チャレンジ

n空でないソート済みリストのアイテムの数を指定すると、i(n)その 順列が辞書式にソートされた場合、その
「Back-To-Front順列」
がすべての順列のリストに存在するインデックスを出力します。

結果は0または1ベースで、どちらか（つまり）iではないことを示しnます。

バックツーフロントの順列

...すべてのアイテムが新しいリストに移動されるまで、前方（左から右）に並べ替えられたリストの後ろ（右）と前（左）を繰り返してアイテムのリストを作成した結果です：

Input being consumed     Output being built
----------------------+----------------------
[1,2,3,4,5,6,7]       |   []
[1,2,3,4,5,6]         |   [7]
  [2,3,4,5,6]         |   [7,1]
  [2,3,4,5]           |   [7,1,6]
    [3,4,5]           |   [7,1,6,2]
    [3,4]             |   [7,1,6,2,5]
      [4]             |   [7,1,6,2,5,3]
       []             |   [7,1,6,2,5,3,4]
----------------------+----------------------
                Result:   [7,1,6,2,5,3,4]

順列インデックス

場合nである7（上記バック・ツー・フロント例として）がある7! = 5040（異なる）アイテムの可能な順列が。

これらのすべての順列の辞書式にソートされたリストの最初の（または必要に応じて0番目の）項目は[1,2,3,4,5,6,7]それ自体になります。
2番目の項目はになります[1,2,3,4,5,7,6]。
最後から2番目の項目はになります[7,6,5,4,3,1,2]。
最終的なアイテムはになります[7,6,5,4,3,2,1]。

リストのどこかにあるのは[7,1,6,2,5,3,4]、Back-To-Front順列です。
実際、インデックス4421（または4420、0ベース）にあります。

（1系）シリーズの最初の100件の用語i(n)を用いて述べn=1ています。

[1, 2, 5, 20, 101, 620, 4421, 35900, 326981, 3301820, 36614981, 442386620, 5784634181, 81393657020, 1226280710981, 19696509177020, 335990918918981, 6066382786809020, 115578717622022981, 2317323290554617020, 48773618881154822981, 1075227108896452857020, 24776789629988523782981, 595671612103250915577020, 14915538431227735068422981, 388375922695377900515577020, 10500493527722974260252422981, 294387851083990886241251577020, 8547374142655711068302364422981, 256705485669535347568006115577020, 7966133168508387470157556764422981, 255164703765185142697060455395577020, 8428152915046701352821133945884422981, 286804646124557439494797475697635577020, 10046343320261587490171853861825564422981, 361946983469639629977827594289009635577020, 13401806107756705416338151987291892764422981, 509620811358844406343669072112782398435577020, 19888261269838598952296612667790114958364422981, 796027021978059135393314656928325779313635577020, 32656499591185747972776747396512425885838364422981, 1372349618161694150570365858847999144050545635577020, 59042913445212141486784766209665998363213966364422981, 2599228661343236626556841044804949891956424561635577020, 117022992204136957935406320450852765172427309198364422981, 5385599167607951991914899108349402127789224443761635577020, 253237642343560228651049456045262577841408407945358364422981, 12160677950192512442211239591328112460680077946732401635577020, 596121186084075048430040923729967264426872753432477838364422981, 29817972015629302995182567242334801579950768815528034161635577020, 1521300781271752977229060449226968409483308951201458077838364422981, 79136874389672125594431576407176798565806196489681819746161635577020, 4195746409670353438703582176982222851124537591877131904925838364422981, 226647950929571027033389160506045358232154026979930809227362161635577020, 12469755402728704898931711687060471601348167024469505953048477838364422981, 698528832402134746955113935776664478135149811856698952734398562161635577020, 39828390672475082008725487969655657656845234984369903192450082717838364422981, 2310732940610403489820749422545419026172017083196773021228249831522161635577020, 136372385605079432248118270297843987319730859689490659519593045108637838364422981, 8184614727136310712028222912925520393434441746671755292929684651300962161635577020, 499395599150088488088828589263699706832570087241364247806476254829684637838364422981, 30970577661237849037564293765687064381179710710016867944356691992991422562161635577020, 1951637737743202215078582414596211073163593979517251760161922907619738331037838364422981, 124935294448140961888354806920565269729701922195027940438639971467594965899362161635577020, 8122715297634329704834815499864930982456556629150409552483483162921360809076637838364422981, 536222223779808734298894424747977821661836507759648464980376643706749720339339362161635577020, 35934888694408876553950964671857486605505798806289876128721251856561212716604532637838364422981, 2444100653742421723047039453897314094441893402549077796242989486161660232995578763362161635577020, 168678351774398889649421299427375524997828651490971291597405051437095619521145068660637838364422981, 11809893318195492906423362422261723211461109491055454565957957813190913963268700251019362161635577020, 838668695249666824614744281817664287077123498629740781320472805575397766414810317446260637838364422981, 60395789681636420036909326103457008453700968286067588202502542158402987220806878956757899362161635577020, 4409719671831047920854347812021594101623099731996837427616577550212019116846376438060145780637838364422981, 326378824480107593305098680409232188044060152088938133742995349285199216584125189021190726539362161635577020, 24482761986915290498641378436184801472882183734481184704052899163370643460988742220422624697460637838364422981, 1861011939679134964489290882424961756757512351644848150968435083798473400034549180897307347526539362161635577020, 143322080088606734669581493203883323226982866872563510695813139604263517949121870899167900513721460637838364422981, 11180959098117691096787939665528162905504766712615688479353149686064571807285078895345918312663622539362161635577020, 883437253980179837588356231874303489164303450066956218734514913541773418886216781638015892528346553460637838364422981, 70686019792283622457223177491312228676420353892298796358374930144685265836593932061030928974752467526539362161635577020, 5726440000955084363422511054086796876735936890839327162387490119571704913857298124195153605274993472953460637838364422981, 469637893700329090478715695935318149767077357177154001454773443957172289821041850488811978203204173646406539362161635577020, 38985601803506257421418755484185292421669426050466292273769584084412579273175587484390779961900566697260473460637838364422981, 3275254532761847009577968823645945995578996860191583194845076448298646552018541276645494943006816186458917446539362161635577020, 278435156905293180685369975402415213484477637470382623210256836304261379607777392174394791509334107831816205753460637838364422981, 23948660226767439201080153228038844501800392914958999127628507660415900870134672884615069843391985357739844389446539362161635577020, 2083808638152760278012520365471350750727983345146397213195344003554238214857458501196068353393022808146994627392953460637838364422981, 183398833619245678836784325280074933629492985604252949471226236983335323969170740817904072891411479020269638889458246539362161635577020, 16324556327289215402380134937173544376210173250892288905442294470849835710409338998582008497896189183708810744110298553460637838364422981, 1469391408154472281907142598683652193509359788033796478036774569234135557383656537547410122872987870461908423725867813446539362161635577020, 133730761359685823973259426160811489954077506688872881313704960027919535214176338228137873831877461557289259913042140378553460637838364422981, 12304683293281621431502064899712741587623914209186541475526534622910218175769343180214908250005163885795818227069614613285446539362161635577020, 1144467823788359953327703097406527694627129315367226993710615746590336588945697972034988381266839681418043178062317463477466553460637838364422981, 107592147841885948074037582159380073309559674264815645313786758687454863280472229658194120833316575777142822473140067877053221446539362161635577020, 10222386340397173314525664517235347022088186665852557223898463812546839124314230895213571254552107892786139414391086539473362138553460637838364422981, 981455548530552515895045737024658454136095461985415238220477591025945383684777269092475904782448641089288955324574667766166512421446539362161635577020, 95211304133951567337433380212539040258207718457187560919883999728307800228797098229713403270806624010171995234355103499880901319898553460637838364422981, 9331679144749296178288752362844703433551486045621764102574354777566399269794426700653262755936922495813433855354253356929531746247461446539362161635577020, 923930475294692230638703636199822301473608196598194450583355284174609600662504729388761377005628260366723545352917984225582320362921178553460637838364422981, 92402284968649460451060535220066878189242360067783427018009608611042990392567410879552702599150890025886974375474305774025602890553942821446539362161635577020

（i(0)=i(1)=1が、チャレンジ自体は空でないリストのみを処理します）

投稿の時点では、このシーケンスはOEISに表示されませんでした。

出力は理論的に機能する必要があるだけです（整数のオーバーフローやリソース不足などを心配しないでください）。

これはcode-golfであるため、バイト単位の最短回答が優先されます。

ただし、コードゴルフ言語に惑わされないでください-良い解決策も賛成票を得るべきです！

Haskell、32バイト

f 1=1
f n=product[1..n]+1-f(n-1)

オンラインでお試しください！

関係を使用しf(n-1) + f(n) = n! + 1ます。シーケンスの隣接メンバーは、階乗に1を加えます：

1,   2,   5,   20,   101,   620,   4421, ...
  3     7    25    121    721   5041  ...
 2!+1  3!+1  4!+1  5!+1   6!+1  7!+1 

ゼリー、6バイト

R!ḅ-_Ḃ

0ベース。オンラインでお試しください！

@Neil のES6回答に大きく影響されました。

説明

R!ḅ-_Ḃ
R       Create the range [1..N].
 !      Take the factorial of each.
  ḅ-    Convert from base -1; that is, sum, but alternate between adding and subtracting.
    _Ḃ  Subtract N%2.

しかし、どのように？

ES6の回答で、各数値を計算するための関連するテクニックを説明しています。式は次のとおりです。

(n-1)(n-1)! + (n-3)(n-3)! + (n-5)(n-5)! + ...

@NeilのES6回答を読んでいると、気づきました。この式は次のように簡略化できます。

(n-1)(n-1)!        + (n-3)(n-3)!            + (n-5)(n-5)!            + ...
(n(n-1!) - (n-1)!) + ((n-2)(n-3!) - (n-3)!) + ((n-4)(n-5)! - (n-5)!) + ...
(n!      - (n-1)!) + ((n-2)!      - (n-3)!) + ((n-4)!      - (n-5)!) + ...
n! - (n-1)! + (n-2)! - (n-3)! + (n-4)! - (n-5)! + ...

JellyコードR!ḅ-はこの式を計算します。ただし、の各奇数値の最後にnは余分な値があり+ 0!ますn%2。

JavaScript（ES6）、38バイト

f=(n,x=n%2,y=1)=>n-x&&f(n,++x,y*=-x)+y

0インデックス付き。（なぜ機能するのか実際にはわからないため、説明はありません。ごめんなさい。）

JavaScript（ES6）、44バイト

f=(x,n=0,g=1)=>x-n&&(x-n&1)*g*n+f(x,++n,g*n)

0ベース。これは、数値が次のパターンで階乗の合計として表現できるという事実を利用しています。

       1   2   6  24 120 720
   0:                       
   1:  1
   4:      2
  19:  1       3
 100:      2       4
 619:  1       3       5
4420:      2       4       6

どうして？順列はうまくで表すことができる階乗基地：取るN ^番目の桁に残りリスト対応の項目をNその位置で。最後のアイテム（最上位の数字）と最初のアイテム（ゼロ）を交互に使用します。したがって、階乗ベースでは、これらの数値は次のように表すことができます。

0
10
200
3010
40200
503010
6040200

等々。

MATL、17バイト

:t"&0)P]vG:Y@!=Af

出力は1から始まります。

オンラインでお試しください！

説明

コードは定義を適用します。前後の順列を構築し、すべての順列を生成し、前者と後者のすべてを比較し、一致のインデックスを出力します。

:        % Input n implicitly. Push [1 2 ... n]
t        % Duplicate
"        % For each: do the following n times
  &0)    %   Push the last element and then the rest of the array
  P      %   Reverse
]        % End
v        % Concatenate the whole stack vertically. This produces into a column vector
         % with the back-to-front permutation
G:       % Push [1 2 ... n] again
Y@!      % Permutations of [1 2 ... n]. Gives a matrix. Each column is a permutation
=        % Test for equality, element-wise with broadcast
A        % All: true for columns that have all entries equal to true. Gives a row vector
f        % Find: index of non-zero value. Implicitly display

ゼリー、9バイト

RU;¥/ỤUŒ¿

オンラインでお試しください！

ハァッ、私はこれをFGITWしようとしていた。@Dennisが最初に投稿されましたが、これは短いです。

説明

RU;¥/ỤUŒ¿
R           List of numbers from 1 to {the input}
   ¥/       Left-fold the list by
 U;         prepending the reverse of the list to the next element
     Ụ      Invert permutation
      U     Reverse the list
       Œ¿   Find index of permutation

持っている Œ¿組み込みとしては、ここで順列をそのインデックスに変換できるため、かなり便利です。したがって、他の7バイトが、前後の順列の構築を担当します。

これを行う方法は、次のパターンを使用して、最初に別の順列を構築することです。

1
1 2
2 1 3
3 1 2 4
4 2 1 3 5
5 3 1 2 4 6
6 4 2 1 3 5 7

毎回、これまでのリストを逆にして、次の整数を追加します。それは前後の順列を生成しませんが、明らかに関連しています。

取得しようとしている順列はです7 1 6 2 5 3 4。これはどのように関係していますか？順列の7番目の位置にある要素は7です。最初の位置の要素は6です。6番目の位置の要素は5です。2番目の位置の要素は4などです。言い換えれば、それは私たちが持っている順列の逆です（要素の順序は逆です）。そのため、reduceの後、置換をỤ逆にして、結果を逆にして、U必要な前後の置換を取得できます。

急いで書かれており、少なくとも何かを再配置する可能性があるように感じているため、ここに節約がある可能性があります。ただし、1バイト全体を保存できるかどうかはわかりません。

ゼリー、10 8バイト

RṚżRFQŒ¿

@ ais523が2バイトのゴルフをオフにしてくれて、驚異的なスピードアップをありがとう！

オンラインでお試しください！

使い方

RṚżRFQŒ¿  Main link. Argument: n

R         Range; yield [1, ..., n].
 Ṛ        Reverse; yield [n, ..., 1].
   R      Range; yield [1, ..., n] again.
  ż       Zip; yield [[n, 1], ..., [1, n]].
    F     Flatten.
     Q    Unique; deduplicate the results.
      Œ¿  Compute the permutation index of [n, 1, n-1, 2, ...].

PHP、86バイト

for($i=$argv[1];$i>0;$i--)$o+=gmp_strval(gmp_fact($i))*($i%2==$argv[1]%2?1:-1);echo$o;

GNU Multiple Precision拡張機能を使用します。

この関数は、次i(n)と等しいという事実を利用しますn! - (n-1)! + (n-2)! - (n-3)! etc

壊す

for($i=$argv[1];$i>0;$i--) {        // Simple decreasing for loop (added { for readability)
    $o+=                            //  increment output with
        gmp_strval(gmp_fact($i))    //      $i!
    * ($i%2 == $argv[1]%2 ? 1 : -1) //      multiplied by -1 if ($i is odd when the input is even) or (if $i is even when the input is odd), else by 1
    ;
}
echo $o;                            // echoes output

バッチ、79バイト

@set/ax=%1%%2-1,y=z=1
@for /l %%i in (-%1,1,%x%)do @set/az+=y*=x-=1
@echo %z%

0インデックス付き。

Pyth、12バイト

x.pQ<Q.i_UQU

0インデックス付き。

説明

x.pQ<Q.i_UQU
      .i       Interleave
        _UQUQ  Reversed range and range
    <Q         Take first n
x              Find the index
 .pQ           In the list of permutations