡ?

オンラインでお試しください！

説明

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?  Input: integer n
                Ị   Insignificant - abs(n) <= 1
                    If true, n = 0 or n = 1
   µ                  Monadic chain
C                       Complement, 1-x
 r1                     Range to 1
                    Else
               µ      Monadic chain
    ’                   Decrement
     ß                  Call itself recursively
      Ḥ                 Double
       0;               Prepend 0
         _              Subtract with
            $             Monadic chain
          ’’                Decrement twice
              $           Monadic chain
             ß              Call itself recursively
— マイル
ソース
— リーキー修道女
2

公理、40バイト

f(n,x)==(n<2=>x^n;2*x*f(n-1,x)-f(n-2,x))

結果

(9) -> for i in [0,1,2,3,4,5,10] repeat output ["f(y)",i,"=", f(i,y)]
   ["f(y)",0,"=",1]
   ["f(y)",1,"=",y]
                   2
   ["f(y)",2,"=",2y  - 1]
                   3
   ["f(y)",3,"=",4y  - 3y]
                   4     2
   ["f(y)",4,"=",8y  - 8y  + 1]
                    5      3
   ["f(y)",5,"=",16y  - 20y  + 5y]
                      10        8        6       4      2
   ["f(y)",10,"=",512y   - 1280y  + 1120y  - 400y  + 50y  - 1]
                                                               Type: Void

cos（n * x）の展開にf（）関数の上で使用するAxiomの式に1つの代入則を定義することができます。nは1つの整数です

(9) -> o:=rule cos(n*%y)==f(n,cos(%y))
   (9)  cos(%y n) == 'f(n,cos(%y))
                    Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
                                                              Time: 0 sec
(10) -> b:=o cos(20*x)
   (10)
                 20                18                16                14
     524288cos(x)   - 2621440cos(x)   + 5570560cos(x)   - 6553600cos(x)
   +
                  12                10               8              6
     4659200cos(x)   - 2050048cos(x)   + 549120cos(x)  - 84480cos(x)
   +
               4            2
     6600cos(x)  - 200cos(x)  + 1
                                                 Type: Expression Integer
                       Time: 0.48 (EV) + 0.02 (OT) + 0.10 (GC) = 0.60 sec
— RosLuP
ソース
1

C＃（.NET Core）、126バイト

f=n=>n==0?new[]{1}:n==1?new[]{0,1}:new[]{0}.Concat(f(n-1)).Select((a,i)=>2*a-(i<n-1?f(n-2)[i]:0)).ToArray();

バイト数には以下も含まれます。

using System.Linq;

オンラインでお試しください！

この関数は、多項式を昇順（from x^0からx^n）の係数の配列として返します

説明：

f = n =>                          // Create a function taking one parameter (int)
    n == 0 ? new[] { 1 } :        // If it's 0, return collection [1]
    n == 1 ? new[] { 0, 1 } :     // If it's 1, return collection [0,1] (so x + 0)
    new[] { 0 }                   // Else create new collection, starting with 0
        .Concat(f(n - 1))         // Concatenate with f(n-1), effectively multiplying polynomial by x
        .Select((a, i) => 2 * a - (i < n - 1 ? f(n - 2)[i] : 0))
                                  // Multiply everything by 2 and if possible, subtract f(n-2)
        .ToArray();               // Change collection to array so we have a nice short [] operator
                                  // Actually omitting this and using .ElementAt(i) is the same length, but this is my personal preference
— グジェゴルツ・プワフスキ
ソース
1

JavaScript（ES6）、65バイト

f=n=>n?n>1?[0,...f(n-1)].map((e,i)=>e+e-(f(n-2)[i]||0)):[0,1]:[1]

大きい場合は非効率的ですn。興味深いが悲しいことに非効率的：

n=>[...Array(n+1)].map(g=(m=n,i)=>i<0|i>m?0:m<2?i^m^1:g(m-1,i-1)*2-g(m-2,i))

68バイトで非常に効率的：

f=(n,a=[1],b=[0,1])=>n?f(n-1,b,[0,...b].map((e,i)=>e+e-(a[i]||0))):a

係数の配列を昇順で返します。

— ニール
ソース
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