定義

グループの定義が既にわかっている場合は、この部分をスキップできます。有限グループ、およびサブグループの。

グループ

抽象代数では、グループはタプル（G、∗）です。ここで、Gは集合であり、∗は関数G×G→Gです。次のようなです。

• 閉包：Gのすべてのx、yについて、x ∗ yはGにもあります（∗が関数G×G→Gであるという事実によって暗示されます）。

• 連想：すべてのためのX、Y、ZにおけるG、（X * Y）* Z = X *（Y * Z） 。

• 同一性：要素が存在するEにおけるGのようにすべてのためのxにおけるG、X * E = X = E * X。

• 逆：毎XにおけるG、要素が存在するYはでGように、X * Y = E = Y * X、E前の箇条書きに記載された同一要素です。

有限グループ

有限群の基である（G、*）G、有限であるすなわち、有限個の要素を有します。

サブグループ

サブグループ （H *）グループの（G、*）があるようであり、Hは、の部分集合であるG（必ずしも適切ではないサブセット）および（H *）、グループ（すなわち、満足4つの基準を超える）です。

例

検討二面体群のD ₃ （G、*）G = {1、A、B、C、D、E}及び*は以下に定義されているが（このようなテーブルが呼び出されケーリーテーブル）：

∗ | 1 ABCDE
-+ ----------------------
1 | 1 ABCDE
A | AB 1月12日
B | B 1 AECD
C | CED 1 BA
D | DCEA 1 B
E | EDCBA 1

このグループでは、IDは1です。また、AとBはながら、互いの逆数である1、C、D、及びEは、の逆数（それぞれ自身の逆数である1がある1の逆、CであるCの逆Dがであり、D、および逆数EはあるE）。

これで、H = {1、A、B}の（H、∗）が（G、∗）のサブグループであることを検証できます。閉鎖については、以下の表を参照してください。

∗ | 1 AB
-+ ----------
1 | 1 AB
A | AB 1
B | B 1 A

どこの要素のすべての可能なペアHの下の*は、内のメンバー与えるHを。

Hの要素はGの要素であるため、結合性はチェックを必要としません。

IDは1です。これは、グループIDと同じでなければなりません。また、グループ内のIDは一意である必要があります。（これを証明できますか？）

逆変換のための逆ていることを確認し、Aがであり、Bのメンバーである、H。Bの逆はAで、これもHのメンバーです。1の逆はそれ自体であり、確認する必要はありません。

仕事

説明

有限グループ（G、∗）が与えられた場合、そのサブグループの数を見つけます。

入力

グループ（G、∗）の場合、サイズn×nの 2D配列を受け取ります。ここで、nはGの要素数です。インデックス0がアイデンティティ要素であると仮定します。2D配列は乗算表を表します。たとえば、上記のグループの場合、次の2D配列を受け取ります。

[[0, 1, 2, 3, 4, 5],
[1, 2, 0, 4, 5, 3],
[2, 0, 1, 5, 3, 4],
[3, 5, 4, 0, 2, 1],
[4, 3, 5, 1, 0, 2],
[5, 4, 3, 2, 1, 0]]

たとえば、あなたが見ることができる3 * 1 = 5理由a[3][1] = 5場合、a上記2次元アレイです。

ノート：

• 1インデックスの2D配列を使用できます。
• IDの行と列は省略できます。
• 適切と思われる他の形式を使用することもできますが、一貫している必要があります。（つまり、最後のインデックスを代わりにIDにしたい場合など）

出力

グループ内のサブグループの数を表す正の数。

たとえば、上のグループの場合、H =のときはいつでも（H、∗）は（G、∗）のサブグループです。

• {1}
• {1、A、B}
• {1、C}
• {1、D}
• {1、E}
• {1、A、B、C、D、E}

したがって、6つのサブグループがあり、この例の出力はになります6。

ヒント

私がリンクした記事を読むことができます。それらの記事には、あなたに役立つかもしれないグループとサブグループに関する定理が含まれています。

得点

これはcode-golfです。最も少ないバイト数で勝ちます。

Mathematica、62 48バイト

Count[Subsets@First@#,x_/;Union@@#[[x,x]]==x]-1&

1インデックスの2D配列を期待する純粋な関数。Count番号s SubsetsのFirstグループ操作の下で閉じている入力アレイの行は。これには空のセットが含まれるため、を減算し1ます。グループ操作で閉じられる有限グループの空でないサブセットは、実際にはサブグループであることに注意してください（定義により、その逆も同様です）。

厳密に言えばx、グループ演算でサブセットが閉じていることを確認せず、乗算テーブルをサブセットに制限し、xの要素が正確に含まれていることを確認しますx。明らかに、これxはグループ操作に関して閉じられていることを意味します。逆に、いずれかのサブグループがx含まれます1ので、x制限された乗算テーブルに現れる要素のサブセットとなり、以降xのグループ操作の下では閉じている、それは等しくなければなりませんx。

Haskell、79バイト

基本的には、ngenisisのMathematicaメソッドの移植版です。（0インデックス配列を使用している場合を除きます。）

cのリストのリストを取り、Int整数を返します。

c g=sum[1|l<-foldr(\r->([id,(r!!0:)]<*>))[[]]g,and[g!!x!!y`elem`l|x<-l,y<-l]]-1

オンラインでお試しください！

Intsには、その乗算を示す行（外部リスト）および列と同じ番号が付けられていると想定されます。したがって、0はIDであるため、最初の列は行のインデックスと同じです。これにより、最初の列のエントリを使用してサブセットを構築できます。

使い方

• c 主な機能です。
• g リストのリストとしてのグループ配列です。
• l要素のサブセットです。サブセットのリストは次のように構成されます。
  • foldr(\r->([id,(r!!0:)]<*>))[[]]gは、の行で関数を折りたたみgます。
  • rの行でありg、その最初（0番目）の要素は、含まれる可能性のある要素（(r!!0:)）または抽出されない要素（）として抽出されidます。
  • <*> この行の選択肢を次の選択肢と組み合わせます。
• and[g!!x!!y`elem`l|x<-l,y<-l]要素の各ペアに対して、lその倍数がであるかどうかをテストしlます。
• sum[1|...]-1 空のサブセットを除いて、テストに合格したサブセットをカウントします。

ゼリー、17 16バイト

ETHproductionsのおかげで1バイト（LR → J）

ị³Z⁸ịFḟ
JŒPÇÐḟL’

JŒPÇÐḟL’  main link. one argument (2D array)
J         [1,2,3,...,length of argument]
 ŒP       power set of ^
    Ðḟ    throw away elements that pass the test...
   Ç      in the helper link
      L   length (number of elements that do not pass)
       ’  decrement (the empty set is still closed under
          multiplication, but it is not a subgroup, as
          the identity element does not exist.)

ị³Z⁸ịFḟ   helper link. one argument (1D indexing array)
ị³        elements at required indices of program input (2D array)
  Z       transpose
   ⁸ị     elements at required indices of ^
     F    flatten
      ḟ   remove elements of ^ that are in the argument given
          if the set is closed under multiplication, this will
          result in an empty set, which is considered falsey.

オンラインでお試しください！（1-インデックス付き）

Python 2、297 215バイト

from itertools import*
T=input()
G=T[0]
print sum(all(T[y][x]in g for x,y in product(g,g))*all(any(T[y][x]==G[0]==T[x][y]for y in g)for x in g)*(G[0]in g)for g in chain(*[combinations(G,n)for n in range(len(G)+1)]))

オンラインで試す

このプログラムはのないサンプルグループで動作しますが、==T[x][y]それが必要であると確信しています。

編集：Gの恒等要素が常に最初であると仮定します。

ゴルフをしていない：

from itertools import*
T=input()
G=T[0]
def f(x,y):return T[y][x]                                           # function
def C(g):return all(f(x,y)in g for x,y in product(g,g))             # closure
def E(g):return[all(f(x,y)==y for y in g)for x in g]                # identity

a=E(G)
e=any(a)
e=G[a.index(1)]if e else-1                                          # e in G

def I(G):return all(any(f(x,y)==e==f(y,x)for y in G)for x in G)     # inverse

#print e
#print C(G),any(E(G)),I(G)

#for g in chain(*[combinations(G,n)for n in range(len(G)+1)]):      # print all subgroups
#   if C(g)and I(g)and e in g:print g

print sum(C(g)*I(g)*(e in g)for g in chain(*[combinations(G,n)for n in range(len(G)+1)]))

Ungolfed TIO

に変更-1することにより、負のグループ要素を無料でサポートできます''。