このInfinite Seriesのビデオに触発されました。

前書き

円周率は、円の直径に対する円周の比率として定義されます。しかし、円はどのように定義されますか？通常、円は中心点までの距離が一定の点として定義されます（中心がにあると仮定します(0,0)）。次の質問は、距離をどのように定義するかです。以下では、距離の異なる概念（Lp-norms によって誘導される）を検討しています。

ノルム（= 長さを測定するもの）が与えられると、次のように距離（= 2点間の距離）を簡単に構築できます。

dist(A,B) := norm (A-B)

ユークリッドノルムは次の式で与えられます。

norm((x,y)) = (x^2 + y^2)^(1/2)

これはL2-normとも呼ばれます。他のLpノルムは2、上記の式の1から無限大までの他の値で置き換えることにより作成されます。

norm_p((x,y)) = (|x|^p + |y|^p)^(1/p)

これらの異なる基準の単位円は、非常に明確な形をしています。

チャレンジ

が与えられたp >= 1場合、有効数字4桁の精度で-ノルムに対するLp円の円周と直径の比を計算しLpます。

テストケース

私たちは、のためにそれを使用することができるp,qと1 = 1/p + 1/q我々は同じ比率を得るLpだけでなく、Lq規範。さらに用p = q = 2比率最小限であり、そしてのためにp = 1, q = infinity私たちは4の比率を取得し、その比率は、間常にあるpiと4。

p   or  q            ratio
1       infinity     4
2       2            3.141592
1.623   2.60513      3.200
1.5     3            3.25976
4       1.33333      3.39693

Python + scipy、92バイト

from scipy.integrate import*
lambda p:2/p*quad(lambda x:(x/x**p+(1-x)**(1-p))**(1/p),0,1)[0]

数式は、このmath.SE質問からのものです。

MATL、31バイト

0:1e-3:1lyG^-lG/^v!d|G^!slG/^sE

オンラインでお試しください！または、すべてのテストケースを確認します。

説明

これが発生するX、Y、ステップ0.001で1001点でサンプリング単位円の四分の一の座標Xを。円の4分の1の長さは、これらの点を通る折れ線の長さに近似しています。つまり、1000セグメントの長さの合計。もちろん、長さはp-norm に従って計算されます。結果に2を掛けると、半円のおおよその長さ、つまりpiが得られます。

0:1e-3:1   % Push [0 0.001 0.002 ... 0.999 1]. These are the x coordinates of
           % the vertices of the polygonal line that will approximate a quarter
           % of the unit circle
l          % Push 1
y          % Duplicate [0 0.001 0.002 ... 0.999 1] onto the top of the stack.
G          % Push input, p
^          % Element-wise power: gives [0^p 0.001^p ... 1^p]
-          % Element-wise subtract from 1: gives [1-0^p 1-0.001^p ... 1-1^p]
lG/        % Push 1, push p, divide: gives 1/p
^          % Element-wise power: gives [(1-0^p)^(1/p) (1-0.001^p)^(1/p) ...
           % ... (1-1^p)^(1/p)]. These are the y coordinates of the vertices
           % of the polygonal line
v          % Concatenate vertically into a 2×1001 matrix. The first row contains
           % the x coordinates and the second row contains the y coordinates
!          % Transpose
d|         % Compute consecutive differences down each column. This gives a
           % 1000×2 matrix with the x and y increments of each segment. These
           % increments will be referred to as Δx, Δy
G          % Push p
^          % Element-wise power
!          % Transpose
s          % Sum of each column. This gives a 1×1000 vector containing
           % (Δx)^p+(Δy)^p for each segment
lG/        % Push 1/p
^          % Element-wise power. This gives a 1×1000 vector containing 
           % ((Δx)^p+(Δy)^p)^(1/p) for each segment, that is, the length of 
           % each segment according to p-norm
s          % Sum the lenghts of all segments. This approximates the length of
           % a quarter of the unit circle
E          % Multiply by 2. This gives the length of half unit circle, that is,
           % pi. Implicitly display

Mathematica、49 46バイト

^{alephalphaにより3バイトが節約されました。}

2NIntegrate[(1+(a^-#-1)^(1-#))^(1/#),{a,0,1}]&

匿名関数。入力として数値を受け取り、出力として数値を返します。

PARI / GP、48 43バイト

@orlpが式を見つけた後は簡単で、@ alephalphaのバージョンは5バイトを節約します。

p->2*intnum(u=0,1,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p))

少し便利なものを追加するpために、取得する対象を計算しましょう3.2：

? f=p->2*intnum(u=0,1,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p));
? solve(p=1,2,f(p)-3.2)
%2 = 1.623002382384469009676324702

正しい使い方

コードはチャレンジ要求よりもはるかに正確な結果を提供しますが、簡単に大幅に改善することができます：統合の上限1を[1,1/p-1]（マニュアルで特異点指数と呼ぶものを与える）に置き換えると、表示されるすべての数字がf(2)一致しPiます。これは、精度を100（タイプ\p100）に上げた場合にも当てはまります。

ただし、その変更後、solve計算は機能しなくなりました。ケースを明示的に処理するように内部用語をu=0変更し、新しいPARIバージョンと64ビット（より高いデフォルト精度を意味する）を持つ別のコンピューターに変更しました。

のp値の改善された計算を次に示します。Pi=3.2実際のPiも見てみましょう。

? f=p->2*intnum(u=0,[1,1/p-1],if(u,(1+(u^-p-1)^(1-p))^(1/p),0));
? f(2)
%2 = 3.1415926535897932384626433832795028842
? Pi
%3 = 3.1415926535897932384626433832795028842
? solve(p=1,2,f(p)-3.2)
%4 = 1.6230023823844690096763253745604419761

JavaScript（ES7）、80バイト

orlpの回答に基づきます。このJS実装は非常に低速です。i=1e-7より高速な近似を試すために（またはそれ以上）試してみることもできます。

注：これは基本的にChromeとEdgeのみを対象としています。Math.pow()Firefox 50.1で使用する同等のES6バージョンは、はるかに遅いようです。

編集：Neilによると、これはFirefox 52でも正常に動作するはずです。

f=
p=>{for(i=5e-8,s=x=0;(x+=i)<1;)s+=i*(x**(1-p)+(1-x)**(1-p))**(1/p);return 2/p*s}

console.log(f(1).toFixed(3))
console.log(f(2).toFixed(3))
console.log(f(1.623).toFixed(3))