A ベル番号（OEIS A000110は）N標識された（別個の）要素のセットを分割する方法の数です。0番目のベル番号は1として定義されます。

いくつかの例を見てみましょう（パーティションのサブセットとブレースを示すために括弧を使用します）：

1: {1}
2: {[1,2]}, {[1],[2]}
3: {[1,2,3]}, {[1,2],[3]}, {[1,3],[2]}, {[2,3],[1]}, {[1],[2],[3]}

ベル番号を計算するには多くの方法があり、自由に使用できます。1つの方法をここで説明します。

ベル数を計算する最も簡単な方法は、二項係数にパスカルの三角形に似た数三角形を使用することです。ベル番号は、三角形の端に表示されます。1から開始して、三角形の各新しい行は、前の行の最後のエントリを最初のエントリとして、左の隣人と左上の隣人にそれぞれの新しいエントリを設定することによって構築されます。

1
1    2
2    3    5
5    7   10   15
15  20   27   37   52

0インデックスまたは1インデックスを使用できます。0インデックスを使用する場合、入力は3output 5である必要がありますが2、1インデックスを使用する場合は出力する必要があります。

プログラムは、15番目のベル番号まで動作し、を出力する必要があり1382958545ます。理論的には、プログラムはより大きな数を処理できる必要があります（つまり、ソリューションをハードコーディングしないでください）。 編集：三角法によって計算されないため、0（0インデックス付けの場合）または1（1インデックス付けの場合）の入力を処理する必要はありません。

テストケース（0インデックス付けを想定）：

0 ->  1 (OPTIONAL)
1 ->  1 
2 ->  2 
3 ->  5 
4 ->  15 
5 ->  52 
6 ->  203 
7 ->  877 
8 ->  4140 
9 ->  21147 
10 -> 115975 
11 -> 678570 
12 -> 4213597 
13 -> 27644437 
14 -> 190899322 
15 -> 1382958545

ベル番号を直接生成する組み込みの方法（Wolfram言語のBellB [n]など）を使用した回答は、非競争的です。

最短コード（バイト単位）が優先されます。

ゼリー、9バイト

ṖµṀcæ.߀‘

これは式を使用します

n <2のときはいつでも閉じられます。

オンラインでお試しください！

使い方

ṖµṀcæ.߀‘  Main link. Argument: n

Ṗ          Pop; yield A := [1, ..., n-1].
 µ         Begin a new, monadic chain with argument A.
  Ṁ        Maximum; yield n-1.
   c       Combinatons; compute (n-1)C(k) for each k in A.
      ߀   Recursively map the main link over A.
    æ.     Take the dot product of the results to both sides.
        ‘  Increment; add 1 to the result.

JavaScript（ES6）、47バイト

f=(n,a=[b=1])=>n--?f(n,[b,...a.map(e=>b+=e)]):b
f=(n,a=[b=1])=>--n?f(n,[b,...a.map(e=>b+=e)]):b

最初のインデックスは0で、2番目のインデックスは1です。

Haskell、36バイト

head.(iterate(last>>=scanl(+))[1]!!)

三角法を使用し、0、0ベースを正しく処理します。

R、31バイト

sum(gmp::Stirling2.all(scan()))

第2種式のスターリング数を使用し、gmpパッケージでそれらの数を計算します。stdinから読み取り、値をBig Integerとして返します。0で失敗します。1インデックス付き。

Mathematica、24バイト

Sum[k^#/k!,{k,0,∞}]/E&

@Kelly Lowderから-13バイト！

ゼリー、14 12 11バイト

ṫ0;⁸+\
1Ç¡Ḣ

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への動的な入力¡ でJellyの長所を正確に達成できませんでした。Ṫ常に配列を変更し、先頭にアトムがありません（1バイト;@またはreverse- ṭ）。

CJam（19バイト）

Xa{X\{X+:X}%+}qi*0=

オンラインデモ

解剖

Xa         e# Start with an array [1]
{          e# Repeat...
  X\       e#   Put a copy of X under the current row
  {X+:X}%  e#   Map over x in row: push (X+=x)
  +        e#   Prepend that copy of last element of the previous row to get the next row
}
qi*        e# ... input() times
0=         e# Select the first element

MATL、14バイト

:dtEw1Zh1Ze/Yo

入力は0ベースです。オンラインでお試しください！

説明

これは式を使用します

ここで、_p F _q（a ₁、...、a _p ; b ₁、...、b _q ; x）は、一般化された超幾何関数です。

:      % Implictly input n. Push array [1 2 ... n]
d      % Consecutive differences: array [1 ... 1] (n-1 entries)
tE     % Duplicate, multiply by 2: array [2 ... 2] (n-1 entries)
w      % Swap
1      % Push 1
Zh     % Hypergeometric function
1Ze    % Push number e
/      % Divide
Yo     % Round (to prevent numerical precision issues). Implicitly display

Python、42バイト

f=lambda n,k=0:n<1or k*f(n-1,k)+f(n-1,k+1)

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再帰的な式は、n要素をパーティションに配置することから得られます。各要素について、それを配置するかどうかを決定します。

• k選択肢がある既存のパーティションに
• 新しいパーティションを開始し、k将来の要素の選択肢の数を増やします

どちらの方法でもn、配置する要素の残りの数が減ります。そこで、我々は、再帰的な式を持っているf(n,k)=k*f(n-1,k)+f(n-1,k+1)とf(0,k)=1し、f(n,0)n番目のベル数。

Python 2、91バイト

s=lambda n,k:n*k and k*s(n-1,k)+s(n-1,k-1)or n==k
B=lambda n:sum(s(n,k)for k in range(n+1))

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第2種のスターリング数の合計として計算されたB（n）。

MATLAB、128 103バイト

function q(z)
r(1,1)=1;for x=2:z
r(x,1)=r(x-1,x-1);for y=2:x
r(x,y)=r(x,y-1)+r(x-1,y-1);end
end
r(z,z)

かなり自明です。行末でセミコロンを省略すると、結果が出力されます。

Luis Mendoのおかげで25バイト節約されました。

R、46バイト

r=1;for(i in 1:scan())r=cumsum(c(r[i],r));r[1]

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MATL、19 18バイト

1i:"t@q@:qXn*sh]0)

0ベースの入力を使用します。再発関係に基づいて

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オーム、15バイト

2°M^┼ⁿ^!/Σ;αê/≈

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Dobinskiのforumlaを使用します（B（0）yayでも動作します）。

説明

2°M^┼ⁿ^!/Σ;αê/≈
2°        ;     # Push 100
  M             # Do 100 times...
   ^             # Push index of current iteration
    ┼ⁿ           # Take that to the power of the user input
      ^!         # Push index factorial
        /        # Divide
         Σ       # Sum stack together
           αê   # Push e (2.718...)
             /  # Divide
              ≈ # Round to nearest integer (Srsly why doesn't 05AB1E have this???)

Python（79バイト）

B=lambda n,r=[1]:n and B(n-1,[r[-1]+sum(r[:i])for i in range(len(r)+1)])or r[0]

オンラインデモPython 2のですが、Python 3でも機能します。

これにより、ゴルフループの再帰ラムダを使用してエイトケンの三角形が構築されます。

Haskell、35バイト

(%0)
n%k|n<1=1|m<-n-1=k*m%k+m%(k+1)

オンラインでお試しください！

Pythonの回答で式が説明されました。

J、17バイト

0{]_1&({+/\@,])1:

三角形の計算方法を使用します。

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説明

0{]_1&({+/\@,])1:  Input: integer n
               1:  The constant 1
  ]                Identity function, get n
   _1&(       )    Call this verb with a fixed left argument of -1 n times
                   on itself starting with a right argument [1]
             ]       Get right argument
       {             Select at index -1 (the last item)
            ,        Join
        +/\@         Find the cumulative sums
0{                 Select at index 0 (the first item)

Python 3、78バイト

from math import*
f=lambda n:ceil(sum(k**n/e/factorial(k)for k in range(2*n)))

計算のために別のルートを試してみることにしました。これは、0でインデックス付けされたDobinskiの式を使用し、0では機能しません。

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Pythonの3、68 60バイト

三角形の単純な再帰的構築ですが、実際の目的には非常に非効率的です。15番目のベル番号まで計算すると、TIOはタイムアウトしますが、私のマシンでは機能します。

これは1インデックスを使用し、1のTrue代わりに戻ります。

f=lambda r,c=0:r<1or c<1and f(r-1,r-1)or f(r-1,c-1)+f(r,c-1)

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8バイトを節約してくれた@FelipeNardiBatistaに感謝します！

PHP、72バイト

再帰関数1インデックス付き

function f($r,$c=0){return$r?$c?f($r-1,$c-1)+f($r,$c-1):f($r-1,$r-2):1;}

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PHP、86バイト

0インデックス付き

for(;$r++<$argn;)for($c=~0;++$c<$r;)$l=$t[$r][$c]=$c?$l+$t[$r-1][$c-1]:($l?:1);echo$l;

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PHP、89バイト

再帰関数0-indexed

function f($r,$s=NULL){$c=$s??$r-1;return$r>1?$c?f($r-1,$c-1)+f($r,$c-1):f($r-1,$r-2):1;}

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アリス、22バイト

/oi
\1@/t&wq]&w.q,+k2:

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これは、三角形の方法を使用します。n = 0の場合、これは代わりにB（1）を計算します。これはB（0）に便利です。

説明

これは、序数モードで入力を受け取り、それを基数モードで処理し、結果を序数モードで出力するプログラムの標準テンプレートです。A1がテンプレートに追加され、その値が入力の下のスタックに配置されます。

プログラムは、三角形の各行を計算するために、スタックを拡張循環キューとして使用します。1回目以降の各反復では、スタックの下の1つの暗黙的なゼロが明示的なゼロになります。

1     Append 1 to the implicit empty string on top of the stack
i     Get input n
t&w   Repeat outer loop that many times (push return address n-1 times)
q     Get tape position (initially zero)
]     Move right on tape
&w    On iteration k, push this return address k-1 times
      The following inner loop is run once for each entry in the next row
.     Duplicate top of stack (the last number calculated so far)
q,    Move the entry k spaces down to the top of the stack: this is the appropriate entry
      in the previous row, or (usually) an implicit zero if we're in the first column
+     Add these two numbers
k     Return to pushed address: this statement serves as the end of two loops simultaneously
2:    Divide by two: see below
o     Output as string
@     Terminate

最初の反復では、スタックの最上部に1が必要であるにもかかわらず、最初のスタックの深さは事実上0であると想定されます。その結果、1がそれ自体に追加され、三角形全体に2が乗算されます。最終結果を2で除算すると、正しい答えが得られます。

パリ/ GP、36バイト

n->n!*Vec(exp(exp(x+O(x^n++))-1))[n]

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