組み合わせの難問！

はじめに：組み合わせロジック

組み合わせロジック（CL）は、基本的に関数であるcombinatorsと呼ばれるものに基づいています。2つの基本的な「組み込み」コンビネータとがSありK、これについては後で説明します。

左結合性

CLはleft-associativeです。これは、CL を含む別のブラケットの一番左にあるブラケット（スタッフを含む）を削除し、スタッフを解放できることを意味します。たとえば、次のようなものです：

((a b) c)

に減らすことができます

(a b c)

どこ(a b)より大きなブラケットの一番左にある((a b) c)ので、それを除去することができます。

左結合のはるかに大きな例（角括弧は説明です）：

  ((a b) c ((d e) f (((g h) i) j)))
= (a b c ((d e) f (((g h) i) j)))   [((a b) c...) = (a b c...)]
= (a b c (d e f (((g h) i) j)))     [((d e) f...) = (d e f...)]
= (a b c (d e f ((g h i) j)))       [((g h) i) = (g h i)]
= (a b c (d e f (g h i j)))         [((g h i) j) = (g h i j)]

複数のペアが同じオブジェクトを囲む場合、括弧も減らすことができます。例：

((((a)))) -> a
a ((((b)))) -> a b
a (((b c))) -> a (b c) [(b c) is still a group, and therefore need brackets.
                        Note that this doesn't reduce to `a b c`, because
                        `(b c)` is not on the left.]

ビルトイン

CLには2つの「組み込み」コンビネーターがSありK、次のようにオブジェクト（単一のコンビネーター、またはブラケットに囲まれたコンビネーター/グループのグループ）を切り替えることができます。

K x y = x
S x y z = x z (y z)

どこでx、yそしてz何のための代役になることができます。

Sおよびの例はK次のとおりです。

  (S K K) x [x is a stand-in for anything]
= S K K x   [left-associativity]
= K x (K x) [S combinator]
= x         [K combinator]

もう一つの例：

  S a b c d
= a c (b c) d [combinators only work on the n objects to the right of it,
               where n is the number of "arguments" n is defined to have -
               S takes 3 arguments, so it only works on 3 terms]

上記は通常のCLステートメントの例で、ステートメントをさらに評価することはできず、有限の時間で最終結果を達成します。非正常なステートメント（終了せず、永久に評価され続けるCLステートメント）がありますが、それらはチャレンジの範囲内にないため、カバーする必要はありません。

CLの詳細については、このウィキペディアのページをご覧ください。

仕事：

あなたの仕事は、引数の数と、入力として評価されるものを指定して、追加のコンビネーターを作成することです。

{amount_of_args} = {evaluated}

where {amount_of_args}は、引数の数に等しい正の整数で、次のもので{evaluated}構成されます。

引数の量までの引数、1最初の引数であること、2第二され、エトセトラ。
- argsの量を超える（したがって、4when {amount_of_args}のみ3）引数番号がに表示されないことが保証されます{evaluated}。
括弧 ()

入力の例は次のとおりです。

3 = 2 3 1
4 = 1 (2 (3 4))

最初の入力はR、3つの引数（R 1 2 3）を持つコンビネータ（たとえば、）を要求し、次に評価されます：

R 1 2 3 -> 2 3 1

2番目の入力はこれを要求します（コンビネータ名を使用A）：

A 1 2 3 4 -> 1 (2 (3 4))

この形式の入力が与えられた場合、コンビネーター名で置換され、引数付きで実行された場合、コマンドブロックがそのコンビネーター名に戻されたときにブロックと同じ評価されたステートメントを返すS、Kおよびの文字列を返す必要があります。(){evaluated}

出力コンビネータステートメントでは、空白が削除され、外側の角かっこが削除されるため、次のよう(S K K (S S))に変換できますSKK(SS)。

あなたはあなたのプログラムの出力をテストする場合は、@aditsuは（含む結合論理パーサをしたS、K、Iなどであっても他のものBとC）ここに。

スコア：

これはmetagolfであるため、この課題の目的は、これらの50のテストケースを考慮して、出力で可能な限り少ないバイト数を達成することです。50個のテストケースの結果を回答に入力するか、ペーストビン（または同様のもの）を作成して、そのペーストビンへのリンクを投稿してください。

同点の場合、最も早い解決策が優先されます。

ルール：

あなたの答えは正しい出力を返さなければなりません-したがって、入力が与えられると、タスクの定義に従って正しい出力を返さなければなりません。
回答は、テストケースごとに最新のラップトップで1時間以内に出力する必要があります。
ソリューションのハードコーディングは禁止されています。ただし、最大10個のコンビネータをハードコーディングできます。
プログラムは、同じ入力に対して毎回同じソリューションを返す必要があります。
プログラムは、テストケースだけでなく、指定された入力に対して有効な結果を返す必要があります。

metagolf test-battery logic

— クリスミック
ソース

他の回答で見つかったコンビネーターを盗まないようにするにはどうすればよいですか？

— 1

@Fatalize人々は他の人の答えからインスピレーションを得て、より良い答えを作成するためにそれを構築できるので、それはあまり重要ではありません。

— clismique

インスピレーションといえば、希望する結果にaが含まれていない1場合1、すべてから差し引くことができ、その答えの解をにラップできることに気付きましたK()。例：のためのソリューション2 -> 1であるK、そのためのソリューションが3 -> 2あるKK、のためのソリューション4 -> 3であるK(KK)など

— ニール

回答:

ハスケル、スコア5017

この抽象除去用コンバイン非常識可能なアルゴリズム（（λ X。X）= I（λ X。Y）= K Y（λ X。M N）= S（λ X。M）（λ X。N））すべてのアプリケーションの後に使用されるピープホールオプティマイザーを使用する。最も重要な最適化ルールはS（K x）（K y）↦K（xy）です。これは、アルゴリズムが常に指数関数的に爆発するのを停止します。

ルールセットは文字列ペアのリストとして構成されているため、新しいルールを簡単に試すことができます。この目的のために入力パーサーを再利用する特別なボーナスとして、S、K、およびIも入力コンビネーター内で受け入れられます。

ルールは無条件に適用されません。むしろ、古いバージョンと新しいバージョンの両方が保持され、最適ではないバージョンは、長さが最適なバージョンの長さを一定の定数（現在は3バイト）以上超えた場合にのみ整理されます。

出力ステージがSKKに書き換えるまで、Iを基本的なコンビネーターとして扱うことにより、スコアはわずかに改善されます。このようにして、KI = K（SKK）は、残りの最適化を混乱させることなく、出力時にSKに4バイト短縮できます。

{-# LANGUAGE ViewPatterns #-}

import qualified Data.IntMap as I
import qualified Data.List.NonEmpty as N
import System.IO

data Term
  = V Int
  | S
  | K
  | I
  | A (N.NonEmpty (Int, Term, Term))
  deriving (Show, Eq, Ord)

parse :: String -> (Term, String)
parse = parseApp . parse1

parseApp :: (Term, String) -> (Term, String)
parseApp (t, ' ':s) = parseApp (t, s)
parseApp (t, "") = (t, "")
parseApp (t, ')':s) = (t, ')' : s)
parseApp (t1, parse1 -> (t2, s)) =
  parseApp (A (pure (appLen (t1, t2), t1, t2)), s)

parse1 :: String -> (Term, String)
parse1 (' ':s) = parse1 s
parse1 ('(':(parse -> (t, ')':s))) = (t, s)
parse1 ('S':s) = (S, s)
parse1 ('K':s) = (K, s)
parse1 ('I':s) = (I, s)
parse1 (lex -> [(i, s)]) = (V (read i), s)

ruleStrings :: [(String, String)]
ruleStrings =
  [ ("1 3(2 3)", "S1 2 3")
  , ("S(K(S(K1)))(S(K(S(K2)))3)", "S(K(S(K(S(K1)2))))3")
  , ("S(K(S(K1)))(S(K2))", "S(K(S(K1)2))")
  , ("S(K1)(K2)", "K(1 2)")
  , ("S(K1)I", "1")
  , ("S(S(K1)2)(K3)", "S(K(S1(K3)))2")
  , ("S(SI1)I", "S(SSK)1")
  ]

rules :: [(Term, Term)]
rules = [(a, b) | (parse -> (a, ""), parse -> (b, "")) <- ruleStrings]

len :: Term -> Int
len (V _) = 1
len S = 1
len K = 1
len I = 3
len (A ((l, _, _) N.:| _)) = l

appLen :: (Term, Term) -> Int
appLen (t1, S) = len t1 + 1
appLen (t1, K) = len t1 + 1
appLen (K, I) = 2
appLen (t1, t2) = len t1 + len t2 + 2

notA :: Term -> Bool
notA (A _) = False
notA _ = True

alt :: N.NonEmpty Term -> Term
alt ts =
  head $
  N.filter notA ts ++
  [A (N.nub (a N.:| filter (\(l, _, _) -> l <= minLen + 3) aa))]
  where
    a@(minLen, _, _) N.:| aa =
      N.sort $ do
        A b <- ts
        b

match :: Term -> Term -> I.IntMap Term -> [I.IntMap Term]
match (V i) t m =
  case I.lookup i m of
    Just ((/= t) -> True) -> []
    _ -> [I.insert i t m]
match S S m = [m]
match K K m = [m]
match I I m = [m]
match (A a) (A a') m = do
  (_, t1, t2) <- N.toList a
  (_, t1', t2') <- N.toList a'
  m1 <- match t1 t1' m
  match t2 t2' m1
match _ _ _ = []

sub :: I.IntMap Term -> Term -> Term
sub _ S = S
sub _ K = K
sub _ I = I
sub m (V i) = m I.! i
sub m (A a) =
  alt $ do
    (_, t1, t2) <- a
    pure (sub m t1 & sub m t2)

optimize :: Term -> Term
optimize t = alt $ t N.:| [sub m b | (a, b) <- rules, m <- match a t I.empty]

infixl 5 &

(&) :: Term -> Term -> Term
t1 & t2 = optimize (A (pure (appLen (t1, t2), t1, t2)))

elim :: Int -> Term -> Term
elim n (V ((== n) -> True)) = I
elim n (A a) =
  alt $ do
    (_, t1, t2) <- a
    pure (S & elim n t1 & elim n t2)
elim _ t = K & t

paren :: String -> Bool -> String
paren s True = "(" ++ s ++ ")"
paren s False = s

output :: Term -> Bool -> String
output S = const "S"
output K = const "K"
output I = paren "SKK"
output (V i) = \_ -> show i ++ " "
output (A ((_, K, I) N.:| _)) = paren "SK"
output (A ((_, t1, t2) N.:| _)) = paren (output t1 False ++ output t2 True)

convert :: Int -> Term -> Term
convert 0 t = t
convert n t = convert (n - 1) (elim n t)

process :: String -> String
process (lex -> [(n, lex -> [((`elem` ["=", "->"]) -> True, parse -> (t, ""))])]) =
  output (convert (read n) t) False

main :: IO ()
main = do
  line <- getLine
  putStrLn (process line)
  hFlush stdout
  main

オンラインでお試しください！

出力

S（KS）K
S（K（SS（KK）））（S（KK）S）
S（K（SS））（S（KK）K）
S（K（SS（KK）））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））
S（K（S（K（SS（SK））））））（S（K（SS（SK）））（S（SKK）（SKK）））
KK
S（K（S（S（KS））（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K）
S（K（SS（K（S（KK）（S（SKK）（SKK））））））（S（SSK（KS））（S（S（KS）（S（KK）（S（KS）） K）））（K（S（K（S（SSK）））K））））
S（K（S（KK）））（S（K（S（S（SKK）（SKK））））K）
SK
S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））
S（K（SS（K（S（KK）K））））（S（KK）（S（KS）（S（SSK（KS））（S（K（SS））（S（KK）K）））））
S（K（S（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）S））））））（S（K（SS（KK））））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））
S（K（S（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）S））））））（S（K（S（SKK）））K）
S（K（S（K（S（KS）K））））（S（KS）K）
S（K（S（KS）K））
S（K（S（K（S（K（SS（K（S（S（KS）（S（KK）（SSK））））（K（S（SKK）（SKK））））））（S （KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（SSK）））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（SSK）））））
SSS（KK）
KK
S（KK）（S（KK）（S（S（KS）K）（S（K（S（SKK）））（S（K（S（SKK）））K））））
S（S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））（K（S（K（S（ S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K）））
S（KK）
S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））
S（K（S（K（S（KS）K）））））（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））
S（KS）（S（KK）（S（KS）K））
S（S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（SS（KK）））））（S（KS）（S（KK）（S （SSK（KS））（S（KS）（S（SKK）（SKK）））））））））））（K（S（S（KS）（S（K（S（K（S（KS））（S（K（S（KS））（S（K（S（SKK）））K）））））））））（S（K（S（SKK）））K）））（S（K（ S（K（S（KK）K））））（S（K（S（SKK）））K）））））
S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（KS）（S（K（S（SKK））K））））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（ KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））
K（S（KK））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（KS）K））））（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（ S（KK）K））））））K））））））（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））
S（KK）（S（K（SSS（KK））））
K（SSS（KK））
S（K（SS（K（S（S（KS）（S（KK）（S（KS）K）））（K（S（K（S（SKK）））K）））））（S （KK）（S（KS）（SS（S（S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（K（S（KS）（S（KK）（S（KS）K））））））））））（KK））））
S（K（S（K（S（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）S）））））））（S（K（SS（K（S（KK）K））））（S（KK）（SSS（KS））））
S（K（S（K（S（KK）K））））
S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（SKK））K））））（S（KK）（S（KS）（S（KK））（S（K（SS（K（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））））））））（S（K（S（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K））
S（K（SS（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（SKK）））K））））（S（KK）（S（KS）（SS（S（S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（K（S（SKK）））K）））））（KK））））））））（S（KK）（S（KS）（S（ KK）（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）S））））））））（S（K（SS （KK）））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（KS）（S（KK）（S（KS）K））））））））））））
S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（KK）K）））））（SS（SK）））
K（S（K（SSS（KK））））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（KS）（S（K（S（SKK ）））K））））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS）））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（S（K（SS（K（S（K（SS）））（S（ KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））
S（K（S（KK）））（S（KS）（S（KK）（S（K（S（KK）（S（KK）K）））））））
S（K（SS（K（S（S（KS）（S（KK）（S（KS）K）））（K（S（K（S（SKK）））K）））））（S （KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S （KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（KK）（S（K（SS））K））））））（S（KK）（S（ K（SS））（S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（KS）K）））））（S（KS）K）））））））））））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（KS）（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（KS）K））））））（S（K（SS （K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（ K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS）））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K））））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK） K）））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））
K（K（K（K（K（S（KK）（S（KK）（S（K（SS（SK）））（SSK）））））））））））
S（KK）（S（K（S（KK）（S（KK）（S（KK）（S（KK）K）））））））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（ K（S（S（KS））（S（K（S（SKK）））K））））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（KS）K））））））（S（ K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K （S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（ SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））））S（K（SS（K（S（K（SS）））（S （KK）K）））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K）））））））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（SS（K（S（K（SS（KK）））（S（KK）（S（ KS）（S（K（S（SKK）））K）））））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（SSK（KS）））（S（K（SS）））（S（KK）K））））））））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS（K（S（KK）（S（KS））（S（KK）（S（K（SS（K（S（KK）（S（KS）K））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）（S （K（SS（K（S（KK）K））））（S（KK）S））））））））））））（S（KK）（S（K（SS））K））））））））））（S（K（SS（K（S（KK）（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）） K））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））（S（KK）S））））））（S（K （SS（K（S（K（S（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（K（ SS））（S（KK）K））））））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（S（KS）（S（KK）（ S（KS）K））））））（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））））
S（K（SS（K（SS（S（S（KS）（S（KK）S）））（KK）））））S（KK）（S（KS）（S（K（S（K （S（KS）（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（S（K（SS（K（S（K（S（S（KS）（S（ KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））（S （KK）（S（KS）K）））））））））））））））（S（K（S（S（KS））（S（KK）（S（K（SS））（S（ KK）（S（K（S（K（S（KS）K）））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（ KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS））（S（KK）K））））））））））））S（KK）（S（K（S （K（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（SS（K（S（KK）（S（KS）K）））））（S（KK）（S（K （SS））K）））））））））（S（KS）（S（KK）（S（K（SS（K（S（KK）K）））））（S（KK）（S（ KS）（S（SSK（KS））（S（K（SS（KK）））（S（KK）（S（KS）（S（K（S（S（SKK））K）））））））））））））））））
K（S（K（S（KK）（S（K（S（KK）（S（K（S（KK）（S（KK）K））））））））））））））
S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（K（S（ K（S（KK）（S（K（S（KK）））（S（K（S（SKK）））K））））））（S（K（S（SKK）））K））））））（S（K（S（SKK）））K）））））））（S（K（S（SKK）））K））））））（S（K（S（SKK）））） K））
S（K（S（K（S（K（S（K（S（K（S（KK）））（S（K（SS（K（S（K（S（S（KS）（S（K（ S（SKK）））K））））（S（KK）K））））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S （K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）K）））））））（S（K（SS（K（S（K（SS））（S（KK）K）））））（S（KK）（S（KS）（S（KK）（S（K（S（K（S（KK）（S（KK）（S（KK））（S（KK）K）））））））（S（K（SS））（S（KK）K））））））））

— アンダース・カセオルグ
ソース

式を自動最適化することは可能でしょうか（例S (K x) (K y) = K (x y)）。

— 電卓

@CalculatorFelineあなたの質問がわかりません。S（K x）（K y）は自動的にK（xy）に最適化されます。

— アンダースカセオルグ

待ってください、これらの式は部分的に適用された関数として表現されていますか？関数を部分的に適用する場合、最後のコメントのようなことをすることができます。

— 電卓

@CalculatorFeline表現は、たとえば3 = 1（2 3）↦2 = S（K1）（S（K2）I）↦2 = S（K1）2↦1 = S（S（KS）（S （KK）（K1）））I↦1 = S（S（KS）（K（K1）））I↦1 = S（K（S（K1）））I↦1 = S（K（S（K1 ）））I↦1 = S（K1）↦S（KS）（S（KK）I）↦S（KS）K。ご覧のとおり、既にS（K x）（K y）↦K（xy）というルールを何度も使用していruleStringsます。そうしなかった場合、出力は指数関数的に長くなります。この小さな例では、S（S（KS）（S（S（KS）（S（KK）（KS）））（S（S （KS）（S（KK）（KK）））（S（KK）（SKK）））））（S（S（KS）（S（S（KS）（S（KK）（KS）））（ S（KS）Kの代わりにS（S（KS）（S（KK）（KK）））（SK））））（S（KK）（SK）））

— アンダースカセオルグ

ソリューションの長さの合計：12945 8508 5872

セパレータがある場合気にしない標準入力からの入力ラインを取り、Haskellコード=または->：

data E=S|K|V Int|A E E deriving Eq

instance Show E where
  showsPrec _ S = showChar 'S'
  showsPrec _ K = showChar 'K'
  showsPrec _ (V i) = shows i
  showsPrec p (A e f) = showParen (p>0) $ showsPrec 0 e . showsPrec 1 f

type SRead a = String -> (a,String) -- a simpler variation of ReadS

parse :: String -> E
parse s = let (e,"")=parseList (s++")") in e
parseList :: SRead E
parseList s = let (l,s')=parseL s in (foldl1 A l,s')
parseL :: SRead [E]
parseL (c:s) | c==' ' = parseL s
             | c==')' = ([],s)
parseL s = let (p,s')=parseExp s; (l,s'')=parseL s' in (p:l,s'')
parseExp :: SRead E
parseExp ('(':s) = parseList s
parseExp s = let [(n,s')]=reads s in (V n,s')

k e = A K e
s e f = A (A S e) f
i = s K K
s3 e f g = A (s e f) g
sk = A S K
ssk e f = A (s3 S K e) f

n `invars` (A e f) = n `invars` e || n `invars` f
n `invars` (V m)   = n==m
_ `invars` _       = False

comb (A e f) = comb e && comb f
comb (V _)   = False
comb _       = True

abstract _ (A (A S K) _) = sk
abstract n e | not (n `invars` e) = k e
abstract n (A e (V _)) | not (n `invars` e) = e
abstract n (A (A (V i) e) (V j)) | n==i && n==j =
                                   abstract n (ssk (V i) e)
abstract n (A e (A f g)) | comb e && comb f =
                                   abstract n (s3 (abstract n e) f g)
abstract n (A (A e f) g) | comb e && comb g =
                                   abstract n (s3 e (abstract n g) f)
abstract n (A (A e f) (A g h)) | comb e && comb g && f==h =
                                   abstract n (s3 e g f)
abstract n (A e f) = s (abstract n e) (abstract n f)
abstract n _ = i

abstractAll 0 e = e
abstractAll n e = abstractAll (n-1) $ abstract n e

parseLine :: String -> (Int,E)
parseLine s = let [(n,s')] = reads s
                  s''=dropWhile(`elem` " =->") s'
              in (n, parse s'')

solveLine :: String -> E
solveLine s = let (n,e) = parseLine s in abstractAll n e

main = interact $ unlines . map (show . solveLine) . lines

これは、John Trompのセクション3.2からの改良されたブラケット抽象化を実装しています：結合論理に関するWikipediaの記事からリンクされているBinary Lambda Calculus and Combinatory Logic。最も有用な特殊なケースでは、S変数の深いネストを回避するために、コンビネーターのみを使用してサブタームをシャッフルします。一部のサブタームの等価性をチェックするケースは、どのテストケースにも必要ありません。Wコンビネータを処理する特別なケースはありませんが（Peterの答えを参照）、ルールは連携して短いSS(SK)表現を見つけます。（最初にの内部呼び出しを最適化しようとすることでミスをしましたabstract。その後、このW最適化は行われず、全体の結果は16バイト長くなりました。）

そして、テストケースの結果は次のとおりです。

S(KS)K
S(K(S(K(SS(KK)))K))S
S(K(S(K(SS))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))(S(SKK))))K
S(K(S(K(SS(SK)))))(S(K(SS(SK)))(S(SKK)(SKK)))
KK
S(K(S(K(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K)))K))K
S(K(S(K(SS(K(S(KK)(S(SKK)(SKK))))))(S(KS))))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(SSK)))K))))K))S))K)
S(K(S(K(S(KK)))(S(S(SKK)(SKK)))))K
SK
S(K(S(K(S(K(S(S(KS)(S(KS)))))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(KK)K))))K))S))(S(KS))))(SS)))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))(S(SKK))))K)
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))))(S(SKK))))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(KS)K))))K))S))K))S))K
S(K(S(KS)K))
S(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(S(KS)(S(K(SS(K(S(SKK)(SKK)))))K))K))))K))S))K))(S(KK)K)))))K))S))K))S))K))(S(K(S(KK)K))K)
S(KK)(S(KK))
KK
S(K(S(KK)K))(S(S(KS)K)(S(K(S(K(S(SKK)))(S(SKK))))K))
S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K)))K))K))K
S(KK)
S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))K))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(KS)(S(KS))))))K))K))K
S(K(S(K(S(KS)K))S))K
S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))(S(KS))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))))))(S(SKK))))K)(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))))(S(SKK))))K)))))K))S))K))S))K))S))(S(SKK)(SKK)))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K)))K))K))K))K
K(S(KK))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(KS)(S(KS))))))K))K))K)
S(KK)(S(K(S(KK)(S(KK)))))
K(S(KK)(S(KK)))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(SKK)))K))))K))S))K)))))K))S))K))S))(S(K(S(K(S(K(S(KS)K))S))K)))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))))))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(KK)K))))K))S))(S(KS)))
S(K(S(K(S(KK)K))))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(K(S(KS)(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K)))K))K))K))))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(KK)))(S(SKK))))K))))K))S))K))S))(S(SKK))))K)))))K))S))K))S))(S(K(S(K(S(K(S(KS)K))S))K))))
S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(KK)K))K)))))(SS(SK))
K(S(K(S(KK)(S(KK)))))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K))))K))K))K))K))))K))K))K))K))K)))K))K))K))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(KK)K))K)))))))S))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(KS)K))S))K))))K))))(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(SKK)))K))))K))S))K)))))K))S))K))S))K))S))K))S))K))S))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K))))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))K)))K))K))K))K))K))K))K
K(K(K(K(K(S(K(S(KK)K))(S(K(SS(SK)))(SSK)))))))
S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))K)))
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K))))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))K))K)))K))K))K))K))K))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(KK)K))))K))S))(S(KS)))))))(S(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))(S(SKK))))K)))))K))K))K))))K))K))K))K))K))))K))K))K))K))K))K))K)))K))K))K))K))K))K))K))K))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))K))K))K))K))))K))S))(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(KK)K))K))))K))S))(S(K(S(KS)(S(KS)))))))))))))))(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))))))))(S(K(S(K(SS(KK)))K))S)))))K))S))K))S))K))S))K))S))(S(KS))))(S(K(S(K(S(K(S(K(SS(KK)))K))S))(S(SKK))))K))
K(S(K(S(KK)(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(KK)K))K)))))))))
S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(KK))))(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K)))))(S(SKK))))K
S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KK)K))K))K))K)))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS))))))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(K(S(KS)(S(KS)))))))(S(S(K(S(K(S(K(S(KS)(S(KS))))(S(S(K(S(KS)(S(SKK))))K))))K))K))))K))K))K))))K))K))K))K))))K))K))K))K))K

— クリスチャン・シーヴァーズ
ソース

S、K、I、Wを使用した8486

説明

（の第18章に記載さなどのような標準的なアルゴリズムにモックモッキンバードは）コンビネータに対応する4つのケースを使用してS、K、I = SKK、及び単純な左会合を。これが、クリスチャンの答えが実装するものだと思います。これで十分ですが、必ずしも最適ではありません。最大10個のコンビネータをハードコーディングできるため、7つのオプションがあります。

他のよく知られた組み合わせコンビネーターは

B x y z = x (y z)
C x y z = x z y
W x y = x y y

と一緒にK、完全な基礎を作ります。SKでは、これらは

B = S (K S) K
C = S (S (K (S (K S) K)) S) (K K)
W = S S (S K)

そしてSKI規則はのためにそれらの同じ表現を導出BしてC、しかし、のためにW、彼らは導き出しますS S (K (S K K))。したがってW、特別なケースとして実装することにしました。

プログラム（CJam）

e# A tests whether argument is an array
{W=!!}:A;

e# F "flattens" an expression by removing unnecessary parentheses, although if the expression is a primitive
e# it actually wraps it in an array
{
  e# A primitive is already flat, so we only need to process arrays
  _A{
    ee{
      ~
      e# Stack: ... index elt
      e# First recurse to see how far that simplifies the element
      F
      e# If it's an array...
      _A{
        e# ... we can drop a level of nesting if either it's the first one (since combinator application
        e# is left-associative) or if it's a one-element array
        _,1=@!|{
          e# The tricky bit is that it might be a string, so we can't just use ~
          {}/
        }*
      }{
        \;
      }?
    }%
  }{a}?
}:F;


qN%{

e# Parse line of input
"->=()"" [[[]"er']+~
e# Eliminate the appropriate variables in reverse order. E eliminates the variable currently stored in V.
\,:)W%{
  e# Flatten current expression
  F

  e# Identify cases; X holds the eXpression and is guaranteed to be non-primitive
  :X
  [
    XVa=                  e# [V]
    Xe_V&!                e# case V-free expression
    X)_A0{V=}?\e_V&!*     e# case array with exactly one V, which is the last element
    X_e_Ve=~)>[VV]=X,2>*  e# case array with exactly two Vs, which are the last two elements
  ]
  1#
  e# Corresponding combinators
  [
    {;"SKK"}              e# I
    {['K\]}               e# K
    {);}                  e# X (less that final V)
    {););['S 'S "SK"]\a+} e# W special-cased as SS(SK) because the general-case algorithm derives SS(K(SKK))
    {['S\)E\E\]}          e# S (catch-all case)
  ]=~
}:EfV

e# Format for output
F
{
  _A{
    '(\{P}%')
  }*
}:P%

oNo}/

オンラインテストスイート

生成された出力：

S(KS)K
S(S(KS)(S(KK)S))(KK)
S(K(SS))(S(KK)K)
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(KK)
S(K(S(K(SS(SK)))))(S(K(SS(SK)))(S(SKK)(SKK)))
KK
S(K(S(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(S(KK)K)
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))(K(S(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))(K(SKK)))))))(K(S(KK)(S(SKK)(SKK))))
S(K(S(KK)))(S(K(S(S(SKK)(SKK))))K)
K(SKK)
S(K(S(S(KS)(S(KS)))))(S(KK)(S(KK)K))
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(SS))(S(KK)K))))))(K(S(KK)K))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KS)))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(KK))))))(K(KK))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KS)))(S(K(S(SKK)))K)))))(K(KK))
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))))(K(S(KS)K))
S(K(S(KS)))(S(KK))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))))(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))(K(S(S(KS)(S(S(KS)K)(K(S(SKK)(SKK)))))K)))))(S(KK)K)))))))(S(KK)(S(KK)K))
S(KK)(S(KK))
KK
S(KK)(S(KK)(S(S(KS)K)(S(K(S(SKK)))(S(K(S(SKK)))K))))
S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(S(KK)K))))))(S(KK)(S(KK)K))
S(KK)
S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KS))))))))(S(KK)(S(KK)(S(KK)K)))
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(S(KS)(S(KS)))))(S(KK)(S(KK)K))))))))(K(S(KK)(S(KK)K)))
S(KS)(S(KK)(S(KS)K))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(K(S(K(S(KS)))))))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(SKK)(SKK)))))))))(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(K(S(K(S(SKK)))))))(S(K(S(K(S(KK)))))(S(K(S(SKK)))K))))))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(SKK)))K))))))))))(K(K(KK)))
S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(S(KS)(S(K(S(SKK)))K))))(S(KK)K))))))(S(KK)(S(KK)K))))))))(S(KK)(S(KK)(S(KK)K)))
K(S(KK))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(K(S(K(S(KS)))))))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(S(KS)(S(KS)))))(S(KK)(S(KK)K))))))))(K(S(KK)(S(KK)K))))))))))(K(K(S(KK)(S(KK)K))))
S(KK)(S(K(S(KK)))(S(K(S(KK)))))
K(S(KK)(S(KK)))
S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(KK)))(S(K(S(KS)))(S(KK))))))))))(K(S(K(S(KK)))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)K)))(K(S(K(S(SKK)))K)))))
S(S(KS)(S(K(S(KS)))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(K(S(K(S(KK)))))(S(K(S(K(S(KS)))))(S(S(KS)(S(KK)(S(KS)(S(KS)))))(K(S(KK)K))))))))(K(K(KK)))
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— ピーター・テイラー
ソース