原始有限フィールドのフィールドの乗法群の生成元です。つまり、alphain F(q)は、in q−1の単一性の原始thルートである場合、原始要素と呼ばれF(q)ます。これは、のすべての非ゼロ要素を何らかの（正の）整数F(q)として記述できることを意味します。alpha^ii

フィールドのすべての要素がF_{2^k}高々度の多項式として書くことができるk-1のいずれかである係数を持ちます1か0。これは完全なものにするために、あなたのコードも出力する必要がある既約多項式次数のk使用しているフィールドを定義します。

タスクはF_{2^k}、それぞれk = 1 .. 32に選択したプリミティブ要素を順番に出力するコードを書くことです。

出力は、単純kな要素の係数を任意の形式で単純にリストし、k+1さらに既約多項式の要素を別の行にリストする必要があります。k可能であれば、各値の出力を分離してください。

コードは好きなだけ時間がかかりますが、回答を送信する前にコードを最後まで実行する必要があります。

有限フィールドのプリミティブ要素を返す、または要素がプリミティブであるかどうかをテストする組み込み関数またはライブラリ関数を使用することはできません。

例

以下のためにk = 1のみ原始元です1。

以下のためにk = 2、私たちは持っています F_4。4つの要素がある{0, 1, x, x + 1}ため、2つのプリミティブ要素xとがありx + 1ます。したがって、コードは出力できます

1 1
1 1 1

例えば係数として、2行目は既約多項式で、この場合はx^2+x+1係数を持ち1 1 1ます。

パリ/ GP、114バイト

別の質問でのisaacgの回答に触発されました。

for(n=1,32,for(i=1,2^n,if(sumdiv(2^n-1,d,Mod(x,f=Mod(Pol(binary(2*2^n-i)),2))^d==1)==1,print([x,lift(f)]);break)))

オンラインでお試しください！

---

組み込みが許可されている場合：

Pari / GP、61バイト（非競合）

for(i=1,32,print([ffprimroot(ffgen(f=ffinit(2,i))),lift(f)]))

オンラインでお試しください！

Mathematica、127バイト

Do[For[i=2*2^n,PolynomialMod[x^Divisors[2^n-1]+1,i~IntegerDigits~2~FromDigits~x,Modulus->2]~Count~0!=1,i--];Print@{2,i},{n,32}]

説明：

$x$$n$$2^n - 1$$x^{2^n - 1} - 1$$x^i - 1$$i$$2^n - 1$

出力：

$8589934581$$111111111111111111111111111110101$

$$x^{32}+x^{31}+x^{30}+x^{29}+x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+\\x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+\\x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+\\x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$$

{2,3}

{2,7}

{2,13}

{2,25}

{2,61}

{2,115}

{2,253}

{2,501}

{2,1019}

{2,2041}

{2,4073}

{2,8137}

{2,16381}

{2,32743}

{2,65533}

{2,131053}

{2,262127}

{2,524263}

{2,1048531}

{2,2097145}

{2,4194227}

{2,8388589}

{2,16777213}

{2,33554351}

{2,67108849}

{2,134217697}

{2,268435427}

{2,536870805}

{2,1073741801}

{2,2147483533}

{2,4294967287}

{2,8589934581}