バックグラウンド

任意の整数に対してk >= 0、f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))有理数であることを示すことができます。

ゴール

与えられたときに単一の簡約された分数としてk >= 0出力する完全なプログラムまたは関数を書きますf(k)（分子と分母は互いに素です）。

テストケース

最初のいくつかの値は

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

ルール

• 標準的な抜け穴は禁止されています。
• 入力および出力は、任意の便利な形式にできます。あなたは、出力してもよいf(k)文字列としてnumerator/denominator2つの整数のタプル、分数や合理的なオブジェクト、などあなたは、出力文字列は、唯一の2つの整数を与えると、として、出力3/2の代わりに1 1/2。
• これはコードゴルフで、最短の回答（バイト単位）が勝ちです。

M、11バイト

×C÷@+
R0;ç/

オンラインでお試しください！

でOEIS式x(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))を使用しx(0) = 0ます。

Mathematica、28バイト

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

オンラインでお試しください！

より長く、しかしより興味深いアプローチ（32バイト）：

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

オンラインでお試しください！

Python 2、76 72バイト

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

IDを使用します。

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

我々は持っています：

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

オンラインでお試しください！

ルイスメンドーのおかげで、4バイト節約できます。

APL（Dyalog）、14バイト

必要⎕FR←1287（128ビットF loating点Rの小さな入力用epresentation）。取りk右引数として。

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

オンラインでお試しください！

⍳ 整数1からk（0 = arctan 0としてゼロは不要です）

¯3+.○ アークタンジェントの合計

3○ 正接

1(… ) 1を左引数として、上記を右引数として以下の暗黙関数を適用します。

 ∧ （1および正しい引数の）最小公倍数。分子を与える

 ÷ で割った

 , 連結（1と正しい引数）; 分子と分母を与える

Haskell、52バイト

これは、OEISシリーズの拡張を使用します。

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

オンラインでお試しください！

または、ポイントフリーバージョン：

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

JavaScript（ES6）、80バイト

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

[分子、分母]のペアを返します。説明：みましょうf(n-1) = a/bそれからf(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a)。その後、分数をその最低条件に減らすために残ります。

オンラインES6環境

パリ/ GP、36バイト

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

オンラインでお試しください！

または同じ長さ：

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

オンラインでお試しください！

05AB1E、33 26バイト

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

オンラインでお試しください！

説明

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

オクターブ、30バイト

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

オンラインでお試しください！

Casio-Basic、35バイト

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^- 1は、Trigキーボードで入力する必要があります。または、abc> Mathキーボードとは別に^-1を入力できます。fx-CP400のマニュアルによると、単一の2バイト文字（764）です。

関数、コード用の34バイトk、引数として追加する+1バイト。

説明

seq(tan-1(n),n,0,k)tan-1(n)0からkまでのすべての値を生成します。

sumそれらをすべて加算し、それらに対してtan接線関数を実行します。

tExpand その後、それらを単一の分数に変換します。

ジュリア0.6.0 40バイト

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

それは質問の簡単な実装です。合理化の精度は奇妙な場合もありますが、99％で正常に機能します。