負でない整数 $n ,$ 、 $n^{\text{th}}$ オイラー数（OEIS A122045）を出力します。

奇数インデックスのオイラー数はすべて $0 .$ 偶数インデックスオイラー数は、下記式（で計算することができる $i \equiv \sqrt{-1}$ は虚数単位を指します）：

E_{2 n} = i \sum_{k = 1}^{2 n + 1} \sum_{j = 0}^{k} (\begin{matrix} k \\ j \end{matrix}) \frac{{(- 1)}^{j} {(k - 2 j)}^{2 n + 1}}{2^{k} i^{k} k} .

$E_{2n} = i \sum_{k=1}^{2n+1}{ \sum_{j=0}^{k}{ \left(\begin{array}{c}k \\ j \end{array}\right) \frac{{\left(-1\right)}^{j} {\left(k-2j\right)}^{2n+1}}{2^k i^k k} } } \,.$

ルール

$n$ は、 $n^{\text{th}}$ オイラー数が言語の表現可能な整数の範囲内での整数になります。

テストケース

0 -> 1
1 -> 0
2 -> -1
3 -> 0
6 -> -61
10 -> -50521
20 -> 370371188237525

— メゴ
ソース

1

@donbrightあなたは括弧のセット不足している：wolframalpha.com/input/... -それとを、2つの加数はともに-i/2歩留まり、-i追加したとき。それにi合計の外側を掛けると、が得られ1ます。

— メゴ

18

Mathematica、6バイト

EulerE

-咳-

— グレッグ・マーティン
ソース

9

タイトルを見たとき、私はすぐに「確かにMathematicaにはこれが組み込まれているに違いない」と思った。

— -HyperNeutrino

12

それはほとんどすべてのタイトルに当てはまります... 画像内でヤギを検出すること

— ルイス・メンドー

GoatImageQ過小評価

— グレッグマーティン

1

これを説明できますか？編集： これは冗談でした。

— 魔法のタコUr

13

J、10バイト

(1%6&o.)t:

オンラインでお試しください！

指数生成関数sech（x）の定義を使用します。

— マイル
ソース

Jはシンボリック分析を行って生成関数を取得しますか？n = 30の場合でも、浮動小数点エラーは発生しません。

— orlp

@orlp内部で何をするのかわかりませんが、J は動詞のサブセットのテイラー級数を知っています。これらの動詞の組み合わせを使用して定義できるすべての関数は、gfとegfで有効であるt.かt:、gfとegfです。

— マイル

12

パリ/ GP、32バイト

n->n!*Vec(1/cosh(x+O(x^n++)))[n]

オンラインでお試しください！

— アレフアルファ
ソース

11

メープル、5バイト

euler

組み込みの万歳？

— マイル
ソース

4

数学が数学の問題に対して冗長すぎる場合は、それを愛します

— ...-theonlygusti

11

マキシマ、5バイト/ 42バイト

Maximaには以下が組み込まれています：

euler

オンラインでお試しください！

次のソリューションでは、上記の組み込みは不要で、オイラー番号を最初に定義した式を使用しています。

私たちは基本的に、1/cosh(t) = sech(t)（までn!）の級数展開のn番目の係数を探しています

f(n):=coeff(taylor(sech(x),x,0,n)*n!,x,n);

オンラインでお試しください！

— フレア
ソース

9

Mathematica、組み込みなし、18バイト

使用rahnema1 @の式：

2Im@PolyLog[-#,I]&

21バイト：

Sech@x~D~{x,#}/.x->0&

— アレフアルファ
ソース

5

Python 2.7、46バイト

scipyを使用します。

from scipy.special import*
lambda n:euler(n)[n]

— ハッシュコード55
ソース

5

Perl 6、78バイト

{(->*@E {1-sum @E».&{$_*2**(@E-1-$++)*[*](@E-$++^..@E)/[*] 1..$++}}...*)[$_]}

ここから反復式を使用します：

E_{n} = 1 - \sum_{k = 0}^{n - 1} [E_{k} \cdot 2^{（ n - 1 - k ）} \cdot （ \binom{n}{k} ）]

$E_n = 1 - \sum_{k=0}^{n-1} \left[ E_k \cdot 2^{(n-1-k)} \cdot \binom{n}{k} \right]$

使い方

一般的な構造は、繰り返し呼び出され、変数内のシーケンスの以前の値をすべて取得する式によって無限シーケンスが生成されるラムダであり、@Eそのシーケンスはラムダ引数でインデックス付けされます：

{ ( -> *@E {    } ... * )[$_] }

シーケンスの各ステップで呼び出される式は次のとおりです。

1 - sum @E».&{              # 1 - ∑
    $_                      # Eₙ
    * 2**(@E - 1 - $++)     # 2ⁿ⁻ˡ⁻ᵏ
    * [*](@E - $++ ^.. @E)  # (n-k-1)·...·(n-1)·n
    / [*] 1..$++            # 1·2·...·k
}

— sml
ソース

4

最大値、29バイト

z(n):=2*imagpart(li[-n](%i));

オンラインでお試しください！

-n引数[1]を持つ次数の多対数関数の虚数部の2倍i

— rahnema1
ソース

4

JavaScript（Node.js）、46 45バイト

F=(a,b=a)=>a?(b+~a)*F(--a,b-2)+F(a,b)*++b:+!b

オンラインでお試しください！

すべてに有効 $E_n$ 値（必要に応じて）、ただし $F(n, i)$ 一般的に（出力 $-F(n,i)$ 奇妙な $n$ s。）コードを修正して、出力を $F'(n,i)=(-1)^nF(n,i)$ どこで $F$ 以下のように定義されます。具体的には、 $F'$ は

F^{'} （ n 、 私 ） = （ 私 - n - 1 ） F^{'} （ n - 1 、 私 - 2 ） + （ 私 + 1 ） F^{'} （ n - 1 、 私 ）

$F'(n,i)=(i-n-1)F'(n-1,i-2)+(i+1)F'(n-1,i)$

JavaScript（Node.js）、70 46バイト

F=(a,b=a)=>a?-F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b

オンラインでお試しください！

JavaScriptの答えがまだ見つからないことに驚いたので、試してみます。

コードは基本的な数学のみで構成されていますが、コードの背後にある数学には微積分が必要です。再帰公式は、の導関数の展開から導出されます $\mathrm{sech}(x)$ 異なる注文の。

説明

ここでは、便利な表記法を使用します。させて $T^n:=\mathrm{tanh}^n(t)$ そして $S^n:=\mathrm{sech}^n(t)$ 。それから

\frac{d^{n} S}{d t^{n}} = \sum_{私 = 0}^{n} F （ n 、 私 ） T^{n - 私} S^{私 + 1}

$\frac{d^nS}{dt^n}=\sum_{i=0}^nF(n,i)T^{n-i}S^{i+1}$

以来 $\frac{dT}{dt}=S^2$ そして $\frac{dS}{dt}=-TS$ 、我々はそれを推測することができます

\begin{aligned} \frac{d}{d t} （ T^{a} S^{b} ） & = a T^{a - 1} （ S^{2} ） （ S^{b} ） + b S^{b - 1} （ - T S ） （ T^{a} ） \\ = a T^{a - 1} S^{b + 2} - b T^{a + 1} S^{b} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d}{dt}(T^aS^b)&=aT^{a-1}(S^2)(S^b)+bS^{b-1}(-TS)(T^a) \\ &=aT^{a-1}S^{b+2}-bT^{a+1}S^b \end{aligned} \end{equation}$

させて $b=i+1$ そして $a=n-i$ 、上記の関係を次のように書き換えることができます

\begin{aligned} \frac{d}{d t} （ T^{n - 私} S^{私 + 1} ） & = （ n - 私 ） T^{n - 私 - 1} S^{私 + 3} - （ 私 + 1 ） T^{n - 私 + 1} S^{私 + 1} \\ = （ n - 私 ） T^{（ n + 1 ） - （ 私 + 2 ）} S^{（ 私 + 2 ） + 1} - （ 私 + 1 ） T^{（ n + 1 ） - 私} S^{私 + 1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \frac{d}{dt}(T^{n-i}S^{i+1})&=(n-i)T^{n-i-1}S^{i+3}-(i+1)T^{n-i+1}S^{i+1}\\ &=(n-i)T^{(n+1)-(i+2)}S^{(i+2)+1}-(i+1)T^{(n+1)-i}S^{i+1} \end{aligned} \end{equation}$

あれは、 $F(n,i)$ 両方に貢献します $F(n+1,i+2)$ そして $F(n+1,i)$ 。その結果、私たちは書くことができます $F(n,i)$ の面では $F(n-1,i-2)$ そして $F(n-1,i)$ ：

F （ n 、 私 ） = （ n - 私 + 1 ） F （ n - 1 、 私 - 2 ） - （ 私 + 1 ） F （ n - 1 、 私 ）

$F(n,i)=(n-i+1)F(n-1,i-2)-(i+1)F(n-1,i)$

初期状態で $F(0,0)=1$ そして $F(0,i)=0$ どこで $i\neq 0$ 。

コードの関連部分はa?-F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b、上記の繰り返し式を使用して正確に計算しています。内訳は次のとおりです。

-F(--a,b)                // -F(n-1, i)                  [ a = n-1, b = i   ]
*++b                     // *(i+1)                      [ a = n-1, b = i+1 ]
+F(a,b-=3)               // +F(n-1, i-2)                [ a = n-1, b = i-2 ]
*(a-b)                   // *((n-1)-(i-2))              [ a = n-1, b = i-2 ]
                         // which is equivalent to *(n-i+1)

以来 $T(0)=0$ そして $S(0)=1$ 、 $E_n$ の係数に等しい $S^{n+1}$ の拡大 $\frac{d^nS}{dt^n}$ 、 $F(n,n)$ 。

その枝のために $F(0,0)$ 決して到達できないため、繰り返しは常に0で終了するため、 $F(n,i)=0$ どこで $i<0$ または $i$ 奇妙です。特に後者は、 $E_n=0$ すべての奇妙な $n$ s。でも $i$ sよりも厳密に大きい $n$ 、再発により最終的には $0\leq i\leq n$ ある時点で発生しますが、そのステップの前に、 $i=n+1$ 、および繰り返し式は、その時点で値が0でなければならないことを示しています（最初の項が乗算されるため $n-i+1=n-(n+1)+1=0$ 、および2番目の項は、の「三角形」から遠い $0\leq i\leq n$ ）。結果として、 $F(n,i)=0$ どこで $i > n$ 。これで、アルゴリズムの妥当性の証明が完了しました。

拡張機能

コードを変更して、さらに3つの関連シーケンスを計算できます。

正接数（46バイト）

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!~b

Secant Numbers（45バイト）

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):+!b

オイラージグザグ数（48バイト）

F=(a,b=a)=>a?F(--a,b)*++b+F(a,b-=3)*(a-b):!b+!~b

— 朝琴しえる
ソース

3

Befunge、115バイト

これは、単に最初の16のオイラー数（すなわちEのハードコードされた一連のサポート₀ Eまで₁₅）。それを超えるものは、とにかく32ビットのBefunge値に収まりません。

&:2%v
v@.0_2/:
_1.@v:-1
v:-1_1-.@
_5.@v:-1
v:-1_"="-.@
_"}$#"*+.@v:-1
8**-.@v:-1_"'PO"
"0h;"3_"A+y^"9*+**.@.-*8+*:*

オンラインでお試しください！

チャレンジで提供された式の完全な実装も行いましたが、サイズはほぼ2倍であり、TIOの最初の16個の値に制限されています（64ビットインタープリターであっても）。

<v0p00+1&
v>1:>10p\00:>20p\>010g20g2*-00g1>-:30pv>\:
_$12 0g2%2*-*10g20g110g20g-240pv^1g03:_^*
>-#1:_!>\#<:#*_$40g:1-40p!#v_*\>0\0
@.$_^#`g00:<|!`g01::+1\+*/\<
+4%1-*/+\2+^>$$10g::2>\#<1#*-#2:#\_$*\1

オンラインでお試しください！

このアルゴリズムの問題は、系列の中間値が合計よりもはるかに早くオーバーフローすることです。32ビットにそれが最初の10の値を扱うことができるインタプリタ（すなわち、E ₀ Eに₉）。ただし、bignumを使用するインタープリターは、PyFungeとBefungeeの両方が少なくともE ₃₀まで処理できます。

— ジェームズ・ホルダーネス
ソース

1

Python2（シンボリック有理数）、153バイト

from sympy import *
t=n+2 
print n,re(Add(*map(lambda (k,j):I**(k-2*j-1)*(k-2*j)**(n+1)*binomial(k,j)/(k*2**k),[(c/t+1,c%t) for c in range(0,t**2-t)])))

これは非常に最適ではありませんが、基本的なsympy関数を使用して浮動小数点を回避しようとしています。上記の元の式をまっすぐに設定してくれてありがとう@Mego。Pythonでのゴルフのヒントから@xnorの「2つのループを組み合わせる」ようなものを使用しようとしました。

— 明るくない
ソース

1

あなたは行うことができますimport*バイトを保存するために（間にスペースを削除します）。また、何らかの方法で数値を入力として受け取る必要があります（入力が変数にあると想定するスニペットは許可されません）。

— FlipTack

1

CJam（34バイト）

{1a{_W%_,,.*0+(+W%\_,,:~.*.+}@*W=}

E（0）〜E（19）を印刷するオンラインデモ。これは匿名ブロック（関数）です。

実装では、赤sしえるの再発を借用し、よりCJamフレンドリーなスタイルに書き換え、一度に行全体を操作します。

解剖

{           e# Define a block
  1a        e#   Start with row 0: [1]
  {         e#   Loop...
    _W%     e#     Take a copy and reverse it
    _,,.*   e#     Multiply each element by its position
    0+(+    e#     Pop the 0 from the start and add two 0s to the end
    W%      e#     Reverse again, giving [0 0 (i-1)a_0 (i-2)a_1 ... a_{i-2}]
    \       e#     Go back to the other copy
    _,,:~.* e#     Multiply each element by -1 ... -i
    .+      e#     Add the two arrays
  }         e#
  @*        e#   Bring the input to the top to control the loop count
  W=        e#   Take the last element
}

— ピーター・テイラー
ソース

1

Wolfram言語（Mathematica）、47 46バイト

特別な機能を使用しない場合：

e@0=1;e@n_:=-n!Sum[e[n-k]/k!/(n-k)!,{k,2,n,2}]

オンラインでお試しください！

— ローマン
ソース

0

公理、5バイト

euler

OEIS A122045の場合; これは57バイトです

g(n:NNI):INT==factorial(n)*coefficient(taylor(sech(x)),n)

テストコードと結果

(102) -> [[i,g(i)] for i in [0,1,2,3,6,10,20]]
   (102)
   [[0,1],[1,0],[2,- 1],[3,0],[6,- 61],[10,- 50521],[20,370371188237525]]

(103) -> [[i,euler(i)] for i in [0,1,2,3,6,10,20]]
   (103)
   [[0,1],[1,0],[2,- 1],[3,0],[6,- 61],[10,- 50521],[20,370371188237525]]

— RosLuP
ソース

0

APL（NARS）、42文字、84バイト

E←{0≥w←⍵:1⋄1-+/{(⍵!w)×(2*w-1+⍵)×E⍵}¨¯1+⍳⍵}

「smls」から示された式に従って、テストします。

最後のケースは、20.0 float 64ビットと思うので20ではなく20x（大きな合理的20/1）を入力するため、結果として1つの大きな合理的を返します...

  E 20x
370371188237525

すぐに0を返すと、より速くなりますが、もう少し長くなります（50文字）。

  E←{0≥w←⍵:1⋄0≠2∣w:0⋄1-+/{(⍵!w)×(2*w-1+⍵)×E⍵}¨¯1+⍳⍵}
  E 30x
¯441543893249023104553682821

問題の定義を使用すると、より高速になります（そして、もう少し長い75文字になります）。

  f←{0≥⍵:1⋄0≠2∣⍵:0⋄0J1×+/{+/⍵{⍺÷⍨(0J2*-⍺)×(⍵!⍺)×(¯1*⍵)×(⍺-2×⍵)*n}¨0..⍵}¨⍳n←1+⍵}
  f 0
1
  f 1
0
  f 3
0
  f 6
¯61J0 
  f 10
¯50521J¯8.890242766E¯9 
  f 10x
¯50521J0 
  f 20x
370371188237525J0 
  f 30x
¯441543893249023104553682821J0 
  f 40x
14851150718114980017877156781405826684425J0 
  f 400x
290652112822334583927483864434329346014178100708615375725038705263971249271772421890927613982905400870578615922728
  107805634246727371465484012302031163270328101126797841939707163099497536820702479746686714267778811263343861
  344990648676537202541289333151841575657340742634189439612727396128265918519683720901279100496205972446809988
  880945212776281115581267184426274778988681851866851641727953206090552901049158520028722201942987653512716826
  524150450130141785716436856286094614730637618087804268356432570627536028770886829651448516666994497921751407
  121752827492669601130599340120509192817404674513170334607613808215971646794552204048850269569900253391449524
  735072587185797183507854751762384660697046224773187826603393443429017928197076520780169871299768968112010396
  81980247383801787585348828625J0

上記の結果は、実数部のみを持つ1つの複素数です。

— RosLuP
ソース

オイラー数を出力する

ルール

テストケース

Mathematica、6バイト

J、10バイト

パリ/ GP、32バイト

メープル、5バイト

マキシマ、5バイト/ 42バイト

Mathematica、組み込みなし、18バイト

Python 2.7、46バイト

Perl 6、78バイト

使い方

最大値、29バイト

JavaScript（Node.js）、46 45バイト

JavaScript（Node.js）、70 46バイト

説明

拡張機能

Befunge、115バイト

Python2（シンボリック有理数）、153バイト

CJam（34バイト）

解剖

Wolfram言語（Mathematica）、47 46バイト

公理、5バイト

APL（NARS）、42文字、84バイト