大きな軌道円盤の地球上の影を計算する

大軌道ディスク（低軌道）の地球上の影を計算する方法は？

amateur-observing

数学を説明したい人のために、問題の半分についておおよその計算を行いました。地球の曲率が無視できると仮定すると、地球の表面のアンブラの直径は約9.25 kmになるはずです（これは、本当に作るべきではありません。）

— Cloudy7

回答:

同様の三角形を使用する方が簡単かもしれません。

\frac{R d}{b} = \frac{R s}{a}

$\frac{Rd}{b} = \frac{Rs}{a}$

$Rs$ 696,000 km $Rd$ 5キロです。 $a$ 約150,000,000 km、cは80 kmです。

次に、最小の三角形が使用されます。

\frac{r}{b - c} = \frac{R s}{a}

$\frac{r}{b-c} = \frac{Rs}{a}$

rを解くと、

r = R d - R s \frac{c}{a} = 4.63キロ 。

$r = Rd - Rs \frac{c}{a} = \text{4.63 km}.$

太陽の正確な直径はそれを定義する方法に依存し、太陽から地球までの距離はほぼ+/- 2パーセント異なるため、余分な数字は役に立ちません。

$Rs/a$ は約0.00464で、これはラジアン単位の太陽の半角でもあります。180 / piを掛けた度数に変換すると、0.266度、つまり1/4度になります。太陽の全直径はその2倍、つまり約半分です。

— ええとああ
ソース

これは線形光学系であり、問題ないはずです。アラゴのスポットをさまざまに計算するのは興味深いでしょう

R_{d}

$R_d$ 。

— Carl Witthoft

私はこれを検討しましたが、それほど一般化されていません。最初に故障するのは、大きなディスクではcが80kmに留まらないということです。また、太陽の近くでは機能しませんが、この特定のケースでは、これだけで十分です。

— SE-

アプリオリ、あなたはそれを知ることができません

a

$a$ 約1億5,000万kmです。たとえば、ディスクの直径が太陽と同じである場合はどうでしょうか。代わりに、

(R_{d} - r) : (R_{s} - R_{d}) = c : (a - b)

$(R_d-r) : (R_s-R_d) = c : (a-b)$ そして

a - b

$a-b$ 太陽から円盤までの距離（つまり約1億5000万km）

— Hagen von Eitzen

ご返事ありがとうございます。あなたの情報は私にとって非常に役に立ちました。彼らは私の仮説を確認した。このような円盤を配置するために80 km未満の軌道を使用できると思いますか？あなたの意見では、そのような円盤を置くことができる最も低い軌道、低高度の円形のビューは何でしょうか？

— Ion Corbu

これは別の質問ですが、大気の抵抗により、80 kmの距離では軌道に長く留まりません。それを探求したいなら、別の質問をしてください。

— uhoh

コンピュータ代数システムをいじってみると、問題は実際には正確な解決策を持っていますが、はるかに単純な数値近似の方が実用的であるほど醜いです。

最初に、シャドウコーンピークの角度を見つける必要があります。

ピーク、太陽の中心、および太陽の接点は、直角の三角形を形成します。したがって、ピーク角度の半分は次のように表すことができます。

v = 罪^{- 1} （ \frac{r_{s あなた ん}}{r_{p e a k}} ）

$v = \sin^{-1}\left(\frac{r_{sun}}{r_{peak}}\right)$

私たちは持っていません $r_{peak}$ 、しかし私たちは太陽から地球までの距離を持っています、それは非常に近いです。これにより、角度の最初の推定値が得られます。

角度を修正するために、新しい $r_{peak}$ ：

r_{p e a k} = r_{e a r t h - o r b 私 t} - r_{L E O} + \frac{r_{d 私 s k}}{日焼け （ v ）}

$r_{peak} = r_{earth-orbit} - r_{LEO} + \frac{r_{disk}}{\tan(v)}$

新しいを使用して $r_{peak}$ 新しいを計算する $v$ 新しい角度にすばやく収束するはずです。

私は得る $v = 0.004651$

ここで、このシャドウコーンが地球にどのように投影されるかを見つける必要があります。

中心が表面よりわずかに下にある、投影されたディスクの半径を計算するには、コーンの勾配とディスク間の距離でディスクをスケーリングするだけです。 $d$ 。

r_{あなた メートル b r a} = r_{d 私 s k} - d 日焼け （ v ）

$r_{umbra} = r_{disk} - d\tan(v)$

繰り返しますが、 $d$ 、しかし軌道高度は非常に近いです。しかし、 $r_{umbra}$ より良いものを得るために得た見積もり $d$ ：

d = r_{L E O} - \sqrt{r_{e a r t h}^{2} - r_{あなた メートル b r a}^{2}}

$d = r_{LEO} - \sqrt{r_{earth}^2 - r_{umbra}^2}$

さらに、値は非常に速く収束するはずです。

私は得る $r_{umbra} = 4.628 km$

代わりに地球の曲線上の半径を取得するには、中心角を計算して地球の円周を掛けることができますが、4つの有効数字では、結果はまだ $4.628 km$

— SE-善玉の発砲をやめる
ソース

これは、太陽とディスクが直接オーバーヘッドであると想定しているようです。これが当てはまらない場合、ほとんどの場合、シャドウは楕円のようなものになりますが、シャドウはディスクから離れているため、完全なシャドウの領域は小さくなったり、存在しない可能性があります。

— スティーブリントン

それは確かにそれを仮定します、それはそれがOPが彼らの図で仮定するように見えるものだからです。

— SE-

— Ion Corbu、

このようなディスクを軌道に乗せるには2つの解決策があります。1.ディスクの軌道速度は約21,000 km /時間です。つまり、地球の周りを約90分で回転します。可能な解決策ですが、それは私には興味がありません。

— Ion Corbu、

2.このようなディスクを固定点より上の軌道（80 km）に保つために必要な力となる推進剤（熱化学、電気、電磁気、イオン、フォトニック）を用意する。重力を打ち消すため。そして、ディスクが軌道に落ちることとその崩壊を防ぐために。そのようなディスクの比重は約10kg / m2になる可能性があります

— Ion Corbu

電卓なしでどのくらい遠くまで行くのか見てみましょう（おそらくおおよそ）。

太陽を点光源として無限遠に地面を近似し、地面を平坦として近似すると、円盤の影は直径の鋭い円盤になります $10\,\text{km}$ 。しかし、太陽は点源ではありません。私たちの頭の上から、太陽（および月）の角直径が約0.5度であることを思い出すかもしれません。ラジアンに変換： $\frac12^\circ\cdot\frac\pi{180^\circ}\approx 0.009$ 。掛ける $80\,\text{km}$ 到達する高度 $\approx 700\,\text{m}$ 中央に元のディスク境界を持っている半影帯の厚さ、つまり中央の影は $\approx 10\,\text{km}-700\,\text{m}$ 幅が広く、その外縁までの周縁部は $\approx 10\,\text{km}+700\,\text{m}$ ワイド。

— ハーゲンフォンアイツェン
ソース