量子ハミング限界の違反

非縮退量子エラー訂正コードの量子ハミング限界は、次のように定義されます。$[[N,k,d]]$

$$\begin{equation} 2^{N-k}\geq\sum_{n=0}^{\lfloor d/2\rfloor}3^n\begin{pmatrix}N \\ n\end{pmatrix}. \end{equation}$$ ただし、縮退コードがこのような制限に従う必要があることを示す証拠はありません。量子ハミング限界に違反する縮退コードの例があるのか​​、または縮退コードの同様の限界を証明することでいくつかの進歩があったのだろうか。

この質問への回答に興味があるかもしれません。量子ハミング限界を打ち破る縮退コードの一例はこちらです。私自身の作品における小さな違反の数値例もここにあります。図2では、拡大されたセクションが表示されます。本質的に、黒い線は量子ハミング境界（書かれている内容からは完全に明らかではないかもしれません！）であり、灰色の線はトーリックコードに関連する何かで達成できることの近似です。他の例もあります！

量子ハミング限界に違反しない縮退コードのクラスに関する多くの結果があるようです（例：hereとhere）。私はそれらを読んでいないので、それらがどれほど有用であるかはわかりませんが、要約は、それらが優れた縮退コードの希少性を伝える素晴らしい対置点を提供することを示唆しています。