半素数を因数分解したい。この課題の目標は、をFermatの方法で簡単に因数分解できるように2つの小さな整数とを見つけ、の因子を簡単に差し引くことです。 $N$ $u$ $v$ $uvN$ $N$

タスク

半素数と正の整数与えられた場合、とを次のように定義します。 $N$ $k$ $x$ $y$

バツ = ⌈ \sqrt{k N} ⌉

$x=\lceil\sqrt{kN}\rceil$

y = {バツ}^{2} - k N

$y=x^2-kN$

ステップ＃1- を見つける $k$

まず、が平方数（別名完全平方）になるように、最小値を見つける必要があります。 $k$ $y$

これにより、フェルマーの因数分解法の 1回の反復でを因数分解できます。より具体的には、これはすぐにつながります： $kN$

k N = （ バツ + \sqrt{y} ） \times （ バツ - \sqrt{y} ）

$kN=(x+\sqrt{y})\times(x-\sqrt{y})$

（更新：このシーケンスは現在A316780として公開されています）

ステップ＃2- 因数分解 $k$

次に、次のような2つの正の整数およびを見つける必要があります。 $u$ $v$

あなたは v = k

$uv=k$

c あなたは = バツ + \sqrt{y}

$cu=x+\sqrt{y}$

d v = バツ - \sqrt{y}

$dv=x-\sqrt{y}$

ここで、とはの素因数です。 $c$ $d$ $N$

概要

あなたの仕事は、入力としてを取り、とを任意の順序と妥当な形式で印刷または出力するプログラムまたは関数を書くことです。 $N$ $u$ $v$

例

考えてみましょう $N = 199163$

ステップ1

可能な最小値は、次のようになります。 $k$ $40$

バツ = ⌈ （ \sqrt{40 \times 199163} ） ⌉ = 2823

$x = \lceil(\sqrt{40 \times 199163})\rceil = 2823$

y = 2823^{2} - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^{2}

$y = 2823^2 - 40 \times 199163 = 7969329 - 7966520 = 2809 = 53^2$

k N = (2823 + 53) \times (2823 - 53)

$kN = (2823 + 53) \times (2823 - 53)$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

ステップ2

の正しい因数分解は、 $k$ です。 $k = 4 \times 10$

k N = 2876 \times 2770

$kN = 2876 \times 2770$

k N = (719 \times 4) \times (277 \times 10)

$kN = (719 \times 4) \times (277 \times 10)$

N = 719 \times 277

$N = 719 \times 277$

$[ 4, 10 ]$ $[ 10, 4 ]$

ルール

上記の2つの手順を厳密に適用する必要はありません。正しい値を見つける限り、他の方法を自由に使用できます。 $u$ $v$
$uvN$
入力はセミプライムであることが保証されています。
これはコードゴルフなので、バイト単位の最短回答が勝ちです。
標準的な抜け穴は禁止されています。

テストケース

N          | k    | Output
-----------+------+------------
143        | 1    | [   1,  1 ]
2519       | 19   | [   1, 19 ]
199163     | 40   | [   4, 10 ]
660713     | 1    | [   1,  1 ]
4690243    | 45   | [   9,  5 ]
11755703   | 80   | [  40,  2 ]
35021027   | 287  | [   7, 41 ]
75450611   | 429  | [ 143,  3 ]
806373439  | 176  | [   8, 22 ]
1355814601 | 561  | [  17, 33 ]
3626291857 | 77   | [   7, 11 ]
6149223463 | 255  | [  17, 15 ]
6330897721 | 3256 | [  74, 44 ]

実装例

$f$ $N$ $u$ $v$

$g$ $N$ $u$ $v$ $N$ $O(1)$

コードスニペットを表示

f = N => {
  for(k = 1;; k++) {
    x = Math.ceil(Math.sqrt(k * N));
    y = x * x - k * N;
    ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
    
    if(ySqrt * ySqrt == y) {
      p = x + ySqrt;

      for(u = 1;; u++) {
        if(!(p % u) && !(N % (p / u))) {
          v = k / u;
          return [ u, v ];
        }
      }
    }
  }
}

g = (N, u, v) => {
  x = Math.ceil(Math.sqrt(u * v * N));
  y = x * x - u * v * N;
  ySqrt = Math.round(Math.sqrt(y));
  p = x + ySqrt;
  q = x - ySqrt;
  return [ p / u, q / v ];
}

[
  143, 2519, 199163, 660713, 4690243, 11755703,
  35021027, 75450611, 806373439, 1355814601,
  3626291857, 6149223463, 6330897721
]
.map(N => {
  [u, v] = f(N);
  [c, d] = g(N, u, v);
  console.log(
    'N = ' + N + ', ' +
    'u = ' + u + ', ' +
    'v = ' + v + ', ' +
    'N = ' + c + ' * ' + d
  );
});

スニペットを展開

code-golf number-theory primes

— アーノールド
ソース

入力Nが実際にセミプライムになることが保証されていますか？

— グレッグマーティン

@GregMartinはい、そうです。

— アーナルド

8

Mathematica、 81 79バイト

2バイトを節約してくれたMartin Enderに感謝します！

(c=Ceiling;For[j=0;z=E,c@z>z,p=(x=c@Sqrt[j+=#])+{z=Sqrt[x^2-j],-z}];p/#~GCD~p)&

入力としてセミプライムを取り、正の整数の順序付きペアを返す純粋な関数。For正確な手順は、（使用して質問に記載のループ器具#の代わりに入力するためにn用いて、）x我々は保存するが、そこに定義した通りj = k*nの代わりにk、それ自体z=Sqrt[y]の代わりにy、それ自体。またp={x+z,x-z}、Forループ内で計算し、最終的に1バイトを節約します（7回目の試行のように）。次に、2つの所望の因子である(x+z)/GCD[#,x+z]と(x-z)/GCD[#,x-z]簡潔な発現がどの、p/#~GCD~p順序付けられたペアとして直接計算します。

好奇心：zが整数になるまでループしたい。しかしCeiling、コードですでに使用するので、!IntegerQ@z定義するために2バイトを節約しc=Ceiling（Mathematicaゴルファーが知っているように4バイトのコストがかかります）、それからをテストしc@z>zます。zループを開始できるように、何かに初期化する必要があり、その何かは整数ではない方が良いでしょう。幸いEなことに、簡潔な選択です。

— グレッグ・マーティン
ソース

4

JavaScript（ES7）、86 81バイト

n=>(g=k=>(y=(n*k)**.5+1|0,y+=(y*y-n*k)**.5)%1?g(k+1):n*u++%y?g(k):[--u,k/u])(u=1)

編集：@Arnauldのおかげで4バイトを保存しました。

— ニール
ソース

4

Python 2、127 121 117 111 107 104 101 99バイト

Neilのおかげで-1バイト、ovsのおかげで-3バイト

N=input()
k=u=1;p=m=.5
while p%1:p=1+(k*N)**m//1;p+=(p*p-k*N)**m;k+=1
while N*u%p:u+=1
print~-k/u,u

オンラインでお試しください！

好奇心：

pは.5、ループ条件が最初の反復で真になるように初期化されます。保存する方が短いことに注意してくださいp（x + sqrt(y)がそれぞれを格納するよりも）xとy別々。

— 数学中毒
ソース

x*x代わりにx**2？

— ニール

@Neilはい、もちろんです。ありがとう

— 数学中毒

1

公理、 131 115バイト

v(x)==floor(x^.5)::INT;r(n)==(k:=0;repeat(k:=k+1;x:=1+v(k*n);y:=v(x*x-k*n);x^2-y^2=k*n=>break);[w:=gcd(k,x+y),k/w])

問題を解決する関数は上記のr（n）です。ウンゴルフとテスト

vv(x)==floor(x^.5)::INT    

--(x-y)*(x+y)=k*n
rr(n)==
  k:=0
  repeat
     k:=k+1
     x:=1+vv(k*n)
     y:=vv(x*x-k*n)
     x^2-y^2=k*n=>break
  [w:=gcd(k,x+y),k/w]


(4) -> [[i,r(i)] for i in [143,2519,199163,660713,4690243,11755703]]
   (4)
   [[143,[1,1]], [2519,[1,19]], [199163,[4,10]], [660713,[1,1]],
    [4690243,[9,5]], [11755703,[40,2]]]
                                                      Type: List List Any

— RosLuP
ソース

フェルマーの因数分解ヘルパー

タスク

例

ルール

テストケース

実装例

Mathematica、 81 79バイト

JavaScript（ES7）、86 81バイト

Python 2、127 121 117 111 107 104 101 99バイト

公理、 131 115バイト