惑星の軌道の特定の角度の傾斜角を計算しますか？

背景は、私が太陽系の外の観測者から太陽の前を通過している各惑星をどの角度で見ることができるかを示すコンピュータプログラムを書こうとしていることです。私の終盤は、惑星のグループが一緒に通過するのを見ることができる空の相対的な割合を計算することです。たとえば、地球が6月と12月の太陽からの方向にある場合、地球の通過を見ることができるエイリアンの観測者は金星の通過も見ることができますが、地球が9月または3月にある角度からは、彼らは決して見ることができません。金星通過。

私が書いたプログラムのアイデアをテストするための基本的な統計情報と円軌道を使用して、私は、実際の楕円軌道を使用して、それをより堅牢にしたいと私は悩みを抱えています。太陽を中心とする円軌道の場合、地球の軌道の傾きにsin、昇順の経度を基準にした表示経度の傾きを掛けた値をとることができました。

double viewingLongitude = longitudeRadians - LongitudeOfAscent;
double planetAngle = Inclination * Math.Sin(viewingLongitude);

たとえば、地球の軌道の傾斜は1.57度、経度は348.74度です。348.74度と168.74度では、地球の実際の傾きは0度になります。78.74度と158.74度では、地球は平面から1.57度と-1.57度の実際の傾斜を持ちます。

地球の楕円軌道の傾きを計算できる同様の簡単な方法はありますか、それともケプラーの方程式を解かなければなりませんか？

orbit

— ジェイソン・ゴーマート
ソース

何か不足している可能性がありますが、ベース平面として使用しているのはどの平面ですか（黄道に対する地球の傾斜は定義上0であるため、黄道/地球の軌道面ではありません）。あなたの観測者はこの飛行機の上に上がるか下に行くことを選ぶことができますか？

— バリーカーター2013年

どの平面でもかまいませんが、それらは私が見つけた傾きなので、不変の平面を使用しています。私が探しているのは、複数の惑星を見ることができる上下角度の範囲です。残りの宇宙に関する実際の方向は、他の惑星に関してのみ問題ではありません。視野角が重なるタイミングを知りたいだけです。

— Jason Goemaat 2013年

つまり、ケプラーの方程式を解く必要はありません。表示経度を定義し、ケプラーの軌道要素の完全なセットがわかっている場合は、惑星が通過を示すかどうかを計算できます。

ただし、最初にいくつかの専門用語について説明します。傾斜という用語は、伝統的に軌道面と参照面の間の角度のために予約されています。したがって、軌道全体がぐらついていない限り（たとえば、歳差運動のため）、傾斜は惑星のすべての位置で一定になります。

惑星が参照面を移動するときに変化する角度が緯度です。ただし、この特定の問題では、緯度の計算は特に役に立ちません。見ていくより現実的な座標は、平面からの惑星の高さです。これをと呼びます。観測者の視線に沿ってが太陽の半径よりも小さい場合、惑星は通過を示します。 $r_z$ $r_z$

3次元で完全に一般的な楕円軌道を計算するのはやや難しいので、軌道平面に合わせた単純なデカルト座標系から始めます。以降のステップでは、いくつかの座標変換を使用して戻ります。

まず、ケプラーのパラメーターとその意味のリスト：

$\nu$ 真の異常-軌道面における近地点を基準とした角度位置。
$\omega$ omega-近点の引数-軌道平面の上昇ノードに対する近地点の角度位置。
$\lambda_{asc}$ -不変平面の昇交点の経度（図では）。 $\Omega$
$i$ 傾斜-が回転軸を与えるような、軌道平面と不変平面の間の角度。 $\lambda_{asc}$

ここに画像の説明を入力してください

ここで、軌道面では、惑星軌道の半径はとして与えられます。 -axisを昇順のノードに合わせるために、位置ベクトルを

r (ν) = \frac{a (1 - e^{2})}{1 + e \cos (ν)}

$r(\nu) = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos(\nu)}$

{\vec{r}}_{o r b} = r (ν) [\begin{matrix} \cos (ω + ν) \\ \sin (ω + ν) \\ 0 \end{matrix}]

$\vec{r}_{orb} = r(\nu) \begin{bmatrix} \cos(\omega+\nu) \\ \sin(\omega+\nu) \\ 0 \end{bmatrix}$

不変平面に位置合わせされたデカルト座標系に移動するには、x軸を中心に角度回転を適用する必要があるため、これで式が、が不変平面の惑星の経度とどのように関連しているかを知る必要があります。 $i$

\vec{r} = R_{x} (i) {\vec{r}}_{o r b} = r (ν) [\begin{matrix} \cos (ω + ν) \\ \sin (ω + ν) \cos (i) \\ \sin (ω + ν) \sin (i) \end{matrix}]

$\vec{r} = R_x(i)\vec{r}_{orb}= r(\nu) \begin{bmatrix} \cos(\omega+\nu) \\ \sin(\omega+\nu)\cos(i) \\ \sin(\omega+\nu)\sin(i) \end{bmatrix}$

r_{z}

$r_z$

ν

$\nu$

λ_{p l a n e t}

$\lambda_{planet}$

を基準にした惑星の経度は、として見つけることができ、実際の経度はこの最後の式を反転すると、 $\lambda_{asc}$

λ_{p l a n e t}^{'} = \arctan (\frac{r_{y}}{r_{x}})

$\lambda'_{planet} = \arctan( \frac{r_y}{r_x} )$

λ_{p l a n e t} = λ_{a s c} + λ_{p l a n e t}^{'}

$\lambda_{planet} = \lambda_{asc} + \lambda'_{planet}$

ν (λ) = \arctan (\frac{\tan (λ - λ_{a s c})}{\cos (i)}) - ω

$\nu(\lambda) = \arctan( \frac{\tan(\lambda - \lambda_{asc})}{\cos(i)} ) - \omega$

これで、質問に答えるためのすべての方程式が得られました。惑星が観測者の視線に沿っている場合、には真の異常がになり、平面 If惑星は移動中に見えます。 $\nu(\lambda_{obs})$

r_{z} (ν) = r (ν) \sin (ω + ν) \sin (i)

$r_z(\nu) = r(\nu)\sin(\omega+\nu)\sin(i)$

| r_{z} | < R_{s u n}

$|r_{z}| < R_{sun}$

— マイケルB.
ソース