太陽+単一惑星軌道系のニュートン力学と一般相対論的重力効果の正しい比率はどれくらいですか

架空の軌道システム（太陽+単一惑星）の場合、ニュートンモデルと一般相対性理論（GR）モデルは、惑星に対する太陽の重力効果の異なる式を生成します。これはよく知られています。

ニュートン効果とGR効果の比率は、ライターによってさまざまな方法で表現されます。

ニュートン：GR比のこのような2つの式の調整に問題があります。

まず、ウォルター（2008）（482ページの式12.7.6）は、GRモデルから生成される運動方程式の次の式を示します。

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = \frac{G M}{h^{2}} + \frac{3 G M}{c^{2}} u^{2}

$\frac{d^2\,u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{h^2} + \frac{3GM}{c^2}u^2$ ここで、、は重力の普遍定数、は太陽の質量、は光速です。ここで、用語は通常のニュートン項であり、用語はGRによって導入された追加の用語です。

u = (1 / r)

$u= (1/r)$

h = v r

$h=vr$

G

$G$

M

$M$

c

$c$

G M / h^{2}

$GM/h^2$

3 G M u^{2} / c^{2}

$3GMu^2/c^2$

このことから、ウォルターはニュートン効果とGR効果の近似比をからとして導出します。ここで、は、円軌道内の惑星の軌道速度（距離 =、半主軸）。 $(1)$ $(1 + 3v^2/c^2)$ $v = \sqrt{GM/r}$ $r$ $a$

次に、代替のプレゼンテーション（いわゆるシュワルツシルトソリューションを参照）がGoldsteinによって古典力学（第3版）のページ536-538に掲載されています。GR電位によって与えられる目標体重であり、定数である（ゴールドスタインは、使用の代わりに、以下を参照してください。ただし、上記のWalterで別の意味を表すためにをすでに使用しています） $V_{GR}$

V = - \frac{G M m}{r} - \frac{b}{r^{3}}

$V = -\frac{GMm}{r} -\frac{b}{r^3}$

m

$m$

b

$b$

h

$h$

b

$b$

h

$h$

距離に関してポテンシャルを微分して力を与える $r$

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 b}{r^{4}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3b}{r^4}$

ここで、Goldsteinは定数を次のように定義します。- ここで、および $b$

b = \frac{k l^{2}}{m^{2} c^{2}} Goldstein eqtn [12.48]

$b = \frac{k\,l^2}{m^2c^2} \qquad\text{ Goldstein eqtn [12.48]}$

k = G M m

$k=GMm$

l^{2} = m k a (1 - e^{2}) Goldstein eqtn[12.50]

$l^2 = mka(1-e^2) \qquad\text{ Goldstein eqtn[12.50]}$

そう

b = \frac{G M m m G M m a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} = \frac{G M m L^{2}}{c^{2}} = \frac{G M m m^{2} v_{c}^{2} a^{2}}{c^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, L^2}{c^2} = \frac{GMm \,m^2 v_c^2 a^2}{c^2}$

したがって、GR力の方程式はなりをに置き換え得られます

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m m^{2} v_{c}^{2} a^{2}}{r^{4} c^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2 a^2}{r^4c^2}$

a

$a$

r

$r$

F_{G R} = \frac{G M メートル}{r^{2}} + \frac{３ G M メートル {メートル}^{2} v_{c}^{2}}{r^{2} c^{2}} = \frac{G M メートル}{r^{2}} （ 1 + \frac{３ v_{c}^{2} {メートル}^{2}}{c^{2}} ）

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2 \, m^2}{c^2} \right)$

したがって、ゴールドスタインから導出されたニュートン：GR比はウォルターによって導出された比と同じですが、前者には分子に追加項がある点が異なります。単位質量ターゲットを呼び出してこれを数値的にあやつろうとしても、寸法は正しくありません。 $m^2$

それで正しい比率は何ですか？

更新------------------------------------------------- --------------------

のリファクタリングでは、特定の角運動量を使用する必要があるときに、角運動量を使用しました。修正後、余分な消えます。ゴールドスタインはウォルターに同意する。照明についてStan Liouに感謝します。 $b$ $L$ $\mathfrak{l}$ $m^2$

修正された分析：

b = \frac{G M メートル メートル G M メートル a （ 1 - e^{2} ）}{{メートル}^{2} c^{2}} = \frac{G M メートル l^{2}}{c^{2}} = \frac{G M メートル v_{c}^{2} a^{2}}{c^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, \mathfrak{l}^2}{c^2} = \frac{GMm \,v_c^2 a^2}{c^2}$

したがって、GR力の方程式はなりをに置き換え

F_{G R} = \frac{G M メートル}{r^{2}} + \frac{３ G M メートル v_{c}^{2} a^{2}}{r^{4} c^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2 a^2}{r^4c^2}$

a

$a$

r

$r$

F_{G R} = \frac{G M メートル}{r^{2}} + \frac{３ G M メートル v_{c}^{2}}{r^{2} c^{2}} = \frac{G M メートル}{r^{2}} （ 1 + \frac{３ v_{c}^{2}}{c^{2}} ）

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

したがって、ニュートンとGRの重力の正しい比率は次のとおりです。-

F_{N e w t o ん 私 a ん} ： F_{G R} \approx 1 ： （ 1 + \frac{３ v_{c}^{2}}{c^{2}} ）

$F_{Newtonian}:F_{GR} \approx 1: \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

ノート

この比率は概算であり、GRモデルの「低速、弱いフィールド」のサブドメインにのみ適用されます。

ゴールドスタインはまた、GR効果が速度効果ではないことを強調しています（おそらく、あらゆる種類のエーテルまたはフラックスによるターゲットボディの速度のように）。

偶然にも（同じサブドメイン、たとえば太陽を周回する水星で）マグニチュード修正ニュートン半径方向力。ここで、はaの瞬間横速度小さなターゲット惑星で、GRと同じ大きさ（1％以内）の非ニュートンの無人回転（近日点歳差運動）を生成します。 $f=GMm/r^2 * [1 + 3v_t^2/c^2]$ $v_t$

ゴールドスタインは注意深く読む必要があります。ここで彼はを使用して他の場所で角運動量を示しています（たとえば、eqtn [1.7]）を使用しています。彼はしばしば「ポテンシャルエネルギー」に言及しているときにを「ポテンシャル」と呼びます（たとえば、式[3.49]）。 $l$ $L$ $V$

orbit general-relativity

— steveOw
ソース

特定の「比率」はありません。それが一般相対性理論のすべてであるならば、GRは簡単でしょう。GRは「簡単」ではありません。この質問に投稿された関係は、一般相対性理論のおそらく最も単純な線形化です。

— David Hammen 2014年

デービッドはもちろん、この種の比較は弱視野近似の遅い軌道に対してのみ意味があるという点で正しいですが、幸いにもそれはこの質問のコンテキストでもあります。シュヴァルツシルト時空の特定のケースでは、軌道は有効ポテンシャルによって正確に記述されることに注意してください。近似は、ラジアル座標と適切な時間をニュートン的であるかのように扱うときに発生します。これは、より一般的な状況では無効です。

— Stan Liou 2014年

David＆Stan：ありがとう。はい、知っていましたが、質問の最後に説明を追加しました。

— steveOw 2014年

回答:

シュヴァルツシルト時空の軌道は、有効ポテンシャルここで、は軌道の特定の角運動量であり、保存された量です。最初の2つの項は、ニュートンの有効ポテンシャルの形式と一致します。ただし、ここでは、半径距離と座標時間ではなく、シュヴァルツシルトの半径座標と軌道を回る粒子の適切な時間を参照しています。最初の項は通常の重力ポテンシャルであり、2番目の項は遠心ポテンシャルであるので、ゴールドスタインのは重力ポテンシャルエネルギー項として代わりにいくらか理にかなっています。

V_{eff} = - \frac{G M}{r} + \frac{l^{2}}{2 r^{2}} - \frac{G M l^{2}}{c^{2} r^{３}} 、

$V_\text{eff} = -\frac{GM}{r} + \frac{\mathfrak{l}^2}{2r^2} - \frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}\text{,}$

l = r^{2} \dot{ϕ}

$\mathfrak{l} = r^2\dot{\phi}$

r

$r$

V

$V$

したがって、とことを意味し角運動量であり、、およびゴールドスタインの言うとおり。我々は、分化した場合、次いで、適切な時間に関して $l^2 = mka(1-e^2)$ $k = GMm$ $l$ $l = m\mathfrak{l}$

\frac{G M l^{2}}{c^{2} r^{３}} メートル = G M メートル \frac{l^{2}}{{メートル}^{2}} \frac{1}{c^{2} r^{３}} = \underset{b}{\underset{⏟}{\frac{k l^{2}}{{メートル}^{2} c^{３}}}} \frac{1}{r^{３}} 、

$\frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}m = GMm\frac{l^2}{m^2}\frac{1}{c^2r^3} = \underbrace{\frac{kl^2}{m^2c^3}}_b\frac{1}{r^3}\text{,}$

\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + m V_{eff} = E

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + mV_\text{eff} = \mathcal{E}$

\begin{array}{rcl} メートル \ddot{r} - \frac{l^{2}}{メートル r^{３}} & = & - \frac{k}{r^{2}} - \frac{３ b}{r^{4}} \\ = & - \frac{k}{r^{2}} （ 1 + ３ \frac{l^{2}}{{メートル}^{2} c^{2}} \frac{1}{r^{2}} ） \\ = & - \frac{k}{r^{2}} （ 1 + ３ \frac{メートル （ G M メートル ） a （ 1 - e^{2} ）}{{メートル}^{2} c^{2}} \frac{1}{r^{2}} ） \\ = & - \frac{k}{r^{2}} （ 1 + ３ \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{a （ 1 - e^{2} ）}{r} ） 。 \end{array}

$\begin{eqnarray*}m\ddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} &=& -\frac{k}{r^2} - \frac{3b}{r^4}\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{l^2}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{m(GMm)a(1-e^2)}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{v_c^2}{c^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\right)\text{.} \end{eqnarray*}$ とはどちらも無次元であるため、これは次元的に正しいですが、左側はニュートン形式です。

v_{c} / c

$v_c/c$

a / r

$a/r$

\frac{l^{2}}{メートル r^{３}} = \frac{k}{r^{2}} \frac{a （ 1 - e^{2} ）}{r} 。

$\frac{l^2}{mr^3} = \frac{k}{r^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\text{.}$

— スタン・リウ
ソース

ℓ

$\ell$ 寸法有し起因の包含に Eqtn 12.50インチ多分 Eqtn.12.48 はではなく分母にを持つべきでしょうか？

M D^{2} / T

$MD^2/T$

k = G M m

$k=GMm$

b

$b$

m^{4}

$m^4$

m^{2}

$m^2$

— steveOw 2014年

ああ！エラーは私のものです。角運動量を特定の角運動量（質量なし）と混同しました。ゴールドスタインはウォルターに同意する。2番目のは項に由来するため、彼のは問題あり。

ℓ^{2}

$\ell^2$

m

$m$

k = G M m

$k=GMm$

— steveOw 2014年

@steveOwええ、変数もどのように定義されているのかも誤解しています。えっ！

— Stan Liou 2014年

私はあなたの最後の方程式を考えますが、前の方程式が正しいと仮定すると、（a / r）ではなく（a ^ 2 / r ^ 2）が必要です。いずれにせよ、この用語にrが含まれていると、私の論文が反証されます...現在、再評価しています...私の考えを明確にするために、別の質問をすることがあります。

— steveOw 2014年

@steveOw 2番目の段落の冒頭で紹介したようにここも参照。ただし参照）、は正しい。しかし、フォローアップの質問をすることは大歓迎です。

l^{2} / m^{2} = G M a (1 - e^{2})

$l^2/m^2 = GMa(1-e^2)$

m ≪ M

$m\ll M$

a / r

$a/r$

— Stan Liou 2014年

NASA / JPLが太陽系の単一惑星と太陽の軌道に対する相対論的効果を概算するために使用する式は、「ポストニュートン膨張」と呼ばれ、次のようになります。

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{G M}{r^{2}} （ 1 - \frac{4 G M}{r c^{2}} + \frac{v^{2}}{c^{2}} ） \hat{r} + \frac{4 G M}{r^{2}} （ \hat{r} \cdot \hat{v} ） \frac{v^{2}}{c^{2}} \hat{v}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

惑星が多いと表現が複雑になります。これを古典的なニュートン加速と比較できます：

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{G M}{r^{2}} \hat{r}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\hat{r}$

私はこの近似の大ファンではありませんが、それが主に使用されています。

シュワルツシルト座標の純粋な円軌道の場合、GRでの軌道速度は（座標時間で）従来と同じです。

オブジェクトを静止状態からドロップしている場合、GRの初期座標（座標時間）は従来と同じです。

一般に、GRまたは古典的なニュートン重力がより多くの加速をもたらすかどうかを知りたい場合は、「座標時間」または「適切な時間」の結果に関心があるかどうかを決定する必要があり、分数も方向によって異なります。惑星は太陽と比較して動いています。

— アガーヘル
ソース