n×nの格子があるとしましょう。次に、ラティスに線を引くことにより、ラティスを2つのセクションに分割できます。ラインの片側にあるすべてが1つのセットにあり、他のすべてが別のセットにあります。

この方法でラティスを分割する方法はいくつありますか？

たとえば、2×2の格子を考えてみましょう。

. .
. .

次のように、ラティスを半分に分割する2つのパーティションを作成できます。

× ×    × o
o o    × o

各コーナーを分割することもできます。

× o    o ×    o o    o o
o o    o o    × o    o ×

最後に、格子を完全になくすことで、すべてのポイントを1つのパーティションに配置できます。

× ×
× ×

これにより、合計7つのパーティションが作成されます。次のパーティションは単一の直線では作成できないため、有効ではないことに注意してください。

× o
o ×

これは3×3の格子です

. . .
. . .
. . .

純粋に水平または垂直のパーティションが4つあります

× × ×    × × ×    × o o    × × o
× × ×    o o o    × o o    × × o
o o o    o o o    × o o    × × o

4つのコーナーパーティションがあります

× o o    o o ×    o o o    o o o    
o o o    o o o    o o o    o o o
o o o    o o o    o o ×    × o o

4つの大きいコーナーパーティションがあります

× × o    o × ×    o o o    o o o
× o o    o o ×    o o ×    × o o
o o o    o o o    o × ×    × × o

部分的なコーナーの8つのパーティションがあります

× × o    o × ×    o o ×    o o o    o o o    o o o    o o o    × o o
o o o    o o o    o o ×    o o ×    o o o    o o o    × o o    × o o
o o o    o o o    o o o    o o ×    o × ×    × × o    × o o    o o o

8騎士の移動パーティションがあります

× × o    o × ×    × × ×    o o o    o o ×    × o o    o o o    × × ×
× o o    o o ×    o o ×    o o ×    o o ×    × o o    × o o    × o o
× o o    o o ×    o o o    × × ×    o × ×    × × o    × × ×    o o o

そして、1つのパーティション全体があります

× × ×
× × ×
× × ×

合計で29パーティションになります。

仕事

数値nを入力として、n×nラティスのこの方法で作成できるパーティションの数を出力します。

これはコードゴルフの質問なので、回答はバイト単位でスコアリングされ、バイト数が少ないほど優れています。

テストケース

OEISの最初の34の礼儀は次のとおりです。

1, 7, 29, 87, 201, 419, 749, 1283, 2041, 3107, 4493, 6395, 8745, 11823, 15557, 20075, 25457, 32087, 39725, 48935, 59457, 71555, 85253, 101251, 119041, 139351, 161933, 187255, 215137, 246691, 280917, 319347, 361329, 407303

OEIS A114043

JavaScript（ES6）、113 111バイト

guest44851のおかげで2バイト節約

0インデックス。

n=>[...Array(n)].map((_,i,a)=>a.map((_,j)=>x+=(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a<2&&(n-i-1)*(n-j))(i+1,++j)),x=n*++n)|x+x+1

OEISで言及された式に基づいて：

V（m、n）= Sum_ {i = 1..m、j = 1..n、gcd（i、j）= 1}（m + 1-i）（n + 1-j）
a（n +1）= 2（n ² + n + V（n、n））+ 1

デモ

let f =

n=>[...Array(n)].map((_,i,a)=>a.map((_,j)=>x+=(g=(a,b)=>b?g(b,a%b):a<2&&(n-i-1)*(n-j))(i+1,++j)),x=n*++n)|x+x+1

for(n = 0; n < 50; n++) {
  console.log('f(' + n + ') = ' + f(n));
}

Python 2、116バイト

lambda n:2*(~-n*n+sum((n-i)*(n-j)*g(i,j)for i in range(1,n)for j in range(1,n)))+1
g=lambda x,y:y and g(y,x%y)or x<2

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ゼリー、14バイト

ạþ`Fgþ`FỊS_²H‘

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説明

ạþ`Fgþ`FỊS_²H‘  Input: integer n
ạþ`             Form the table of absolute differences on [1, 2, ..., n]
   F            Flatten
    gþ`         Form a GCD table on that
       F        Flatten
        Ị       Test if the absolute value of each is <= 1
         S      Sum (Count the number of true's)
          _     Subtract
           ²    Square of n
            H   Halve
             ‘  Increment

Mathematica、59バイト

2Sum[(#-i)(#-j)Boole[i~GCD~j<2],{i,#-1},{j,#-1}]+2#^2-2#+1&

OEISの礼儀（ちょうど質問のように）

-1バイト@ovsから

オンラインでお試しください！

Python 2、90バイト

lambda n:4*n*n-6*n+3+4*sum((n-i)*(n-k/i)for i in range(n)for k in range(i*i)if k/i*k%i==1)