ゴール

整数n（n > 1）が与えられます。あなたは、出力がどのように多くの整数の順列必要1にnそこから開始され1、最後にn、そして1によって異なる2つの連続した整数を持っていません。

あなたが完全グラフを取る場合は別の方法として、K_nパスのエッジを削除し1-2-3-...-nますからハミルトン路をカウントしなければならない1とn、残りのグラフインチ

例では、有効な順列の数f(n)を取り込んでn出力する関数を使用しますが、提出は関数またはプログラムの場合があります。

例

の場合n = 6、可能な解決策は1-3-5-2-4-6

ただし、1-3-5-2-6-4はで終わらないため、有効なソリューションではありません6。

実際、にはn = 6、2つのソリューションしかありません（1-4-2-5-3-6もう1つです）。

したがってf(6) = 2。

以下のためn = 4に起動のみ順列1と終了で4ある1-2-3-4と1-3-2-4。両方で、2はに隣接し、31だけ異なる連続した整数を与えます。したがってf(4) = 0。

テストケース

f(6) = 2
f(4) = 0
f(8) = 68
f(13) = 4462848

勝利基準

これはコードゴルフで、最短の答えが勝ちです。

MATL、16バイト

qtq:Y@0&Yc!d|qAs

オンラインでお試しください！

入力を超える12と、メモリが不足します。

説明

q      % Implicitly input n. Push n-1
tq     % Duplicate and subtract 1: pushes n-2
:      % Range [1 2 ... n-2]
Y@     % Matrix with all permutations, each in a row
0      % Push 0
&Yc    % Append n-1 and predend 0 to each row
!      % Tranpose
d      % Consecutive differences along each column
|      % Absolute value
q      % Subtract 1
A      % All: true if all values in each column are non-zero
s      % Sum. Implicitly display

Mathematica、58バイト、polynomial（n）time

Abs[Sum[(k-1)Hypergeometric2F1[k,k-#,2,2](#-k)!,{k,#}]-1]&

使い方

順列をブルートフォースで反復するのではなく、包含-除外の原則を使用して組み合わせでカウントします。

Sはすべての順列の集合とする[1、...、n]はσと₁ = 1、σ _N = N、およびSは聞かせて_、私は順列の集合σ∈Sように|σ _I - σ _{I + 1} | = 1.次に、探しているカウントは

| S | - | S ₁ ∪⋯∪S _{のn - 1} | =Σ _{2≤ K ≤ N + 1。1≤ I 2 <⋯< I K - 1 < N}（-1）^{K - 2} | S _iは2 ∩⋯∩S _{I K - 1} |。

さて、| S _{I 2} ∩⋯∩S _{I K - 1} | kと[ i ₁、i ₂、…、i _{k − 1}、i _k ] の連続したインデックスの実行回数jのみに依存します。便宜上、i ₁ = 0とi _k = nを修正します。具体的には、

| S _{I 2} ∩⋯∩S _{I K - 1} | = 2 ^{J - 2}（N - K）] 2≤ J ≤ K ≤ N、
| S _iは2 ∩⋯∩S _{I K - 1} | = 1、j = 1、k = n + 1。

このようなインデックスセットの数[ i ₁、i ₂、…、i _{k − 1}、i _k ]はj回実行されます

（_{K - 1} C _{J - 1}）（_{N - k個の} Cの_{J - 2}）、2≤用J ≤ K ≤ N、
1、のためにJ = 1、K = N + 1。

結果は

（-1）^{のn - 1} +Σ _{2≤ K ≤ N} Σ _{2≤ J ≤ K} （-1）^{K - 2}（_{K 1 -} C _{J - 1}）（_{N - K} C _{J - 2}）2 ^{J - 2}（n − k）！

jの内部合計は、超幾何₂ F ₁関数を使用して記述できます。

（-1）^{のn - 1} +Σ _{2≤ K ≤ N}（-1）^K（K - 1）₂ F ₁（2 - K、K - N ; 2; 2）（N - K）！

絶対値を使用して-1のべき乗をゴルフで解くPfaff変換を適用します。

（-1）^{のn - 1} +Σ _{2≤ K ≤ N}（-1）^N（K - 1）₂ F ₁（K、K - N ; 2; 2）（N - K）！
= | -1 +Σ _{1≤ K ≤ N}（K - 1）₂ F ₁（K、K - N ; 2; 2）（N - K！）|。

デモ

In[1]:= Table[Abs[Sum[(k-1)Hypergeometric2F1[k,k-#,2,2](#-k)!,{k,#}]-1]&[n],{n,50}]

Out[1]= {1, 0, 0, 0, 0, 2, 10, 68, 500, 4174, 38774, 397584, 4462848, 

>    54455754, 717909202, 10171232060, 154142811052, 2488421201446, 

>    42636471916622, 772807552752712, 14774586965277816, 297138592463202402, 

>    6271277634164008170, 138596853553771517492, 3200958202120445923684, 

>    77114612783976599209598, 1934583996316791634828454, 

>    50460687385591722097602304, 1366482059862153751146376304, 

>    38366771565392871446940748410, 1115482364570332601576605376898, 

>    33544252621178275692411892779180, 1042188051349139920383738392594332, 

>    33419576037745472521641814354312790, 

>    1105004411146009553865786545464526206, 

>    37639281863619947475378460886135133496, 

>    1319658179153254337635342434408766065896, 

>    47585390139805782930448514259179162696722, 

>    1763380871412273296449902785237054760438426, 

>    67106516021125545469475040472412706780911268, 

>    2620784212531087457316728120883870079549134420, 

>    104969402113244439880057492782663678669089779118, 

>    4309132147486627708154774750891684285077633835734, 

>    181199144276064794296827392186304334716629346180848, 

>    7800407552443042507640613928796820288452902805286368, 

>    343589595090843265591418718266306051705639884996218154, 

>    15477521503994968035062094274002250590013877419466108978, 

>    712669883315580566495978374316773450341097231239406211100, 

>    33527174671849317156037438120623503416356879769273672584588, 

>    1610762789255012501855846297689494046193178343355755998487686}

ゼリー、17 16 バイト

ṖḊŒ!ð1;;⁹IỊṀðÐḟL

モナドリンク。

オンラインでお試しください！

どうやって？

ṖḊŒ!ð1;;⁹IỊṀðÐḟL - Link: number n
Ṗ                - pop (implicit range build) -> [1,n-1]
 Ḋ               - dequeue -> [2,n-1]
  Œ!             - all permutations of [2,n-1]
    ð       ðÐḟ  - filter discard those entries for which this is truthy:
     1;          -   1 concatenated with the entry
       ;⁹        -   ...concatenated with right (n)
         I       -   incremental differences
          Ị      -   is insignificant (absolute value <=1)
           Ṁ     -   maximum
               L - length (the number of valid arrangements)

Japt、19 18バイト

o2 á è_pU äÉ m²e>1

オンラインでテストしてください！より大きいサイズのテストはお勧めしません10。

説明

o2 á è_  pU äÉ  m²  e>1
o2 á èZ{ZpU ä-1 mp2 e>1}
                          : Implicit: U = input integer
o2                        : Create the range [2..U-1].
   á                      : Generate all permutations of this range.
     èZ{               }  : Check how many permutations Z return a truthy value:
        ZpU               :   Push U to the end of Z.
            ä-1           :   Push 1 to the beginning of Z, then take the difference
                          :   of each pair of items.
                m         :   Map each item X to
                 p2       :     X ** 2. This gives a number greater than 1 unless the
                          :     item is 1 or -1.
                    e>1   :   Return whether every item in this list is greater than 1.
                          :   This returns `true` iff the permutation contains no
                          :   consecutive pairs of numbers.
                          : Implicit: output result of last expression

05AB1E、17バイト

L¦¨œʒ¹1Š)˜¥Ä1å_}g

オンラインでお試しください！

Haskell、76 65バイト

@xnorのおかげで11バイト節約されました。

@ChristiaanWesterbeek Q_recの検索結果の7ページの結果を使用して、

f 1=1
f n|n<6=0
f n=sum$zipWith((*).f)[n-5..][n-4,1,10-2*n,4,n-2]

私は彼らの次の結果haがこれにどのように関係するのか理解していませんが、スピードアップした後（最初にメモ化によって、以前のバージョンを参照し、次に以下のように）、それらの数字を取得します。

上記はで問題ありn=20ませんが、本質的に再帰を行わない方法の例です。これは、n>=6定数メモリのみを必要とする高速バージョン（のみ）です-数字だけが増加し続けなかった場合...

f n=last$foldl(#)[1,0,0,0,0][6..n]
l#n=tail l++[sum$zipWith(*)l[n-4,1,10-2*n,4,n-2]]

それは与える

Prelude> f 50
1610762789255012501855846297689494046193178343355755998487686
Prelude> f 500
659178618863924802757920269977240274180092211041657762693634630044383805576666007245903670780603497370173231423527767109899936008034229541700392144282505597945561328426013937966521561345817045884498867592832897938083071843810602104434376305964577943025310184523643816782047883794585616331928324460394146825636085453532404319881264974005968087265587062691285454120911586459406436421191277596121471930913837355151842093002557978076653884610826296845041929616496533544124347765641367732716560025553179112645454078955409181466212732427071306363820080109636358537270466838558068527692374178581063316309789026101221004745226182671038004326069705775312654329754698423385241664984156235692539255677944294995403233446243315371404887473868003155621849544566385172835597260848972758443874423271017007843907015007416644383573987606586308556317833384896267539628278571497402655322562624217658332870157802254043614726316296058329670971054977099155788604175817828380564156329839201579006169173002756295957371639199917376529472990059986681882194726437566769717959443857298155265292535858523609764515938314672724480762724541633037484152303637096

取得することも問題f 5000ありませんが、結果を貼り付けたくありません...

ちなみに、派手な数学を使用せずに、（超）ブルートフォースを使用しないことは可能です。まず、すべての順列を見る代わりに、部分的な順列を見て、それらがまだ無効でない場合にのみ拡張します。で始まるすべての順列を見るのは無駄1 6 5です。第二に、一部の順列は1 3 5 7、1 5 3 7有効な継続とまったく同じであるため、一緒に処理します。これらのアイデアを使用してn=16 、最大0.3秒で値を計算できました。

Python、125バイト

from itertools import*
lambda n:sum(p[-1]-p[0]==n-1and all(~-abs(x-y)for x,y in zip(p,p[1:]))for p in permutations(range(n)))

Mathematica、66バイト

Count[Permutations@Range@#,x:{1,__,#}/;FreeQ[Differences@x,1|-1]]&

説明

Function最初の引数付き#。

Count[                                                             (* Count the number of *)
      Permutations@                                                (* permutations of *)
                   Range@#,                                        (* the list {1, ..., #} *)
                           x:{1,__,#}                              (* of the form {1, __, #} *)
                                     /;                            (* such that *)
                                             Differences@x,        (* the list of differences of consecutive elements *)
                                       FreeQ[                      (* is free of elements of the form *)
                                                           1|-1    (* 1 or -1 *)
                                                               ]]&

Javascript（ES6）、100 74 72 60バイト

f=n=>n--<6?!n|0:f(n)*--n+4*f(n--)-2*f(n--)*--n+f(n)*++n+f(n)

以下は、@ PeterTaylorのゴルフマスタリーの前のバージョンです

f=n=>n<6?n==1|0:(n-4)*f(n-5)+f(n-4)-2*(n-5)*f(n-3)+4*f(n-2)+(n-2)*f(n-1)

からHaskellソリューションを作成した@ChristianSieversからの回答に感謝 」をグーグルで見つけ論文これも順列しないJavascriptバージョンです。

使用法

for (i=1; i<=20; i++) {
  console.log(i, f(i))
}

1 1 
2 0 
3 0 
4 0 
5 0 
6 2 
7 10 
8 68 
9 500 
10 4174 
11 38774 
12 397584 
13 4462848 
14 54455754 
15 717909202 
16 10171232060 
17 154142811052 
18 2488421201446 
19 42636471916622 
20 772807552752712

Brachylog、26バイト

{⟦₁pLh1&~tLs₂ᶠ{-ȧ>1}ᵐ}ᶜ|∧0

オンラインでお試しください！

説明

{                    }ᶜ       Output = count the number of outputs of:
 ⟦₁pL                           L is a permutation of [1, …, Input]
    Lh1                         The head of L is 1
       &~tL                     The tail of L is the Input
          Ls₂ᶠ                  Find all sublists of length 2 of L
              {    }ᵐ           Map on each sublist:
               -ȧ>1               The elements are separated by strictly more than 1
                       |      Else (no outputs to the count)
                        ∧0    Output = 0

Pythonの3、109の 107 102バイト

q=lambda s,x,n:sum(q(s-{v},v,n)for v in s if(v-x)**2>1)if s else x<n;f=lambda n:q({*range(2,n)},1,n-1)

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関数を1行（@shooqieで提案）にしようとしないことで4バイトを削除absし、正方形に置き換えて別のバイトを削除しました。（Python 3.5以降が必要）

Python 2、136バイト

@ovsのおかげで-10バイト。

lambda n,r=range:sum(x[0]<1and~-n==x[-1]and 2+~any(abs(x[i]-x[i+1])<2for i in r(n-1))for x in permutations(r(n)))
from itertools import*

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Mathematica、134バイト

(s=Permutations@Range[2,#-1];g=Table[Join[Prepend[s[[i]],1],{#}],{i,Length@s}];Length@Select[Union@*Abs@*Differences/@g,FreeQ[#,1]&])&

テストケースn：2〜12

{0、0、0、0、2、10、68、500、4174、38774、397584}

Python 2、105バイト

lambda n:reduce(lambda a,i:a+[i*a[-5]+a[-4]+2*(1-i)*a[-3]+4*a[-2]+(i+2)*a[-1]],range(2,n),[0,1]+4*[0])[n]

オンラインでお試しください！

これは、@ Christiaan Westerbeekによって発見されたPhilippe Flajoletの論文に基づいています。考えられる順列を列挙する私のPython 3ソリューションよりもはるかに高速で2バイト短くなっています。（Python 3では、reduceいらいらすることに移動しましたfunctools。）

numpyのドット積を使用する非常に短いバージョンがありますが、それは非常に急速にオーバーフローし、numpyをインポートする必要があります。しかし、それが価値があるもののために：

lambda n:reduce(lambda a,i:a+[dot([i,1,2-2*i,4,i+2],a[-5:])],range(2,n),[0,1]+4*[0])[n]